计算机组成原理第六章 计算机的运算方法

文章目录

[6.1 无符号数和有符号数](#6.1 无符号数和有符号数)

[6.1.1 无符号数](#6.1.1 无符号数)

[6.1.2 有符号数](#6.1.2 有符号数)

1、原码

2、补码

3、反码

4、移码

5、小结

[6.2 数的定点表示和浮点表示](#6.2 数的定点表示和浮点表示)

[6.2.1 定点表示](#6.2.1 定点表示)

[6.2.2 浮点表示](#6.2.2 浮点表示)

1、浮点数的表现形式

2、浮点数的表示范围

3、浮点数的规格化

[6.2.3 定点数和浮点数的比较](#6.2.3 定点数和浮点数的比较)

[6.2.5 IEEE754标准](#6.2.5 IEEE754标准)

[6.3 定点运算](#6.3 定点运算)

[6.3.1 移位运算](#6.3.1 移位运算)

1、定义

2、算数移位规则

3、硬件实现左移和右移

4、算数移位和逻辑移位的区别

[6.3.2 加减法](#6.3.2 加减法)

1、补码加法的基本公式

2、溢出判断

[6.3.3 乘法运算](#6.3.3 乘法运算)

1、笔算乘法

2、原码一位乘运算

3、原码两位乘运算

4、补码一位乘运算

[6.3.4 除法运算](#6.3.4 除法运算)

1、笔算除法分析

2、原码除法

3、补码除法

[6.4 浮点四则运算](#6.4 浮点四则运算)

[6.4.1 浮点加减运算](#6.4.1 浮点加减运算)

1、对阶

2、尾数求和

3、规格化

4、舍入

5、判断溢出

6、完整运算

[6.4.2 浮点乘除运算](#6.4.2 浮点乘除运算)

6.1 无符号数和有符号数

6.1.1 无符号数

1、定义

所谓无符号数即没有符号的数，在寄存器中的每一位均可用来存放数值。

例如 123就是一个 无符号数 ， ±123就是一个有 符号数，显然无符号数只能表达正数，不能表达负数。

2、表示范围

无符号的数的表示范围和**机器字长** 有关，如果机器字长为16位，那么无符号数的表示范围就是：0～65535

65535就是 216-1。

6.1.2 有符号数

对有符号数而言，++符号的"正"、"负"机器是无法识别的++ ，但由于"正"、"负"恰好是两种截然不同的状态，++如果用"0"表示"正"，用"1"表示"负"++，这样符号也被数字化了，并且规定将它放在有效数字的前面，这样就组成了有符号数。

有符号数的表示有三种方式：

• 原码
• 补码
• 反码

1、原码

原码定义如下：

例：如果是整数：

1101原 = 0,1101

-1101原 = 1,1101

使用" **,"**作为间隔。

如果是小数：

0.1101原 = 0.1101

-0.1101原 = 1.1101

使用" **."**作为间隔， 并且把原先整数位的0改为了符号位。

原码中有一个特殊例子，那就是0的原码。

由于0可以表示为﹢0和﹣0，所以0的原码有两种：

• ﹢0：0,0
• ﹣0：1,0

如果机器中采用原码做运算，会出现如下问题：

当一个正数加上一个负数的时候，符号位有可能为正也有可能为负。

相当于做了减法运算，但是计算机不擅长做减法而是擅长加法，所以需要进行一个转换。

为了避免这种情况于是出现了补码。

2、补码

补码的本质其实就是**同余**。

举个例子，在时钟 的背景下，如果想要把6点变为3点，有两种做法：

• 6 - 3 = 3
• 6 + 9 = 15 = 3

15点相当于3点。

所以这里6加9和减去3的效果是一样的。

补码的定义如下：

有一种更简单的方法求解：

• 对于正数x：x原 = x补
• 对于负数x ：x补 = x原 符号位不变，各位取反，末位加一

例如：

• 1101补=1101原 = 0,1101
• -1101补 = 1,0011

负数求解过程如下：
首先求解原码：- 1101原 = 1,1101
除了符号位 1，后面四位取反：1,0010
最后末位一个数加一1,0011
++如果遇到算数溢出，则舍去溢出部分++。

和原码不同的是，±0的补码都是相同的，以4位为例：

• + 0000补：0,0000
• - 0000补：0,0000

• 0000的原码是1,0000
  各位取反为：1,1111
  末尾加1会发现此时变为了10,0000
  ++这里会发现符号位溢出了，需要去掉最高位++ ，所以 [-0000]补：0,0000

最后补充一个知识点：

相反数的补码 ：连同符号位，各位取反，末位加一

假设[y]补 = y0.y1y2...yn，求-y补

3、反码

定义：

求解很简单：

• 正数：等同于原码
• 负数：符号位不变，各位取反

例如：

• 1101反=1101原 = 0,1101
• -1101反 = 1,0010

4、移码

当真值使用补码表示的时候，由于符号位和数值部分一起编码，所以比较的时候很难从补码的形式上判断真实的大小。

例如数21对应二进制的补码就是：0,10101

-21对应二进制的补码表示是：1,01101

由于在计算机中，,其实是不存在的，只是为了便于辨别符号和真值才写的，所以符号位也是一个二进制数 ，从代码形式上来看，就会得出1,01101 > 0,10101。

但实际是相反的，为了便于直接进行比较，所以出现了移码。

移码的定义是在对应真值加上一个2n。

但是这里有一个更简单的方法计算：对应补码符号位取反

例如：

• 10101移 = 1,10101
• -10101移 = 0,01011

这样就可以直接比较移码的大小判断真值的大小。

5、小结

计算机三种码制：

正数：x原 = x补= x反

负数：

• x补 = x原 符号位不变，各位取反，末尾加一
• x反 = x原 符号位不变，各位取反

正数使用,区分，小数使用.区分。

表示范围：（假设机器字长为8位，总共可以表示256个数）

• 原码：-127 ~ 127
• 补码：-128 ~ 127
• 反码：-127 ~ 127
• 真值： 0 - 255

6.2 数的定点表示和浮点表示

6.2.1 定点表示

所谓定点表示，就是小数点的位置是固定。

当小数点位于++数符和第一数值位之间时，机器内的数为纯小数++；

当小数点++位于数值位之后时，机器内的数为纯整数++。

在定点机中，由于小数点的位置固定不变，故当机器处理的数不是纯小数或纯整数时，必须乘上一个比例因子，否则会产生"溢出"。

比如机器字长为8位，使用定点表示 4这个数就是 0000100
使用定点表示 0.5这个数就是 0.10000000（小数点后面8位）
简单来说 定点数就是保证 位数固定不变。

6.2.2 浮点表示

①常用的科学计数法：

352.47=3.5247×102

=3524.7×10-1

=0.35247×103

浮点表示也是类似的，其格式如下：

其中：

• N ：真值
• S ：尾数（可正可负）
• r ：基数（一般取 2,4,8）
• j ：阶码（可正可负）

举个例子：

11.0101 = 0.110101 * 210

注意：这里的 10不是十进制当中的十，而是二进制表示的 2。

• S ：0.110101
• r ：2
• j ：10

1、浮点数的表现形式

浮点数的表现形式如下：

前j位用于表示阶码 ，其中1位表示**阶符** （1表示-，0表示+），剩下用于表示真值；

后s位用于表示尾数 ，其中1位表示数符 （1表示-，0表示+），剩下用于表示真值；

举个例子，假设阶码有4位，尾数有8位 ， 0.110101 * 210可以表示为：

0,010; 0.1101010

• 阶符 ：0（1位）
• 阶码真值 ：010（3位）
• 数符 ：0（1位）
• 尾数真值 ：.1101010（7位）

使用;间隔尾数和阶码
其中：当小数点后面第一位为1的时候，这种为浮点数的规格化形式。
例如：N = 0.110101 * 210

2、浮点数的表示范围

以通式N= S×rj为例，设浮点数++阶码的数值位取m 位，尾数的数值位取n位++ ，当浮点数为非规格化数时，它在数轴上的表示范围如下所示。

首先看正数区，也就需要求出最大正数 和最小正数即可确定范围。

如果是最大正数，那么阶码就应该取正数的最大值 ，m位数值为阶码代表阶码数值的最大值应该为2m-1。

例如：阶码数值为有4位，那么最大值应该是 1111也就是 15 = 24 -1

其次，尾数 也要最大，++也就是尾数数值部分应该全为1++ ，数值部分总共有n位，那尾数的最大值就是1-2-n

例如：尾数数值有8位，那么最大值应该是 0.11111111也就是 1-2-8

浮点数的数值只有在这两个区间（负数区和正数区）之间是有效的，超出这两个区域的都被称为溢出。

• 上溢出：浮点数阶码大于最大阶码，机器停止运算，进行中断溢出处理
• 下溢出：浮点数阶码小于最小 阶码，尾数强置 为0，按照机器零处理

3、浮点数的规格化

在浮点数中：基数r越大，表示的浮点数范围越大，但是精度会下降。

为了提高精度，一般会把尾数转为规格化数 ，++通常通过修改阶码并且将尾数左右移动的方式实现++，实现规则如下：

• 基数为2 时
  • 尾数最高位为1的数是规格化数
  • 左规：尾数左移1位，阶码减1
  • 右规：尾数右移1位，阶码加1
• 基数为4 时
  • 尾数最高2位不全为0的数是规格化数
  • 左规：尾数左移2位，阶码减1
  • 右规：尾数右移2位，阶码加1
• 基数为8 时
  • 尾数最高3位不全为0的数是规格化数
  • 左规：尾数左移3位，阶码减1
  • 右规：尾数右移3位，阶码加1

注意这里的左移指的是尾数左移，实际小数点是右移的。
例如：0.0010变为0.0100就是左移1位

　 例：将十进制数+13/128写成二进制定点数和浮点数（++数值部分取10位，阶码部分取4位，阶符和数符各取1位++），分别写出它在定点机和浮点机中的机器数形式。

这里只要知道 1/128就是2-7即可，记得知道 +13/128 = 1101 * 2-7

解：令x=+13/128

　　其二进制形式：x=0.0001101000

　　定点数形式：x=0.0001101000

定点数不足的位数使用0补齐，小数后面补0，整数前面补0。

　　浮点数规格化表示：x=0.1101000000×2-11

浮点数的表示可以根据定点数来写， 对定点数进行规格化。

　　定点机中 x原=x补=x反=0.0001101000

　　浮点机中 x原：1,0011;0.1101000000

　　x补：1,1101;0.1101000000

6.2.3 定点数和浮点数的比较

（1）++当浮点机和定点机中的数其位数相同时，浮点数的表示范围比定点数大得多++。

（2）当++浮点数为规格化数时，其精度远比定点数高++。

（3）浮点数运算要分阶码部分和尾数部分，而且运算结果都要求规格化 ，故浮点运算步骤比定点运算步骤多，运算速度比定点低，运算线路比定点复杂。

（4）在溢出的判断方法上，浮点数是对规格化数的阶码进行判断，而定点数是对数值本身进行判断。如小数定点机中的数其绝对值必须小于1，否则即"溢出"，此时要求机器停止运算，进行处理。为了防止溢出，上机前必须选择比例因子，这个工作比较麻烦，给编程带来不便。而浮点数的表示范围远比定点数大，仅当"上溢"时机器才停止运算，故一般不必考虑比例因子的选择。

6.2.5 IEEE754标准

在IEE754浮点数标准中，定义的浮点数的格式如下表所示。

|------------|-----|-------|--------|--------|
| 浮点数 | 符号位 | 阶码 | 尾数 | 总位数 |
| 短实数长实数临时实数 | 111 | 81125 | 235264 | 326480 |

在IEEE754标准里面：

• 阶码 使用移码表示
• 尾数 用补码表示

这样做的目的是机器零的表示正好 可以让所有的位都是0，便于机器判断。

6.3 定点运算

6.3.1 移位运算

1、定义

举个简单的例子：15m = 1500cm

这就代表了15这个数字左移了2两位，左移之后空缺的地方补上了0，这就是移位运算。

在十进制中，左移一位，相当于数值大小为原来的10倍，那么在二进制中，左移一位，相当于数值大小为原来的2倍。

前面我们知道，++计算机中有些二进制数是代表符号位的++，那么又产生如下定义：

• 逻辑移位：无符号位进行移位
• 算数移位：有符号位进行移位

2、算数移位规则

补位的规则如下：

|------|----------|------|
| | 码 制 | 添补代码 |
| 正数 | 原码、补码、反码 | 0 |
| 负数 | 原码 | 0 |
| 补码 | 左移添0 |
| 右移添1 |
| 反 码 | 1 |

在算数移位的过程中：++符号位不参与移动++。

举个例子：

设机器数字长为8位（含一位符号位），若A=±26，写出++三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式++及对应的真值，并分析结果的正确性。

首先来看正数，根据八位的字长写出其二进制形式0,0011010(左移时最高数位丢1，结果出错，右移时最低数位丢1，影响精度)：

|----------------------|-----------|-------|
| 移位操作 | 机 器 数 | 对应的真值 |
| A原=A补=A反 |
| 移位前 | 0,0011010 | +26 |
| 左移一位 | 0,0110100 | +52 |
| 左移两位 | 0,1101000 | +104 |
| 右移一位 | 0,0001101 | +13 |
| 右移两位 | 0,0000110 | +6 |

接下来看负数，这里就需要根据三种码制的不同来分别分析：

|------|-----------|-----------|-----|
| 移位操作 | 机 器 数 | 对应的真值 |
| 移位前 | 原码 | 1,0011010 | -26 |
| 左移一位 | 1,0110100 | -52 |
| 左移两位 | 1,1101000 | -104 |
| 右移一位 | 1,0001101 | -13 |
| 右移两位 | 1,0000110 | -6 |
| 移位前 | 补码 | 1,1100110 | -26 |
| 左移一位 | 1,1001100 | -52 |
| 左移两位 | 1,0011000 | -104 |
| 右移一位 | 1,1110011 | -13 |
| 右移两位 | 1,1111001 | -7 |
| 移位前 | 反码 | 1,1100101 | -26 |
| 左移一位 | 1,1001011 | -52 |
| 左移两位 | 1,0010111 | -104 |
| 右移一位 | 1,1110010 | -13 |
| 右移两位 | 1,1111001 | -6 |

总结上述规律：

• 左移可能会导致结果出错（最高位丢失）
• 右移可能会导致结果精度下降（最低位丢失）

3、硬件实现左移和右移

其中（a）真值为正的三种机器数的移位操作；（b）负数原码的移位操作；（c）负数补码的移位操作；（d）负数反码的移位操作。

4、算数移位和逻辑移位的区别

有符号数的移位称为算术移位，无符号数的移位称为逻辑移位。

逻辑移位的规则是：逻辑左移时，高位移出，低位添0；逻辑右移时，低位移出，高位添0。例如，寄存器内容为01010011，逻辑左移为1010010，算术左移为00100110（最高数位"1"移丢）。

又如寄存器内容为10110010，逻辑右移为01011001。若将其视为补码，算术右移为11011001。显然，两种移位的结果是不同的。

上例中为了避免算术左移时最高数位丢1，可采用带进位(Cy)的移位，其示意图如下图所示。算术左移时，符号位移至Cy，最高数位就可避免移出。

6.3.2 加减法

1、补码加法的基本公式

前面说过，计算机通常会把减法化为加法进行计算，而把减法化为加法的做法就是使用补码。

加法公式如下：

• 整数：A补+B补=A+B补 (mod 2n+1)
• 小数：A补+B补=A+B补 (mod 2)

减法公式如下：

• 整数：A-B补=A补+-B补 (mod 2n+1)
• 小数：A-B补=A补+-B补 (mod 2)

例1：x=0.1010，y=-0.0011，用++补码的加法++求x+y

解：x补=0.1010，y补=1.1101

　　x补+y补=0.1010+1.1101=10.0111（溢出部分舍去）

　　x+y=0.0111

例2：x=0.1001，y=-0.0011，用++补码的减法++求x-y

解：x补=0.1001，y补=1.1101,-y补=0.0011

　　x补-y补=x补+-y补=0.1001+0.0011=0.1100

　　x-y=0.1100

2、溢出判断

例如在上面的题目中，补码做加减法的时候可能会存在溢出现象，这种溢出判断会影响实际值的大小，也就是超出了机器字长表示的范围。所以需要做溢出判断。

判断方式有两种：

（1）用一位符号做溢出判断

不难知道，只有如下两种情况才可能出现溢出：

• 正数+正数
• 负数+负数

减法统一化为加法。

如果出现溢出现象，那么AB两位的符号位应该是相同的，当运算结果的符号位和原AB符号位不同的时候，就是溢出。

例如：

（2）用两位符号做溢出判断

原始的符号位定义如下：

• 正：0
• 负：1

两位符号位的定义如下：

• 正：00
• 负：11

同样，如果出现溢出现象，那么AB两位的符号位应该是相同的。

这种带有两位符号位的补码叫做**变形补码，变形补码的运算需要带上符号位。**

变形补码判断溢出的原则是：运算结果的两位符号位不同的时候，就表示溢出，否则就是不溢出。

• 正 溢出：两位符号位为01
• 负 溢出：两位符号位为10

无论是否溢出，两位符号位的最高位表示变形补码的真正符号。

例：设x=+1100，y=+1000，求6位双符号位补码之和x+y补。

x补=00,1100, y补=00,1000

x+y补=00,1100+00,1000=01,0100

x+y补=01,0100，其中两个符号位出现01，表示已溢出，并且为上溢出，最终结果符号为正。

验算可得：x+y = 12 + 8 = 20 ，确实为上溢出。

6.3.3 乘法运算

1、笔算乘法

设A=0.1101，B=0.1011，求A×B。

如果是笔算，可以知道：

可以看的出来，二进制的乘法其实可以概括为两个运算：加法运算 和移位运算。

加法就是加法，而移位运算实际上就是乘2n，将其稍作改动可以获得：

由此可以知道原码的计算乘法的方法，主要有两种方法：

• 原码一位乘法
• 原码两位乘法

这里的一位指代的是一次和一位二进制数做运算 。
那么两位就是指一次和两位二进制数做运算。

2、原码一位乘运算

在计算机中，乘法最后的结果不是有一块单独的寄存器存储的，而是分为两块：ACC(乘积高位)，MQ(乘积低位)。

①乘法运算可用移位和加法来实现，两个4位数相乘，总共需要进行4次加法运算和4次 移位。

②由乘数的末位值确定被乘数是否与原部分积相加，然后右移一位，形成新的部分积；同时，乘数也右移一位，由次低位作新的末位，空出最高位放部分积的最低位。

③每次做加法时，被乘数仅仅与原部分积的高位相加，其低位被移至乘数所空出的高位位置

步骤如下：

• 首先，符号位 由乘数和被乘数的符号位做异或决定，不参与后面的真值运算。
• 高位部分首先置为0，低位部分为乘数真值
• 然后被乘数依次乘以**乘数各位（从低位到高位），其结果加上前一次高位部分的结果，作为高位的最终结果**
• 高位部分右移一位，移出的部分补到低位部分的高位，低位部分的最低位舍去（这一点非常重要）
• 往复上述过程，直到乘数所有位数都被乘完，最终**++高位和低位合并即为最终结果++**。

比如，一开始高位置为0，也就是00.0000，低位为乘数真值，也就是1011。

先做加法运算 ，被乘数1101乘以乘数最低位1答案就是1101，结果加上前一次高位就是00.1101。

接下来做移位运算 ，高位右移一位：00.01101；低位右移并且补位：11101。

3、原码两位乘运算

原码两位乘与原码一位乘一样，符号位的运算和数值部分是分开进行的，但原码两位乘是用两位乘数的状态来决定新的部分积如何形成，因此可提高运算速度。

思路还是和一位乘一样，一位乘每次值乘一个二进制位数，也就是只有0, 1，两位乘就有四种情况：

|-----|------------|
| 乘数 | 新的部分积 |
| 0 0 | 加上0倍的|x| |
| 0 1 | 加上1倍的|x| |
| 1 0 | 加上2倍的|x| |
| 1 1 | 加上3倍的|x| |

上面四种情况里面，++0倍就是加上0，1倍就是加上原数，2倍相当于原数直接左移一位++ ，只有3倍处理起来比较麻烦，在计算机中可以这样操作：++原数先乘以4（左移两位），再减去1倍的原数（转为补码就变成了加法）++。

4、补码一位乘运算

6.3.4 除法运算

1、笔算除法分析

笔算除法如下：

和正常十进制的除法运算类似，特点可以归纳为：

• 每次上商都是通过比较余数（被除数）和除数的大小来确定商为1还是0。
• 例如：第一步中0.1101作为除数，大于被除数 0.1011，所以第一位上商为0
• 每一次做减法运算，余数（被除数）不动，低位补0，再减去右移后的除数。
• 上商的位置不固定（说实话我也不懂这句话是什么意思）
• 商符单独处理（也就是做异或运算）

小数定点除法运算对于被除数和除数有一定的约束：0 < |被除数| ≤ |除数|

2、原码除法

原码除法有两种方法：

• 恢复余数法
• 加减交替法

（1）恢复余数法

特点：当余数为负数的时候，加上除数，让余数恢复为原来的余数。

步骤：

1. 符号位单独按两数符号异或求得;参与运算的是绝对值的补码
2. 判溢出, 要求|被除数| < |除数| （对小数而言）（如果是整数，则要求|被除数| > |除数| ）;
3. 被除数减去除数，（加上除数的补码）
4. ++若所得余数为正,相应位上商为1,余数左移一位,减去y补;若余数为负,相应位上商为0,余数加上除数(恢复余数),再左移一位，加上-y补;++
5. 重复第4步,直到求得所要求的商为止(移n次)
6. 若最后一步余数为负，则需要恢复余数。

举个例子：

例：已知：x=-0.1011,y=-0.1101,求：x÷y原

解：首先写出x和y的原码补码：[x]原=1.1011，[y]补=1.0011,[y]原=1.1101

|------------------------|---------|--------------------------------|
| 被除数(余数) | 商 | 说 明 |
| 0.1011 + 1.0011 | 0.0000 | +-y\*补（减去除数） |
| 1.1110 + 0.1101 | 0 | 余数为负，上商0 恢复余数+y\*补 |
| 0.1011 1.0110 + 1.0011 | 0 | 被恢复的被除数 左移1位 +-y\*补（减去除数） |
| 0.1001 1.0010 + 1.0011 | 01 01 | 余数为正，上商1 左移1位 +-y\*补（减去除数） |
| 0.0101 0.1010 +1.0011 | 011 011 | 余数为正，上商1 左移1位 +-y\*补（减去除数） |
| 1.1101 + 0.1101 | 0110 | 余数为负，上商0 恢复余数+y\*补 |
| 0.1010 1.0100 + 1.0011 | 0110 | 被恢复的被除数 左移1位 +-y\*补（减去除数） |
| 0.0111 | 01101 | 余数为正，上商1 |

符号位由除数和被除数决定，最后可得，商值为0.1101。

四位小数，做 五次加法运算，其中最后一次为矫正作用。

（2） 加减交替法

所谓加减交替法，也就是不做余数的回复，通过先移位的方式来避免恢复余数，过程如下：

举个例子：

例：已知：x=-0.1011,y=0.1101,求：x÷y原

解：首先写出x和y的原码补码：[x]原=1.1011，[-y]补=1.0011,[y]原=1.1101

这里是无论上商为多少，都是先做移位运算，再根据上商做加法

• 上商0：+y\*补
• 上商1：+-y\*补

|------------------------|-----------|-------------------------------|
| 被除数(余数) | 商 | 说 明 |
| 0.1011 + 1.0011 | 0.0000 | +-y\*补（减除数） |
| 1.1110 1.1100 + 0.1101 | 0 0 | 余数为负，上商0 ← 1位 +y\*补 (加除数) |
| 0.1001 1.0010 + 1.0011 | 01 01 | 余数为正，上商1 ← 1位 +-y\*补（减除数） |
| 0.0101 0.1010 + 1.0011 | 011 011 | 余数为正，上商1 ← 1位 +-y\*补（减除数） |
| 1.1101 1.1010 + 0.1101 | 0110 0110 | 余数为负，上商0 ← 1位 +y\*补 (加除数) |
| 0.0111 | 01101 | 余数为正，上商1 |

最后答案还是相同的：0.1101

3、补码除法

补码除法常采用加减交替法。

算法规则如下：

1. 符号位参加运算，除数与被除数均用双符号补码表示。
2. ++被除数与除数同号 ，被除数减去 除数；被除数与除数异号 ，被除数加上除数++。
3. ++余数与除数同号 ，商上1 ，余数左移一位减去除数； 余数与除数异号 ，商上0，余数左移一位加上除数++。（注意：余数左移加上或减去除数后就得到了新余数。）
4. 采用校正法包括符号在内，重复n+1次3

注意，使用此运算规则，需要修正商符， 商的末位恒置1。

简化可得：

|---------------|----|
| x补与y补 | 商值 |
| 同号 | 1 |
| 异号 | 0 |

关于商符：

在小数定点除法中，被除数的绝对值必须小于除数的绝对值，否则商大于1而溢出。因此：

• 当x补与y补同号 时，x补-y补所得的余数R0补与y补异号，商上"0"，恰好与商的符号(正)一致；
• 当x补与y补异号 时，x补+y补所得的余数R0补与y补同号，商上"1"，这也与商的符号(负)一致。

可见，商符是在求商值过程中自动形成的。

　　此外，商的符号还可用来判断商是否溢出。例如：

• 当x补与y补同号时，若R0补与y补同号，上商"1"，即溢出。
• 当x补与y补异号时，若R0补与y补异号，上商"0"，即溢出。

　　当然，对于小数补码运算，商等于"-1"应该是允许的，但这需要特殊处理，为简化问题，这里不予考虑。

举个例子：

例：已知：x=-0.1001, y=+0.1101 求： x÷y补

　　解：x补=1.0111,y补=0.1101,-y补=1.0011

|------------------------|------------|-----------------------------------|
| 被除数（余数） | 商 上商 | 说 明 |
| 1.0111+ 0.1101 | 0.0000 | x补与y补异号，+y补 |
| 0.0100 0.1000 + 1.0011 | 1 1 | R补与y补同号，上商1 ← 1位 +-y补 |
| 1.1011 1.0110 + 0.1101 | 10 10 | R补与y补异号，上商0 ← 1位 +y补 |
| 0.0011 0.0110 + 1.0011 | 101 101 | R补与y补同号，上商1 ← 1位 +-y补 |
| 1.1001 1.0010 | 1010 10101 | R补与y补异号，上商0 ← 1位,末位商恒置"1" |

所以x÷y补=1.0101

6.4 浮点四则运算

6.4.1 浮点加减运算

首先我们需要知道浮点数的形式：

x = S * r j

由于浮点数尾数的小数点均固定在第一数值位前，尾数的加减运算规则与定点数完全相同 。但由于其阶码的大小又直接反映尾数有效值的小数点位置，++因此当两浮点数阶码不等时，因两尾数小数点的实际位置不一样++，尾数部分无法直接进行加减运算。因此，浮点数加减运算必须按以下n步进行：

①对阶：使两数的阶码位置对齐。

②尾数求和：将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和(差)。

③规格化：为增加有效数字的位数，提高运算精度，必须将求和(差)后的尾数规格化。

④舍入：为提高精度，要考虑尾数右移时丢失的数值位。

⑤判断结果：即判断结果是否溢出。

1、对阶

对阶的目的是使两操作数的小数点位置对齐 ，即使两数的阶码相等 。为此，首先要求出阶差，再按小阶向大阶看齐 的原则，使阶小的尾数向右移位，每右移一位，阶码加1 ，直到两数的阶码相等为止。右移的次数正好等于阶差。++尾数右移时可能会发生数码丢失，影响精度++。

例如，两浮点数**x＝0.1101×201，y=(-0.1010)×211** ，求x+y。

很明显这里y的阶码比较大，所以这里需要转换的是x的阶码，由01变为11，也就是从1变成了3，尾数应该右移两位，所以0.1101变为0.0011。此时x＝0.0011×211。

2、尾数求和

将对阶后的两个尾数按定点加(减)运算规则进行运算。

eg：如上例中的两数对阶后得：

　　x补=00,11;00.0011

　　y补=00,11;11.0110

　　则Sx+Sy补=00.0011 +11.0110=11.1001

　　即x+y补=00,11;11.1001

3、规格化

由第二章可知，尾数S的规格化形式为

如果采用双符号位的补码，则

1. 当S>0时，其补码规格化形式为：S补=00.1××...×
2. 当S<0时，其补码规格化形式为：S补=11.0××...×

对S<0时，有两种情况需特殊处理。

　　①S=-1/2，则S补=11.100...0。对于补码而言，它不满足于上面的规格化表示式。为了便于硬件判断，特规定-1/2是规格化的数(对补码而言)。

　　②S=-1，则S补=11.000...0。因小数补码允许表示-1，故**-1视为规格化的数**。

注：规格化又分左规和右规两种。

（1）左规。当尾数出现00.0××...×或11.1××...×时，需左规。左规时尾数左移一位，阶码减1，直到符合补码规格化表示式为止。

如上例求和结果为：

　　x+y补=00,11;11.1001

++尾数的第一数值位与符号位相同，需左规，即将其左移一位，同时阶码减1，++ 得x+y补=00,10;11.0010。

（2）右规。当尾数出现01.××...×或10.××...×时，表示尾数溢出，这在定点加减运算中是不允许的，但在浮点运算中这不算溢出，++可通过右规处理。右规时尾数右移一位，阶码加1++。

4、舍入

在对阶和右规的过程中，可能会将尾数的低位丢失，引起误差，影响了精度，为此可用舍入法来提高尾数的精度。常用的舍入方法有三种。

（1）截去法：将多余的位截去，剩下的位不变。其最大误差接近于数据最低位上的1。

特点：有舍无入，具有误差积累。

（2）"0舍1入"法："0舍1入"法类似于十进制运算中的"四舍五入"法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能使尾数又溢出，此时需再做一次右规。

特点：其最大误差是最低位上的-1/2到接近于1/2之间，正误差可以和负误差抵消。是比较理想的方法，但实现起来比较复杂。

（3）"恒置1"法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是"1"或"0"，都使右移后的尾数末位恒置"1"。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

特点：尽管误差范围扩大了，但正负误差可以相互抵消，从统计角度，平均误差为0。因此最后运算结果的准确性提高了。

5、判断溢出

• 阶码j补=01，××...×为上溢。
• 阶码j补=10，××...×为下溢，按机器零处理。

阶符为"01"时，需做溢出处理。

6、完整运算

6.4.2 浮点乘除运算

两个浮点数相乘，++其乘积的阶码应为相乘两数的阶码之和++ ，++其乘积的尾数应为相乘两数的尾数之积++。

两个浮点数相除，++商的阶码为被除数的阶码减去除数的阶码++ ，++其尾数为被除数的尾数除以除数的尾数所得的商++。

步骤如下：

1. 阶码运算
2. 尾数运算
3. 规格化
4. 舍入处理