力扣每日一题115：不同的子序列

题目

困难

给你两个字符串 s和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数，结果需要对 109 + 7 取模。

示例 1：

输入：s = "rabbbit", t = "rabbit"
输出：3
解释：
如下所示, 有 3 种可以从 s 中得到 "rabbit" 的方案。
++rabb++b++it++
++ra++b++bbit++
++rab++b++bit++

示例 2：

输入：s = "babgbag", t = "bag"
输出：5
解释：
如下所示, 有 5 种可以从 s 中得到 "bag" 的方案。 
++ba++b**g**bag
++ba++bgba++g++
**b**abgb++ag++
ba**b**gb**ag**
babg++bag++

提示：

1 <= s.length, t.length <= 1000
s 和 t 由英文字母组成

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思路

注意！这是一道hard题！

看到xxx序列在xxx序列中xxx的个数、序列的最长xxx子序列、最长xxx串，最短xxx串这些题目，一眼就想到动态规划。

序列t在序列s的子序列中出现的次数，出现了两个序列的匹配，毫无疑问是二维dp，我们采用由前向后dp的思路，dp[i][j]来表示 t[1:i] 在 s[1:j] 的子序列中出现的次数。注意！由于动态规划一般要对边界值进行讨论，dp的下标从[1][1]开始，[0][......]和[......][0]用来做边界值的讨论。

对于这种两个字符串的动态规划，一般都是讨论 [i] 和 [j] 各自对应的字符是否相等来分类。

状态转移

1、如果t[i-1]!=s[j-1]，也就是 i 对应的字符和 j 对应的字符不相等的情况。

要实现 t[1:i] 和 s[1:j] 的匹配，因为两部分切片的最后一个字符不相等，所有只能祈求 t[1:i] 能不能和 s[1:j-1] 能不能匹配。dp[i][j]=dp[i][j-1]。

2、t[i-1]==s[j-1]

两部分切片的最后一个字符相等，所以我们既可以选择两种匹配方法

a、t[i-1] 和 s[j-1] 匹配完成后，t[1:i-1]和t[1:j-1]匹配，这一部分的方案数量是 dp[i-1][j-1]

b、t[i-1]不和s[j-1]匹配，这时就和t[i-1]!=s[j-1]一样，这一部分方案数量就是 dp[i][j-1]

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1]

边界情况的讨论。

状态转移方程中，我们要用到dp[i-1][j-1]，而我们的状态转移的循环是

        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=i;j<=n;j++){
                if(t[i-1]!=s[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i][j-1];
                }else{//t[i-1]和s[j-1]匹配+t[i-1]不和s[j-1]匹配
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1];
                }
            }
        }

m是t串的长度,n是s串的长度。

从循环上看，j<i||i==0 这一部分是没有出现在循环里的，但是i-1和j-1能遍历到，所以我们必然要讨论。

i=0时，代表切片为空串，空串是任何串的子串，所以这一部分的初值为1。

j<i时，s串长度小于t串，这是不可能是子串，所以这一部分初值为0。

        vector<vector<unsigned long long>> dp(m+1,vector<unsigned long long>(n+1,0));
        //边界情况-->空字符串是任何字符串的子序列
        for(int i=0;i<=n;i++){
            dp[0][i]=1;
        }

代码（注意数据范围和取模）

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    const int mod=1e9+7;
    int numDistinct(string s, string t) {
        int n=s.length();
        int m=t.length();
        if(n<m) return 0;
        //dp[i][j]-->t[1-i]在s[1-j]中出现的次数（）
        //防止边界条件判断，从[1][1]开始算
        //long long都会超出数据范围
        vector<vector<unsigned long long>> dp(m+1,vector<unsigned long long>(n+1,0));
        //边界情况-->空字符串是任何字符串的子序列
        for(int i=0;i<=n;i++){
            dp[0][i]=1;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++){
            for(int j=i;j<=n;j++){
                if(t[i-1]!=s[j-1]){
                    dp[i][j]=dp[i][j-1];
                }else{//t[i-1]和s[j-1]匹配+t[i-1]不和s[j-1]匹配
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i][j-1];
                }
            }
        }
        int ans=dp[m][n]%mod;
        return ans;
    }
};