【数据结构】树和二叉树基本概念和性质

目录

  • 前言
  • 1、树的概念
    • [1.1 树的基本概念](#1.1 树的基本概念)
    • [1.2 树的主要概念](#1.2 树的主要概念)
    • [1.3 树的表示](#1.3 树的表示)
    • [1.4 树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)](#1.4 树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构))
  • [2. 二叉树概念及结构](#2. 二叉树概念及结构)
    • [2.1 概念](#2.1 概念)
    • [2.2 特殊的二叉树](#2.2 特殊的二叉树)
    • [2.3 二叉树的性质](#2.3 二叉树的性质)
  • [3. 二叉树性质相关选择题练习](#3. 二叉树性质相关选择题练习)
  • [4. 答案和解析](#4. 答案和解析)
  • [5. 总结](#5. 总结)

前言

本章带来数据结构重点 相关的概念,同时和之前的线性结构完全不同,树是非线性结构


1、树的概念

1.1 树的基本概念

树是一种非线性 的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它

叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

  • 有一个特殊的结点,称为根结点 ,根节点没有前驱结点
  • 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm,其中每一个集
    合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以
    0个或多个后继
  • 因此,树是递归定义的

子树是不相交的 ,相交如下图,这个结构就不是树了,因为里面有回路,类似与图结构

1.2 树的主要概念


关键

  • 节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为3
  • 叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:J、F、K、L、H、I是叶子结点
  • 非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:B、C、D、E...等节点为分支节点
  • 双亲节点或父节点 :若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B
    的父节点
  • 孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
  • 兄弟节点::具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C、D是兄弟
  • 树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为3
  • 节点的层次 :从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
    另一种情况,根为0层,根的子节点为第1层
  • 树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
  • 节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先,父亲也是祖先结点
  • 子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙

其次

  • 森林:由m(m>0)棵互不相交的多颗树的集合称为森林;(数据结构中的学习并查集本质就是一个森林)

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,实际中树有很多种表示方式,

如:双亲表示法,孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。

  • 第一种:孩子兄弟表示法,最常用的的树表示方法

    c 复制代码
    typedef int DataType;
    struct Node
    {
        struct Node* _firstChild1;    // 第一个孩子结点
        struct Node* _pNextBrother;   // 指向其下一个兄弟结点
        DataType _data;               // 结点中的数据域
    };
  • 第二种:双亲表示法 ,把所有的节点都存在数组里,通过子节点存父节点 的数组下标来表示,注意不是父节点存下标,就是一个节点只指向父亲,不指向孩子

  • 第三种:通过顺序表来存储 ,但是我们并不知道到底有多少个子节点,这里C++里面库里vector可以解决,vector是可变的不固定数组

1.4 树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)

2. 二叉树概念及结构

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合或者为空,或者是由一个根节点加上两棵别称为左子
树和右子树的二叉树组成

二叉树的特点:

  1. 每个结点最多有两棵子树 ,即二叉树不存在度大于2的结点。
  2. 二叉树的子树有左右之分,其子树的次序不能颠倒。

2.2 特殊的二叉树

  1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉
    树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是(2 ^ k) - 1 ,则它就是满二叉树。
  2. 完全二叉树:前k-1层是满的,最后一层不满,但是最后一层从左往右节点都是连续的 ,节点个数(2 ^ k - 1 - X),X表示最后一层缺的数量

2.3 二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i - 1) 个结点.
  2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1
  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0=n2
    +1
  4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=LogN,以2为底
  5. 度为1的结点一定是左子树;
    度要么为1,要么为0
  6. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从开始编号: 那么就会有:(对于编程的写法,这个规律是成立的)
  • 左孩子结点的下标:2*parent +1;
  • 右孩子结点的下标:2*parent +2;
  • 父亲结点的下标:(child -1) / 2; 其中child为左右孩子都行。

3. 二叉树性质相关选择题练习

c 复制代码
1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199


2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n
B n+1
C n-1
D n/2



3.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12

4. 一个具有 767 个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为()
A 383
B 384
C 385
D 386

4. 答案和解析

  1. 通过二叉树性质,度为0的节点比度为2的节点多一个,n0 = n2 + 1,反之n2 = n0 - 1,题中所直接就说明了分支节点的n2的个数,我们一直代入公式即可,199+1 = 200,选B

  2. n0表示叶子结点,在完全二叉树里,n1只可能是0或1我们分别往n1代入0和1

  • 代入0:结果有小数,二叉树节点只能整数,不可能会有小数、分数个节点,所以不成立
  • 代入1:成立,可以化简,最后结果n0 = N,同时也证明该二叉树n1结点个数是1,选A
  1. 第三题解析如图,选B

  2. 这题和第二题解法类似,n0表示叶子结点,在完全二叉树里,n1只可能是0或1我们分别往n1代入0和1

  • 代入0:成立,可以化简,最后结果n0 = 384,同时也证明该二叉树n1结点个数是0,选B
  • 代入1:结果有小数,二叉树节点只能是整数,不可能会有小数、分数个节点,所以不成立

5. 总结

学好二叉树第一步,就必须对该性质十分熟练和深刻的理解!

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