文章目录
- [Gradient Descent](#Gradient Descent)
- [Math premise](#Math premise)
- [Back Propagation](#Back Propagation)
-
- [forward pass](#forward pass)
- [backward pass](#backward pass)
- Summary
中文名：反向传播算法
用于Gradient Descent 来train 一个neural network时用到
BackPropagation的核心是通过链式法则改变微分形式，并用forward pass 与 backward pass求出对应微分
Gradient Descent
在进行Gradient Descent 步骤的时候，我们需要计算 ∇ L \nabla L ∇L ，也就是要计算L对各个parameter的偏微分，如果我们的parameter非常多，我们的layers也比较多（例如在做语音识别模型的时候可能有7，8层）
To compute the gradients efficiently,we use backpropagation
Math premise
数学前置知识：Chain Rule
不懂的自行学习Calculus
Back Propagation
这里 C n C^n Cn 代表预测值 y n y^n yn 与 真实值 y ^ n \hat y^n y^n 的距离
对公式整体取偏微分可以得到右式
我们先取三角形中的neuron出来考虑
我们想要计算 ∂ C ∂ w \frac { \partial C } { \partial w } ∂w∂C ,根据一阶微分形式不变性可得 $\frac { \partial C } { \partial w } = \frac { \partial z } { \partial w } \frac { \partial C } { \partial z } $
我们将前面的 ∂ z ∂ w \frac {\partial z}{\partial w} ∂w∂z 称为Forward Pass :commute ∂ z ∂ w \frac {\partial z}{\partial w} ∂w∂z for all parameters,这个很容易计算即是前面feature的值
将后面的 ∂ C ∂ z \frac { \partial C } { \partial z} ∂z∂C 称为Backward Pass :commute ∂ C ∂ z \frac { \partial C } { \partial z} ∂z∂C for all activation function inputs z
forward pass
forward pass 计算起来很简单
也就是说Forward pass 过程就是将input输入进neural network中计算每一个neuron 的Output即可
backward pass
如何计算 ∂ C ∂ z \frac { \partial C } { \partial z} ∂z∂C ?
我们同样使用一阶微分形式不变性$\frac { \partial C } { \partial z } = \frac { \partial a } { \partial z } \frac { \partial C } { \partial a } $
∂ a ∂ z \frac{\partial a}{\partial z} ∂z∂a 就是Activation function的微分（假如是sigmoid function就是 σ ′ ( z ) \sigma ^ { \prime }(z) σ′(z)）
那么 ∂ C ∂ a \frac{\partial C}{\partial a} ∂a∂C 计算则是利用Chain rule表示为 ∂ C ∂ a = ∂ z ′ ∂ a ∂ C ∂ z ′ + ∂ z ′ ′ ∂ a ∂ C ∂ z ′ ′ \frac { \partial C } { \partial a } = \frac { \partial z ^ { \prime } } { \partial a } \frac { \partial C } { \partial z ^ { \prime } } + \frac { \partial z ^ { \prime \prime } } { \partial a } \frac { \partial C } { \partial z ^ { \prime \prime } } ∂a∂C=∂a∂z′∂z′∂C+∂a∂z′′∂z′′∂C
这里两项的原因是因为a的下一项只有两个neuron，如果有n个则是n个的summation
也就是说现在如果我们知道？的两个值就可以得出 ∂ C ∂ z \frac { \partial C } { \partial z} ∂z∂C 的值了
∂ C ∂ z = σ ′ ( z ) [ w 3 ∂ C ∂ z ′ + w 4 ∂ C ∂ z ′ ′ ] \frac { \partial C } { \partial z } = \sigma ^ { \prime } ( z ) \left[ w _ { 3 } \frac { \partial C } { \partial z ^ { \prime } } + w _ { 4 } \frac { \partial C } { \partial z ^ { \prime \prime } } \right] ∂z∂C=σ′(z)[w3∂z′∂C+w4∂z′′∂C]
在这里我们注意到，每次我们想要计算当前这个neuron的C关于z的偏微分的时候，我们需要求出下一层的C的偏微分，也就是说，我们需要从后往前来反复求偏微分就可以了 ，这就是为什么叫做backpropagation ,这在ppt中叫做Compute ∂ C ∂ z \frac{\partial C}{\partial z} ∂z∂C reversely
Summary
因此我们的Back Propagation一共分为两步：
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forward pass 求出z的预测值并求出 ∂ z ∂ w \frac{\partial z}{\partial w} ∂w∂z 的值
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backward pass逆向顺序过程求出对应的偏微分
