代码随想录阅读笔记-动态规划【爬楼梯】

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?

注意:给定 n 是一个正整数。

示例 1:

  • 输入: 2
  • 输出: 2
  • 解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
    • 1 阶 + 1 阶
    • 2 阶

示例 2:

  • 输入: 3
  • 输出: 3
  • 解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
    • 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
    • 1 阶 + 2 阶
    • 2 阶 + 1 阶

思路

本题大家如果没有接触过的话,会感觉比较难,多举几个例子,就可以发现其规律。

爬到第一层楼梯有一种方法,爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ,第二层楼梯再跨一步就到第三层。

所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来,那么就可以想到动态规划了。

我们来分析一下,动规五部曲:

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法

2、确定递推公式

如何可以推出dp[i]呢?

从dp[i]的定义可以看出,dp[i] 可以有两个方向推出来。

首先是dp[i - 1],上i-1层楼梯,有dp[i - 1]种方法,那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2],上i-2层楼梯,有dp[i - 2]种方法,那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和!

所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

在推导dp[i]的时候,一定要时刻想着dp[i]的定义,否则容易跑偏。

这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性!

3、dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i]的定义:爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法。

那么i为0,dp[i]应该是多少呢,这个可以有很多解释,但基本都是直接奔着答案去解释的。

例如强行安慰自己爬到第0层,也有一种方法,什么都不做也就是一种方法即:dp[0] = 1,相当于直接站在楼顶。

但总有点牵强的成分。

那还这么理解呢:我就认为跑到第0层,方法就是0啊,一步只能走一个台阶或者两个台阶,然而楼层是0,直接站楼顶上了,就是不用方法,dp[0]就应该是0.

其实这么争论下去没有意义,大部分解释说dp[0]应该为1的理由其实是因为dp[0]=1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过,然后就往结果上靠去解释dp[0] = 1

从dp数组定义的角度上来说,dp[0] = 0 也能说得通。

需要注意的是:题目中说了n是一个正整数,题目根本就没说n有为0的情况。

所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化!

我相信dp[1] = 1,dp[2] = 2,这个初始化大家应该都没有争议的。

所以我的原则是:不考虑dp[0]如何初始化,只初始化dp[1] = 1,dp[2] = 2,然后从i = 3开始递推,这样才符合dp[i]的定义。

4、确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出,遍历顺序一定是从前向后遍历的

5、举例推导dp数组

举例当n为5的时候,dp table(dp数组)应该是这样的

如果代码出问题了,就把dp table 打印出来,看看究竟是不是和自己推导的一样。

此时大家应该发现了,这不就是斐波那契数列么!

唯一的区别是,没有讨论dp[0]应该是什么,因为dp[0]在本题没有意义!

以上五部分析完之后,C++代码如下:

cpp 复制代码
// 版本一
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了,防止空指针
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(n)

当然依然也可以优化一下空间复杂度,代码如下:

cpp 复制代码
// 版本二
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[3];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int sum = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = sum;
        }
        return dp[2];
    }
};
  • 时间复杂度:O(n)
  • 空间复杂度:O(1)

后面将讲解的很多动规的题目其实都是当前状态依赖前两个,或者前三个状态,都可以做空间上的优化,但我个人认为面试中能写出版本一就够了哈,清晰明了,如果面试官要求进一步优化空间的话,我们再去优化

因为版本一才能体现出动规的思想精髓,递推的状态变化。

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