题目
过程
0-1背包问题
有N件物品和一个容量是V的背包。每件物品有且只有一件。
第i件物品的体积是v[i],价值是w[i]。
求解将哪些物品装入背包可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
朴素0-1背包通解
状态定义:
本质上就是从i各物品中选择一定数量的物品在一定空间限制的前提下,求这些物品的最大总价值。我们可以定义一个二维数组dp[i][j],这个数组的值就表示从前i件物品进行选择,在不超过容量j的前提下所满足最大的物品总价值。
确定初始状态:
当i=0时,表示只在前0件物品中做选择,也就是一件物品都不考虑,这种情况下不管背包容量为多少,能装的最大价值都是0;当j=0时,表示背包容量为0,这种情况下不管考虑前几件物品,都不能将其装入背包,即能装的最大价值也是0。
状态转移方程:
对于第i件物品,设它的所占容量为v[i],价值为w[i]。
若当前背包的总空间j不能容纳第i件物品,就不能将第i件物品放入背包,此时背包内最大价值就应该等于前i-1件物品的总价值,即dp[i - 1][j]
,那么就去前面查一下已经计算出的dp[i - 1][j]
是多少,即dp[i][j] = dp[i - 1][j]
。
若当前背包总空间j能容纳第i件物品,那就需要考虑一个问题:虽然当前背包能装下第i件物品,我一定要把它装进去吗?当然是不一定,如果这样考虑就变成了贪心算法(很容易理解)。因为第i件物品装进去虽然会增大背包的总价值,但同时也减少了背包的可用容量,可以这样理解:之前已经从前i-1件物品中选择了一部分放入了背包,如果此时放入第i件物品,就可能(并不是一定)需要从背包中已经放入的物品中再取出一部分,这样其实是增大背包总价值的同时也减少了总价值。所以需要先衡量第i件物品放进去和不放进去哪个总价值更大。分为以下两种情况考虑:
- 将其放入背包,此时背包内就已经用掉了w[i]的容量,且最少有v[i]的价值了,那么剩余j - w[i]的容量最多能装多少价值的物品呢?就需要去查查已经计算出的只考虑前i-1件物品时能装的最大价值dp[i - 1][j - w[i]]是多少,这样算完后总价值就表示为
dp[i][j]
=dp[i - 1][j-w[i]]+v[i]
。 - 不将其放入背包,此时背包内总价值还是前i-1件物品的总价值,即
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
。
取二者的最大值:dp[i][j] = max{dp[i - 1][j - w[i]] + v[i] , dp[i - 1][j]}
本题思路
联想到动态规划0-1背包问题。
用所有书的价格减去最低包邮价格就是背包的大小temp,换句话说就是让删除的书的价格总和尽可能大。
两层循环,第一层循环为每本书(物品)(i=1,2,...n),第二层循环当前删除书本价格(背包容积)(j=1,2,...temp)。
三种情况
j<a[i],若背包不能容纳第i件物品,dp[i][j]=dp[i-1][j]
j>=a[i],若背包能容纳第i件物品,以下两种情况取较大值。
- 如果不放该物品,则dp[i][j]=dp[i-1][j];
- 如果放该物品,则dp[i][j]=dp[i-1][j-a[i]]+a[i];
代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,x;
int main()
{
cin>>n>>x;
vector<int>a(31);//每本书的价格
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
sum+=a[i];
}
int temp;
temp=sum-x;
int dp[31][100001];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=temp;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j];
if(j>=a[i])
{
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-a[i]]+a[i]);
}
}
}
int result=0;
result=sum-dp[n][temp];
cout<<result<<endl;
return 0;
}