Octave行列式矩阵运算

Octave行列式矩阵运算

• • Octave计算行列式
  • • 指令一步步计算行列式
  • Octave矩阵加法
  • Octave矩阵乘法
  • Octave矩阵转置
  • Octave矩阵求秩
  • Octave矩阵求逆

仅供本人查阅

Octave 是一个开源的数值计算软件，主要用于数学计算、算法开发和数据可视化。它是 MATLAB 语言的一个兼容性很高的替代品，适合于教学、科研以及解决各种工程和数学问题。以下是关于 Octave 的一些关键特性与应用：

1. 开源免费
   Octave 是完全免费且开源的，遵循 GPL 协议，用户可以自由地使用、修改和分发它，这为教育机构和预算有限的研究者提供了极大的便利。
2. 语法兼容 MATLAB
   Octave 的设计使其语法与 MATLAB 高度相似，这意味着大部分为 MATLAB 编写的脚本和函数可以在 Octave 中直接运行或稍作修改后运行，降低了学习成本和迁移难度。
3. 数值计算与数据分析
   Octave 提供了强大的数学函数库，支持线性代数、矩阵运算、统计分析、傅里叶变换、信号处理等多种数学运算，是科学计算和数据分析的理想工具。
4. 图形绘制
   它具有图形绘制功能，能够生成二维和三维图形，用于数据可视化和结果展示。尽管图形界面可能不如 MATLAB 高级，但足以满足基本的绘图需求。
5. 脚本和交互式使用
   Octave 支持编写脚本文件进行批量计算，也提供了命令行界面供用户进行交互式编程和即时计算，便于快速测试算法和验证想法。
6. 插件和扩展
   虽然 Octave 的生态系统相比 MATLAB 较小，但它依然支持通过安装包管理器加载额外的工具箱和功能，以扩展其应用范围。
7. 教育与研究
   因为其开源属性和较低的学习门槛，Octave 在学术界尤其是数学、工程学和物理学的教学中被广泛采用，作为教学和研究的辅助工具。
8. 社区支持
   Octave 拥有一个活跃的开发者和用户社区，用户可以通过邮件列表、论坛和文档资源获得帮助，解决问题或贡献代码。
   总之，Octave 是一个功能强大、易于上手且成本效益高的数学计算软件，特别适合那些寻求 MATLAB 替代方案的个人和机构。

Octave计算行列式

在Octave中，det函数用于计算一个方阵的行列式（determinant）。行列式是线性代数中的一个重要概念，尤其在解决线性方程组、矩阵求逆以及判断矩阵是否可逆等问题时非常重要。

>> A = [1 2 3 ;1 2 3 ;1 2 3 ]
A =

   1   2   3
   1   2   3
   1   2   3

>> det(A)
ans = 0

>> A = [5,2,1; 1,2,5; 34,1,34]
A =

    5    2    1
    1    2    5
   34    1   34

>> det(A)
ans = 520

在Octave中，prod函数用于计算向量或矩阵元素的乘积。

```bash
>> A = [1, 2; 3, 4]
A =

   1   2
   3   4

>> result = prod(A)
result =

   3   8

>>

指令一步步计算行列式

>> A = [0 2 1 -1;1 -5 3 -4;1 3 -1 2;-5 1 3 -3]
A =

   0   2   1  -1
   1  -5   3  -4
   1   3  -1   2
  -5   1   3  -3
>> A = A([2,1,3,4],:)
A =

   1  -5   3  -4
   0   2   1  -1
   1   3  -1   2
  -5   1   3  -3

>> A(3,:) = A(1,:) * -1 + A(3,:)
A =

   1  -5   3  -4
   0   2   1  -1
   0   8  -4   6
  -5   1   3  -3

>> A(4,:) = A(1,:) * 5 + A(4,:)
A =

    1   -5    3   -4
    0    2    1   -1
    0    8   -4    6
    0  -24   18  -23

>> A(3,:) = A(2,:) * -4 + A(3,:)
A =

    1   -5    3   -4
    0    2    1   -1
    0    0   -8   10
    0  -24   18  -23

>> A(4,:) = A(2,:)*12 + A(4,:)
A =

    1   -5    3   -4
    0    2    1   -1
    0    0   -8   10
    0    0   30  -35

>> A(4,:) = A(3,:)*30/8+A(4,:)
A =

    1.00000   -5.00000    3.00000   -4.00000
    0.00000    2.00000    1.00000   -1.00000
    0.00000    0.00000   -8.00000   10.00000
    0.00000    0.00000    0.00000    2.50000

>> C = diag(A)
C =

   1.0000
   2.0000
  -8.0000
   2.5000

>> prod(C)
ans = -40

Octave矩阵加法

如果有两个相同尺寸的矩阵A和B，你可以执行元素级别的加法操作，记作A + B。例如：

定义两个矩阵

A = [1, 2, 3; 4, 5, 6];
B = [7, 8, 9; 10, 11, 12];

执行加法

>> C = A + B
C =

    8   10   12
   14   16   18

Octave矩阵乘法

矩阵乘法不是简单的元素对应相乘，而是行与列的对应元素相乘然后求和。矩阵乘法A * B要求A的列数等于B的行数。例如：

定义两个兼容的矩阵

A = [1, 2; 3, 4];
B = [5, 6; 7, 8];

执行矩阵乘法

>>C = A * B
C =

   19   22
   43   50

在这个例子中，矩阵A有2行2列，矩阵B也有2行2列，所以它们可以相乘。结果矩阵C将有2行2列（因为A的行数乘以B的列数）。

如果尝试乘以不同尺寸的矩阵，Octave会抛出一个错误，

error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 3x3, op2 is 2x2)

除非明确地想要进行元素级别的乘法（使用.操作符，也称为点乘或元素乘法）：

D = A .* B; 这是元素级别的乘法，每个元素相乘

>> A = [1, 2; 3, 4];
>> B = [5, 6; 7, 8];
>> D = A .* B
D =

    5   12
   21   32

记得在实际操作中，确保矩阵尺寸是兼容的，以便进行正确的矩阵乘法。

Octave矩阵转置

矩阵的转置切换矩阵的行和列。在 Octave 中使用单引号'表示。

>> A = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]
A =

   1   2   3
   4   5   6
   7   8   9

>> B = A'
B =

   1   4   7
   2   5   8
   3   6   9

>>

Octave矩阵求秩

对于给定的矩阵A，我们可以直接在Octave中执行以下步骤来求其秩：

定义矩阵： 首先，在Octave环境中定义矩阵A。

>> A = [2 -1 -1; -1 2 -1; -1 -1 2]
A =

   2  -1  -1
  -1   2  -1
  -1  -1   2

计算秩： 使用rank函数计算矩阵A的秩。

>>rank_A = rank(A);

显示结果： 打印出矩阵A的秩。

>> disp(['Rank of matrix A is: ', num2str(rank_A)]);
Rank of matrix A is: 2

Octave矩阵求逆

在Octave中，求矩阵的逆可以使用inv函数。

---

( A ) − 1 = 1 det ⁡ ( A ) [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] \left( A \right)^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} (A)−1=det(A)1 A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann

这里， d e t ( A ) \ det(A) det(A) 表示矩阵 (A) 的行列式， [ . . . ] \begin{bmatrix} ... \end{bmatrix} [...] 是用来构建矩阵的环境，，因为逆矩阵可以通过计算伴随矩阵并除以行列式 得到，且伴随矩阵通常是转置后的形式。但请注意，直接这样写并不精确反映了所有情况下的逆矩阵计算过程，特别是因为伴随矩阵的定义和计算方式 （代数余子式）更为复杂，且对于大矩阵，直接这样计算并不高效。对于具体的伴随矩阵元素，需要根据代数余子式的定义来展开。

---

对于一个方阵A，如果它是可逆的，那么可以使用以下步骤来找到它的逆矩阵：

定义矩阵： 首先，定义你要求逆的矩阵A。

>> A = [1 0 0 0; 2 1 0 0; 3 2 1 0; 4 3 2 1]
A =

   1   0   0   0
   2   1   0   0
   3   2   1   0
   4   3   2   1

计算逆矩阵： 使用inv函数计算矩阵A的逆。

>>inv_A = inv(A);

显示结果： 可以打印出逆矩阵来检查结果。

>> disp(inv_A);
   1   0   0   0
  -2   1   0   0
   1  -2   1   0
   0   1  -2   1

注意，只有当矩阵A是方的并且行列式不为零时，inv函数才能成功计算出逆矩阵。如果矩阵不可逆（即奇异矩阵），inv函数会抛出一个错误。对于非方矩阵，可以使用pinv函数来计算广义逆（也称为伪逆）。

>> A = [1 0 0 0; 2 1 0 0; 3 2 1 0; 4 3 2 1;1 1 1 1]
A =

   1   0   0   0
   2   1   0   0
   3   2   1   0
   4   3   2   1
   1   1   1   1

>> inv_A = inv(A)
error: inv: A must be a square matrix
>> pinv(A)
ans =

   1.0000e+00  -8.7731e-16   5.9545e-17   1.7781e-16  -2.1594e-16
  -2.0000e+00   1.0000e+00   2.3771e-17  -4.3228e-16   5.3581e-16
   1.0000e+00  -2.0000e+00   6.6667e-01   3.3333e-01  -3.3333e-01
   5.0569e-16   1.0000e+00  -1.0000e+00   1.4299e-16   1.0000e+00

A − 1 = 1 det ⁡ ( A ) adj ( A ) \] \[ A\^{-1} = \\frac{1}{\\det(A)} \\text{adj}(A) \] \[A−1=det(A)1adj(A)