B e l l m a n --- F o r d Bellman---Ford Bellman---Ford是一种单源最短路径算法，可以用于边权为负的图，但是只能用于小图。
大概过程：
- 枚举每一条边，更新可以更新的节点（起点到自己距离为 0 0 0，从地点开始向外）。
- 重复第一个步骤 n − 1 n - 1 n−1次（起点不用），每一轮至少有一个节点会被更新出最短路径（和 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra中用到的贪心思想有点像）。
算法复杂度：很明显需要 n − 1 n - 1 n−1个点都需要枚举一次，每次都需要枚举 m m m条边，复杂度为 O ( n m ) O(nm) O(nm)。
同时这个算法还可以判断是否存在负环。只要更新完 n − 1 n - 1 n−1次后，还有点可以被更新最短路，那就是存在负环的，因为只有负环是每走一圈路径长度都会往下减，就可以无限更新，而正常图我们只要枚举 n − 1 n - 1 n−1遍。
也可以记录每个节点最短路的路径。（前面发过的最短路算法应该也有，可以参考 B e l l m a n F o r d Bellman_Ford BellmanFord的处理办法）
同样的，通过例题理解代码。
【模板】Bellman-Ford算法-StarryCoding | 踏出编程第一步
题目描述
n n n点 m m m边的带负权有向图（连通，可能存在重边与自环），求 1 1 1到所有点的单源最短路的距离。
保证结点 1 1 1可以到达所有结点。
如果图中存在负环，则只输出一个整数 − 1 −1 −1。
输入描述
第一行两个整数 n , m 。 ( 2 ≤ n , m ≤ 1 × 1 0 4 ) n, m。(2 \leq n , m \leq 1 \times 10^4) n,m。(2≤n,m≤1×104)
接下来 m m m行，每行一条单向边 x , y , z x,y,z x,y,z表示存在一条从 x x x到 y y y的距离为 z z z的通道。 ( 1 ≤ x , y ≤ n , − 1 0 9 ≤ z ≤ 1 0 9 ) (1 \leq x, y \leq n, -10^9 \leq z \leq 10^9) (1≤x,y≤n,−109≤z≤109)
输出描述
一行 n n n个整数，第 i i i个整数表示从点 1 1 1到点 n n n的最短距离。
如果图中存在负环，则只输出一个整数 − 1 −1 −1。
输入样例1
5 5
1 2 1
2 3 -2
3 4 1
4 5 6
1 5 -5输出样例1
0 1 -1 0 -5解
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 9;
using ll = long long;
const ll inf = 2e18;
struct Edge
{
int x;
ll w;
};
int n, m;
vector<Edge> g[N];
ll d[N];
//记录前驱节点，用于打印路径。
// int pre[N];
void print(int s, int t) //打印路径用的
{
if(s == t)
{
cout << s << ' ';
return;
}
print(s, pre[t])
cout << t << ' ';
}
void solve()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= m; ++i)
{
int u, v;
ll w; cin >> u >> v >> w;
g[u].push_back({v, w});
}
//d[i]表示从起点到点i的距离。
for(int i = 1; i <= n; ++i) d[i] = inf;
d[1] = 0;
bool circle; //判断负环，最后一次出来之后还是true就是一直在更新，有负环
for(int i = 1; i <= n; ++i) //枚举n遍
{
circle = false;
for(int x = 1; x <= n; ++x) //枚举每天边
{
for(auto [y, w] : g[x])
{
if(d[x] + w < d[y]) //如果能更新
{
d[y] = d[x] + w;
// pre[x] = y; 如有需要，记录路径
circle = true;
}
}
}
}
if(circle) cout << "-1" << '\n';
else
{
for(int i = 1; i <= n; ++i) cout << d[i] << ' ';
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int _ = 1;
while(_--) solve();
return 0;
}易错提醒：还是别忘记初始化，别忘记初始化，别忘记初始化。
P S PS PS :这个代码过不了这个例题，数据范围略大，需要优化成 s p f a spfa spfa算法。