文章目录
[6.1 无符号数和有符号数](#6.1 无符号数和有符号数)
[6.1.1 无符号数](#6.1.1 无符号数)
[6.1.2 有符号数](#6.1.2 有符号数)
[6.2 数的定点表示和浮点表示](#6.2 数的定点表示和浮点表示)
[6.2.1 定点表示](#6.2.1 定点表示)
[6.2.2 浮点表示](#6.2.2 浮点表示)
[6.2.3 定点数和浮点数的比较](#6.2.3 定点数和浮点数的比较)
[6.2.5 IEEE754标准](#6.2.5 IEEE754标准)
[6.3 定点运算](#6.3 定点运算)
[6.3.1 移位运算](#6.3.1 移位运算)
[6.3.2 加减法](#6.3.2 加减法)
[6.3.3 乘法运算](#6.3.3 乘法运算)
[6.3.4 除法运算](#6.3.4 除法运算)
[6.4 浮点四则运算](#6.4 浮点四则运算)
[6.4.1 浮点加减运算](#6.4.1 浮点加减运算)
[6.4.2 浮点乘除运算](#6.4.2 浮点乘除运算)
6.1 无符号数和有符号数
6.1.1 无符号数
1、定义
所谓无符号数即没有符号的数，在寄存器中的每一位均可用来存放数值。
例如
123就是一个 无符号数 ，±123就是一个有 符号数，显然无符号数只能表达正数，不能表达负数。
2、表示范围
无符号的数的表示范围和**机器字长** 有关，如果机器字长为16位，那么无符号数的表示范围就是：0～65535
65535就是216-1。
6.1.2 有符号数
对有符号数而言，++符号的"正"、"负"机器是无法识别的++ ，但由于"正"、"负"恰好是两种截然不同的状态，++如果用"0"表示"正"，用"1"表示"负"++，这样符号也被数字化了，并且规定将它放在有效数字的前面，这样就组成了有符号数。
有符号数的表示有三种方式：
- 原码
- 补码
- 反码
1、原码
原码定义如下：
例：如果是整数：
1101\]原 = 0,1101 \[-1101\]原 = 1,1101 > 使用" **,"**作为间隔。 如果是**小数**： \[0.1101\]原 = 0.1101 \[-0.1101\]原 = 1.1101 > 使用" **."**作为间隔， **并且把原先整数位的`0`改为了符号位**。 原码中有一个特殊例子，那就是**0**的原码。 由于`0`可以表示为`﹢0`和`﹣0`，所以`0`的原码有两种： * `﹢0`：`0,0` * `﹣0`：`1,0` 如果机器中采用**原码**做运算，会出现如下问题： 当一个正数加上一个负数的时候，符号位有可能为正也有可能为负。 > 相当于做了减法运算，但是计算机不擅长做减法而是擅长加法，所以需要进行一个转换。 为了避免这种情况于是出现了**补码**。 ##### 2、补码 补码的本质其实就是**[同余](https://www.zhihu.com/search?q=%E5%90%8C%E4%BD%99&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "同余")**。 举个例子，在**时钟** 的背景下，如果想要把`6`点变为`3`点，有两种做法： * 6 - 3 = 3 * 6 + 9 = 15 = 3 > 15点相当于3点。 所以这里6加9和减去3的效果是一样的。 补码的定义如下：   有一种更简单的方法求解： * 对于**正数x**：\[x\]原 = \[x\]补 * 对于**负数x** ：**\[x\]补 = \[x\]原 符号位不变，各位取反，末位加一** 例如： * \[1101\]补=\[1101\]原 = 0,1101 * \[-1101\]补 = 1,0011 > 负数求解过程如下： > 首先求解原码：\[- 1101\]原 = 1,1101 > 除了符号位 `1`，后面四位取反：1,0010 > 最后末位一个数加一1,0011 > **++如果遇到算数溢出，则舍去溢出部分++**。 和原码不同的是，`±0`的补码都是相同的，以4位为例： * \[+ 0000\]补：0,0000 * \[ - 0000\]补：0,0000 > - 0000的原码是1,0000 > 各位取反为：1,1111 > 末尾加1会发现此时变为了10,0000 > ++这里会发现符号位溢出了，需要去掉最高位++ ，所以 `[-0000]补：0,0000` 最后补充一个知识点： **相反数的补码** ：**连同**符号位，各位取反，末位加一 假设`[y]补 = y0.y1y2...yn`，求\[-y\]补  ##### 3、反码 定义：   求解很简单： * **正数**：等同于原码 * **负数**：符号位不变，各位取反 例如： * \[1101\]反=\[1101\]原 = 0,1101 * \[-1101\]反 = 1,0010 ##### 4、移码 当真值使用补码表示的时候，由于符号位和数值部分一起编码，所以比较的时候很难从补码的形式上判断真实的大小。 例如数`21`对应二进制的补码就是：0,10101 `-21`对应二进制的补码表示是：1,01101 由于在计算机中，`,`其实是不存在的，只是为了便于辨别符号和真值才写的，所以符号位也是一个**二进制数** ，从代码形式上来看，就会得出`1,01101 > 0,10101`。 但实际是相反的，为了便于直接进行比较，所以出现了**移码**。 移码的定义是在对应真值加上一个2n。 但是这里有一个更简单的方法计算：**对应补码符号位取反** 例如： * \[10101\]移 = 1,10101 * \[-10101\]移 = 0,01011 这样就可以直接比较移码的大小判断真值的大小。 ##### 5、小结 计算机三种**码制**： **正数**：\[x\]原 = \[x\]补= \[x\]反 **负数**： * \[x\]补 = \[x\]原 符号位不变，各位取反，末尾加一 * \[x\]反 = \[x\]原 符号位不变，各位取反 正数使用`,`区分，小数使用`.`区分。 表示范围：（假设机器字长为**8位**，总共可以表示256个数） * 原码：-127 \~ 127 * 补码：-128 \~ 127 * 反码：-127 \~ 127 * 真值： 0 - 255 ### 6.2 数的定点表示和浮点表示 #### 6.2.1 定点表示 所谓定点表示，**就是小数点的位置是固定**。  当小数点位于++数符和第一数值位之间时，机器内的数为**纯小数**++； 当小数点++位于数值位之后时，机器内的数为**纯整数**++。 在定点机中，由于小数点的位置固定不变，故当机器处理的数不是纯小数或纯整数时，必须乘上一个**比例因子**，否则会产生"溢出"。 > 比如机器字长为8位，使用定点表示 `4`这个数就是 `0000100` > 使用定点表示 `0.5`这个数就是 `0.10000000`（小数点后面8位） > 简单来说 [定点数](https://www.zhihu.com/search?q=%E5%AE%9A%E7%82%B9%E6%95%B0&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "定点数")就是保证 **位数固定不变**。 #### 6.2.2 浮点表示 ①常用的[科学计数法](https://www.zhihu.com/search?q=%E7%A7%91%E5%AD%A6%E8%AE%A1%E6%95%B0%E6%B3%95&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "科学计数法")： 352.47=3.5247×102 =3524.7×10-1 =0.35247×103 浮点表示也是类似的，其格式如下：  其中： * `N` ：真值 * `S` ：尾数（可正可负） * `r` ：基数（一般取 2,4,8） * `j` ：阶码（可正可负） 举个例子： 11.0101 = 0.110101 \* 2**10** > 注意：这里的 **10**不是十进制当中的十，而是二进制表示的 **2**。 * `S` ：0.110101 * `r` ：2 * `j` ：10 ##### 1、浮点数的表现形式 浮点数的表现形式如下：  前`j`位用于表示**阶码** ，其中1位表示**[阶符](https://www.zhihu.com/search?q=%E9%98%B6%E7%AC%A6&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "阶符")** （`1`表示`-`，`0`表示`+`），剩下用于表示**真值**； 后`s`位用于表示**尾数** ，其中1位表示**数符** （`1`表示`-`，`0`表示`+`），剩下用于表示**真值**； 举个例子，假设**阶码有`4`位，尾数有`8`位** ，` 0.110101 * 2`**10**可以表示为： 0,0**10**; 0.1101010 * `阶符` ：0（1位） * [阶码真值](https://www.zhihu.com/search?q=%E9%98%B6%E7%A0%81%E7%9C%9F%E5%80%BC&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "阶码真值") ：010（3位） * `数符` ：0（1位） * `尾数真值` ：.1101010（7位） > **使用`;`间隔尾数和阶码** > **其中：当小数点后面第一位为1的时候，这种为浮点数的规格化形式。** > 例如：N = 0.110101 \* 210 ##### 2、浮点数的表示范围 以通式`N= S×rj`为例，设浮点数++阶码的数值位取**m** 位，尾数的数值位取**n**位++ ，当浮点数为[非规格化数](https://www.zhihu.com/search?q=%E9%9D%9E%E8%A7%84%E6%A0%BC%E5%8C%96%E6%95%B0&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "非规格化数")时，它在数轴上的表示范围如下所示。  首先看正数区，也就需要求出**最大正数** 和**最小正数**即可确定范围。 如果是最大正数，那么阶码就应该取**正数的最大值** ，m位数值为阶码代表阶码数值的最大值应该为`2m-1`。 > 例如：阶码数值为有4位，那么最大值应该是 `1111`也就是 `15 = 24 -1` 其次，**尾数** 也要最大，++也就是尾数数值部分应该全为1++ ，数值部分总共有`n位`，那尾数的最大值就是`1-2-n` > 例如：尾数数值有8位，那么最大值应该是 `0.11111111`也就是 `1-2-8` 浮点数的数值只有在这两个区间（负数区和正数区）之间是有效的，超出这两个区域的都被称为**溢出**。 * **上溢出**：[浮点数阶码](https://www.zhihu.com/search?q=%E6%B5%AE%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%98%B6%E7%A0%81&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "浮点数阶码")大于最**大**阶码，机器停止运算，进行中断溢出处理 * **下溢出**：浮点数阶码小于最**小** 阶码，尾数**强置** 为0，按照**机器零**处理 ##### 3、浮点数的规格化 在浮点数中：基数**r**越大，表示的浮点数范围越大，但是精度会下降。 为了提高精度，一般会把尾数转为**规格化数** ，++通常通过修改阶码并且将尾数左右移动的方式实现++，实现规则如下： * 基数为**2** 时 * **尾数最高位为1的数是规格化数** * `左规`：尾数左移`1`位，阶码减`1` * `右规`：尾数右移`1`位，阶码加`1` * 基数为**4** 时 * **尾数最高2位不全为0的数是规格化数** * `左规`：尾数左移`2`位，阶码减`1` * `右规`：尾数右移`2`位，阶码加`1` * 基数为**8** 时 * **尾数最高3位不全为0的数是规格化数** * `左规`：尾数左移`3`位，阶码减`1` * `右规`：尾数右移`3`位，阶码加`1` > 注意这里的左移指的是尾数左移，实际小数点是右移的。 > 例如：0.0010变为0.0100就是左移1位 例：将十进制数`+13/128`写成二进制定点数和浮点数（++数值部分取10位，阶码部分取4位，阶符和数符各取1位++），分别写出它在定点机和浮点机中的机器数形式。 > 这里只要知道 `1/128`就是2-7即可，记得知道 `+13/128 = 1101 * 2-7` 解：令x=+13/128 其二进制形式：x=0.0001101000 定点数形式：x=0.0001101000 > 定点数不足的位数使用0补齐，小数后面补0，整数前面补0。 浮点数规格化表示：x=0.1101000000×2-11 > 浮点数的表示可以根据定点数来写， **对定点数进行规格化**。 定点机中 \[x\]原=\[x\]补=\[x\]反=0.0001101000 浮点机中 \[x\]原：1,0011;0.1101000000 \[x\]补：1,1101;0.1101000000 #### 6.2.3 定点数和浮点数的比较 （1）++当浮点机和定点机中的数其位数相同时，**浮点数的表示范围比定点数大得多**++。 （2）当++浮点数为规格化数时，其**精度远比定点数高**++。 （3）浮点数运算要分阶码部分和尾数部分，而且**运算结果都要求规格化** ，故[浮点运算](https://www.zhihu.com/search?q=%E6%B5%AE%E7%82%B9%E8%BF%90%E7%AE%97&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "浮点运算")步骤比定点运算步骤多，运算速度比定点低，运算线路比定点复杂。 （4）在溢出的判断方法上，浮点数是对规格化数的阶码进行判断，而定点数是对数值本身进行判断。如小数定点机中的数其绝对值必须小于1，否则即"溢出"，此时要求机器停止运算，进行处理。为了防止溢出，上机前必须选择比例因子，这个工作比较麻烦，给编程带来不便。而浮点数的表示范围远比定点数大，仅当"上溢"时机器才停止运算，故一般不必考虑比例因子的选择。 #### 6.2.5 IEEE754标准 在IEE754浮点数标准中，定义的浮点数的格式如下表所示。 |------------|-----|-------|--------|--------| | 浮点数 | 符号位 | 阶码 | 尾数 | 总位数 | | 短实数长实数临时实数 | 111 | 81125 | 235264 | 326480 | 在IEEE754标准里面： * **阶码** 使用**移码**表示 * **尾数** 用**补码**表示 > 这样做的目的是机器零的表示正好 **可以让所有的位都是`0`**，便于机器判断。 ### 6.3 定点运算 #### 6.3.1 移位运算 ##### 1、定义 举个简单的例子：15m = 1500cm 这就代表了15这个数字左移了2两位，左移之后空缺的地方补上了0，这就是移位运算。 在十进制中，左移一位，相当于数值大小为原来的`10`倍，那么在二进制中，左移一位，相当于数值大小为原来的`2`倍。 前面我们知道，++计算机中有些二进制数是代表**符号位**的++，那么又产生如下定义： * **`逻辑移位`：无符号位进行移位** * **`算数移位`：有符号位进行移位** ##### 2、算数移位规则 补位的规则如下： |------|----------|------| | | 码 制 | 添补代码 | | 正数 | 原码、补码、反码 | 0 | | 负数 | 原码 | 0 | | 补码 | 左移添0 | | 右移添1 | | 反 码 | 1 | 在算数移位的过程中：**++符号位不参与移动++**。 举个例子： 设机器数字长为8位（含一位符号位），若`A=±26`，写出++三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式++及对应的真值，并分析结果的正确性。 首先来看正数，根据八位的字长写出其二进制形式`0,0011010(左移时最高数位丢1，结果出错，右移时最低数位丢1，影响精度)`： |----------------------|-----------|-------| | 移位操作 | 机 器 数 | 对应的真值 | | \[A\]原=\[A\]补=\[A\]反 | | 移位前 | 0,0011010 | +26 | | 左移一位 | 0,0110100 | +52 | | 左移两位 | 0,1101000 | +104 | | 右移一位 | 0,0001101 | +13 | | 右移两位 | 0,0000110 | +6 | 接下来看负数，这里就需要根据三种码制的不同来分别分析： |------|-----------|-----------|-----| | 移位操作 | 机 器 数 | 对应的真值 | | 移位前 | 原码 | 1,0011010 | -26 | | 左移一位 | 1,0110100 | -52 | | 左移两位 | 1,1101000 | -104 | | 右移一位 | 1,0001101 | -13 | | 右移两位 | 1,0000110 | -6 | | 移位前 | 补码 | 1,1100110 | -26 | | 左移一位 | 1,1001100 | -52 | | 左移两位 | 1,0011000 | -104 | | 右移一位 | 1,1110011 | -13 | | 右移两位 | 1,1111001 | -7 | | 移位前 | 反码 | 1,1100101 | -26 | | 左移一位 | 1,1001011 | -52 | | 左移两位 | 1,0010111 | -104 | | 右移一位 | 1,1110010 | -13 | | 右移两位 | 1,1111001 | -6 | 总结上述规律： * **左移可能会导致结果出错（最高位丢失）** * **右移可能会导致结果精度下降（最低位丢失）** ##### 3、硬件实现左移和右移  其中（a）真值为正的三种机器数的移位操作；（b）负数原码的移位操作；（c）负数补码的移位操作；（d）负数反码的移位操作。 ##### 4、算数移位和逻辑移位的区别 有符号数的移位称为算术移位，无符号数的移位称为逻辑移位。 逻辑移位的规则是：逻辑左移时，高位移出，低位添0；逻辑右移时，低位移出，高位添0。例如，寄存器内容为01010011，逻辑左移为1010010，算术左移为00100110（最高数位"1"移丢）。 又如寄存器内容为10110010，逻辑右移为01011001。若将其视为补码，算术右移为11011001。显然，两种移位的结果是不同的。 上例中为了避免算术左移时最高数位丢1，可采用带进位(Cy)的移位，其示意图如下图所示。算术左移时，符号位移至Cy，最高数位就可避免移出。  #### 6.3.2 加减法 ##### 1、补码加法的基本公式 前面说过，计算机通常会把减法化为加法进行计算，而把减法化为加法的做法就是使用补码。 **加法**公式如下： * **整数**：\[A\]补+\[B\]补=\[A+B\]补 (mod 2n+1) * **小数**：\[A\]补+\[B\]补=\[A+B\]补 (mod 2) **减法**公式如下： * **整数**：\[A-B\]补=\[A\]补+\[-B\]补 (mod 2n+1) * **小数**：\[A-B\]补=\[A\]补+\[-B\]补 (mod 2) 例1：x=0.1010，y=-0.0011，用++补码的加法++求x+y 解：\[x\]补=0.1010，\[y\]补=1.1101 \[x\]补+\[y\]补=0.1010+1.1101=10.0111（溢出部分舍去） x+y=0.0111 例2：x=0.1001，y=-0.0011，用++补码的减法++求x-y 解：\[x\]补=0.1001，\[y\]补=1.1101,\[-y\]补=0.0011 \[x\]补-\[y\]补=\[x\]补+\[-y\]补=0.1001+0.0011=0.1100 x-y=0.1100 ##### 2、溢出判断 例如在上面的题目中，补码做加减法的时候可能会存在**溢出现象**，这种溢出判断会影响实际值的大小，也就是超出了机器字长表示的范围。所以需要做溢出判断。 判断方式有两种： **（1）用一位符号做溢出判断** 不难知道，只有如下两种情况才可能出现溢出： * 正数+正数 * 负数+负数 > 减法统一化为加法。 如果出现溢出现象，那么`AB`两位的符号位应该是相同的，**当运算结果的符号位和原`AB`符号位不同的时候，就是溢出**。 例如： **（2）用两位符号做溢出判断** 原始的符号位定义如下： * 正：`0` * 负：`1` 两位符号位的定义如下： * 正：`00` * 负：`11` 同样，如果出现溢出现象，那么`AB`两位的符号位应该是相同的。 这种带有两位符号位的补码叫做**[变形补码](https://www.zhihu.com/search?q=%E5%8F%98%E5%BD%A2%E8%A1%A5%E7%A0%81&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "变形补码")，变形补码的运算需要带上符号位。** 变形补码判断溢出的原则是：运算结果的**两位符号位不同**的时候，就表示溢出，否则就是不溢出。 * **正** 溢出：两位符号位为`01` * **负** 溢出：两位符号位为`10` 无论是否溢出，**两位符号位的最高位表示变形补码的真正符号**。 例：设`x=+1100`，`y=+1000`，求**6位双符号位**补码之和\[x+y\]补。 \[x\]补=00,1100, \[y\]补=00,1000 \[x+y\]补=00,1100+00,1000=01,0100 \[x+y\]补=01,0100，其中两个符号位出现01，表示已溢出，并且为上溢出，最终结果符号为正。 > 验算可得：x+y = 12 + 8 = 20 ，确实为上溢出。 #### 6.3.3 乘法运算 ##### 1、笔算乘法 设A=0.1101，B=0.1011，求A×B。 如果是笔算，可以知道：  可以看的出来，二进制的乘法其实可以概括为两个运算：**加法运算** 和**移位运算**。 加法就是加法，**而移位运算实际上就是乘2n**，将其稍作改动可以获得：  由此可以知道原码的计算乘法的方法，主要有两种方法： * 原码一位乘法 * 原码两位乘法 > **这里的`一位`指代的是一次和一位二进制数做运算** 。 > 那么两位就是指一次和两位二进制数做运算。 ##### 2、原码一位乘运算 在计算机中，乘法最后的结果不是有一块单独的寄存器存储的，而是分为两块：**ACC(乘积高位)，MQ(乘积低位)**。  ①乘法运算可用移位和加法来实现，两个4位数相乘，总共需要进行4次加法运算和4次 移位。 ②由乘数的末位值确定被乘数是否与原部分积相加，然后右移一位，形成新的部分积；同时，乘数也右移一位，由次低位作新的末位，空出最高位放部分积的最低位。 ③每次做加法时，被乘数仅仅与原部分积的高位相加，其低位被移至乘数所空出的高位位置 步骤如下： * 首先，**符号位** 由乘数和被乘数的符号位做**异或**决定，不参与后面的真值运算。 * 高位部分首先置为0，低位部分为**乘数真值** * 然后**被乘数**依次乘以**`乘数`各位（从低位到高位），其结果加上前一次高位部分的结果，作为高位的最终结果** * **高位部分右移一位，移出的部分补到低位部分的高位，低位部分的最低位舍去**（这一点非常重要） * 往复上述过程，直到乘数所有位数都被乘完，最终**++高位和低位合并即为最终结果++**。 比如，一开始高位置为0，也就是`00.0000`，低位为乘数真值，也就是`1011`。 先做**加法运算** ，被乘数`1101`乘以乘数最低位`1`答案就是`1101`，结果加上前一次高位就是`00.1101`。 接下来做**移位运算** ，高位右移一位：`00.0110`**1**；低位右移并且补位：**1**`110`**`1`。** ##### 3、原码两位乘运算 原码两位乘与原码一位乘一样，符号位的运算和数值部分是分开进行的，但原码两位乘是用两位乘数的状态来决定新的部分积如何形成，**因此可提高运算速度**。 思路还是和一位乘一样，一位乘每次值乘一个二进制位数，也就是只有`0`, `1`，两位乘就有四种情况： |-----|------------| | 乘数 | 新的部分积 | | 0 0 | 加上0倍的\|x\| | | 0 1 | 加上1倍的\|x\| | | 1 0 | 加上2倍的\|x\| | | 1 1 | 加上3倍的\|x\| | 上面四种情况里面，++0倍就是加上0，1倍就是加上原数，2倍相当于原数直接左移一位++ ，只有3倍处理起来比较麻烦，在计算机中可以这样操作：++原数先乘以4（左移两位），再减去1倍的原数（转为补码就变成了加法）++。 ##### 4、补码一位乘运算  #### 6.3.4 除法运算 ##### 1、笔算除法分析 笔算除法如下：  和正常十进制的除法运算类似，特点可以归纳为： * 每次**上商**都是通过**比较余数（被除数）和除数的大小**来确定商为1还是0。 * 例如：第一步中`0.1101`作为除数，大于**被除数** `0.1011`，所以第一位上商为`0` * 每一次做减法运算，余数（被除数）不动，低位补`0`，**再减去右移后的除数**。 * 上商的位置不固定（说实话我也不懂这句话是什么意思） * **`商符`单独处理（也就是做异或运算）** > 小数定点除法运算对于被除数和除数有一定的约束：0 \< \|被除数\| ≤ \|除数\| ##### 2、原码除法 原码除法有两种方法： * 恢复余数法 * [加减交替法](https://www.zhihu.com/search?q=%E5%8A%A0%E5%87%8F%E4%BA%A4%E6%9B%BF%E6%B3%95&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "加减交替法") **（1）恢复余数法** **特点**：当余数为负数的时候，加上除数，让余数恢复为原来的余数。 **步骤**： 1. 符号位单独按两数符号异或求得;参与运算的是绝对值的补码 2. 判溢出, 要求\|被除数\| \< \|除数\| （对小数而言）（如果是整数，则要求\|被除数\| \> \|除数\| ）; 3. 被除数减去除数，（**加上除数的补码**） 4. ++若所得余数为正,相应位上商为1,余数左移一位,减去\[y\]补;若余数为负,相应位上商为0,余数加上除数(恢复余数),再左移一位，加上\[-y\]补;++ 5. 重复第4步,直到求得所要求的商为止(移n次) 6. 若最后一步余数为负，则需要恢复余数。 举个例子： 例：已知：x=-0.1011,y=-0.1101,求：\[x÷y\]原 解：首先写出x和y的原码补码：`[x]原=1.1011`，`[y]补=1.0011`,`[y]原=1.1101` |------------------------|---------|--------------------------------| | 被除数(余数) | 商 | 说 明 | | 0.1011 + 1.0011 | 0.0000 | +\[-y\*\]补（减去除数） | | 1.1110 + 0.1101 | 0 | 余数为负，上商0 恢复余数+\[y\*\]补 | | 0.1011 1.0110 + 1.0011 | 0 | 被恢复的被除数 左移1位 +\[-y\*\]补（减去除数） | | 0.1001 1.0010 + 1.0011 | 01 01 | 余数为正，上商1 左移1位 +\[-y\*\]补（减去除数） | | 0.0101 0.1010 +1.0011 | 011 011 | 余数为正，上商1 左移1位 +\[-y\*\]补（减去除数） | | 1.1101 + 0.1101 | 0110 | 余数为负，上商0 恢复余数+\[y\*\]补 | | 0.1010 1.0100 + 1.0011 | 0110 | 被恢复的被除数 左移1位 +\[-y\*\]补（减去除数） | | 0.0111 | 01101 | 余数为正，上商1 | 符号位由除数和被除数决定，最后可得，商值为`0.1101`。 > 四位小数，做 `五次`加法运算，其中最后一次为矫正作用。 **（2） 加减交替法** 所谓加减交替法，也就是不做余数的回复，通过先移位的方式来避免恢复余数，过程如下： 举个例子： 例：已知：x=-0.1011,y=0.1101,求：\[x÷y\]原 解：首先写出x和y的原码补码：`[x]原=1.1011`，`[-y]补=1.0011`,`[y]原=1.1101` > 这里是无论上商为多少，都是先做移位运算，再根据上商做加法 * 上商0：**+\[y\*\]补** * 上商1：**+\[-y\*\]补** |------------------------|-----------|-------------------------------| | 被除数(余数) | 商 | 说 明 | | 0.1011 + 1.0011 | 0.0000 | +\[-y\*\]补（减除数） | | 1.1110 1.1100 + 0.1101 | 0 0 | 余数为负，上商0 ← 1位 +\[y\*\]补 (加除数) | | 0.1001 1.0010 + 1.0011 | 01 01 | 余数为正，上商1 ← 1位 +\[-y\*\]补（减除数） | | 0.0101 0.1010 + 1.0011 | 011 011 | 余数为正，上商1 ← 1位 +\[-y\*\]补（减除数） | | 1.1101 1.1010 + 0.1101 | 0110 0110 | 余数为负，上商0 ← 1位 +\[y\*\]补 (加除数) | | 0.0111 | 01101 | 余数为正，上商1 | 最后答案还是相同的：`0.1101` ##### 3、补码除法 补码除法常采用**加减交替法**。 算法规则如下： 1. **符号位参加运算**，除数与被除数均用双符号补码表示。 2. ++被除数与除数**同号** ，被除数**减去** 除数；被除数与除数**异号** ，被除数**加上**除数++。 3. ++余数与除数**同号** ，商上**1** ，余数左移一位减去除数； 余数与除数**异号** ，商上**0**，余数左移一位加上除数++。（注意：余数左移加上或减去除数后就得到了新余数。） 4. 采用校正法包括符号在内，重复n+1次3 > 注意，使用此运算规则，需要修正商符， **商的末位恒置1**。 简化可得： |---------------|----| | \[x\]补与\[y\]补 | 商值 | | 同号 | 1 | | 异号 | 0 | 关于商符： 在小数定点除法中，**被除数的绝对值必须小于除数的绝对值**，否则商大于1而溢出。因此： * 当\[x\]补与\[y\]补**同号** 时，\[x\]补-\[y\]补所得的余数\[R0\]补与\[y\]补**异号**，商上"0"，恰好与商的符号(正)一致； * 当\[x\]补与\[y\]补**异号** 时，\[x\]补+\[y\]补所得的余数\[R0\]补与\[y\]补**同号**，商上"1"，这也与商的符号(负)一致。 可见，**商符是在求商值过程中自动形成的**。 此外，商的符号还可用来判断商是否溢出。例如： * 当\[x\]补与\[y\]补同号时，若\[R0\]补与\[y\]补同号，上商"1"，即溢出。 * 当\[x\]补与\[y\]补异号时，若\[R0\]补与\[y\]补异号，上商"0"，即溢出。 当然，对于小数补码运算，商等于"-1"应该是允许的，但这需要特殊处理，为简化问题，这里不予考虑。 举个例子： 例：已知：x=-0.1001, y=+0.1101 求： \[x÷y\]补 解：\[x\]补=1.0111,\[y\]补=0.1101,\[-y\]补=1.0011 |------------------------|------------|-----------------------------------| | 被除数（余数） | 商 上商 | 说 明 | | 1.0111+ 0.1101 | 0.0000 | \[x\]补与\[y\]补异号，+\[y\]补 | | 0.0100 0.1000 + 1.0011 | 1 1 | \[R\]补与\[y\]补同号，上商1 ← 1位 +\[-y\]补 | | 1.1011 1.0110 + 0.1101 | 10 10 | \[R\]补与\[y\]补异号，上商0 ← 1位 +\[y\]补 | | 0.0011 0.0110 + 1.0011 | 101 101 | \[R\]补与\[y\]补同号，上商1 ← 1位 +\[-y\]补 | | 1.1001 1.0010 | 1010 10101 | \[R\]补与\[y\]补异号，上商0 ← 1位,末位商恒置"1" | 所以\[x÷y\]补=1.0101 ### 6.4 浮点[四则运算](https://www.zhihu.com/search?q=%E5%9B%9B%E5%88%99%E8%BF%90%E7%AE%97&search_source=Entity&hybrid_search_source=Entity&hybrid_search_extra=%7B%22sourceType%22%3A%22article%22%2C%22sourceId%22%3A%22682261491%22%7D "四则运算") #### 6.4.1 浮点加减运算 首先我们需要知道浮点数的形式： x = S \* r j 由于浮点数尾数的小数点均固定在第一数值位前，**尾数的加减运算规则与定点数完全相同** 。但由于其阶码的大小又直接反映尾数有效值的小数点位置，++因此当两浮点数阶码不等时，因两尾数小数点的实际位置不一样++，尾数部分无法直接进行加减运算。因此，浮点数加减运算必须按以下n步进行： ①**对阶**：使两数的阶码位置对齐。 ②**尾数求和**：将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和(差)。 ③**规格化**：为增加有效数字的位数，提高运算精度，必须将求和(差)后的尾数规格化。 ④**舍入**：为提高精度，要考虑尾数右移时丢失的数值位。 ⑤**判断结果**：即判断结果是否溢出。 ##### 1、对阶 对阶的目的是使**两操作数的小数点位置对齐** ，即使**两数的阶码相等** 。为此，首先要求出阶差，再按**小阶向大阶看齐** 的原则，使阶小的尾数向右移位，**每右移一位，阶码加1** ，直到两数的阶码相等为止。右移的次数正好等于阶差。++尾数右移时可能会发生数码丢失，影响精度++。 例如，两浮点数**`x＝0.1101×201`，`y=(-0.1010)×211`** ，求**x+y**。 很明显这里y的阶码比较大，所以这里需要转换的是x的阶码，由`01`变为`11`，也就是从`1`变成了`3`，尾数应该右移两位，所以`0.1101`变为`0.0011`。此时`x＝0.0011×211`。 ##### 2、尾数求和 将**对阶后的两个尾数按定点加(减)运算规则**进行运算。 eg：如上例中的两数对阶后得： \[x\]补=00,11;**00.0011** \[y\]补=00,11;**11.0110** 则\[Sx+Sy\]补=**00.0011** +**11.0110**=11.1001 即\[x+y\]补=00,11;11.1001 ##### 3、规格化 由第二章可知，尾数S的规格化形式为  如果采用双符号位的补码，则 1. **当S\>0时，其补码规格化形式为：\[S\]补=00.1××...×** 2. **当S\<0时，其补码规格化形式为：\[S\]补=11.0××...×** 对S\<0时，有两种情况需特殊处理。 ①S=-1/2，则\[S\]补=11.100...0。对于补码而言，它不满足于上面的规格化表示式。为了便于硬件判断，特规定`-1/2`是规格化的数(**对补码而言**)。 ②S=-1，则\[S\]补=11.000...0。因小数补码允许表示-1，故**`-1`视为规格化的数**。 **注：规格化又分左规和右规两种。** （1）左规。当尾数出现00.0××...×或11.1××...×时，需左规。左规时尾数左移一位，阶码减1，直到符合补码规格化表示式为止。 如上例求和结果为： \[x+y\]补=00,11;11.1**001** ++尾数的第一数值位与符号位相同，需左规，即将其左移一位，同时阶码减1，++ 得\[x+y\]补=00,10;11.**001**0。 （2）右规。当尾数出现01.××...×或10.××...×时，表示尾数溢出，这在定点加减运算中是不允许的，但在浮点运算中这不算溢出，++可通过右规处理。右规时尾数右移一位，阶码加1++。 ##### 4、舍入 在对阶和右规的过程中，可能会将尾数的低位丢失，引起误差，影响了精度，为此可用舍入法来提高尾数的精度。常用的舍入方法有三种。 （1）**截去法**：将多余的位截去，剩下的位不变。其最大误差接近于数据最低位上的1。 > 特点：有舍无入，具有误差积累。 （2）**"0舍1入"法**："0舍1入"法类似于十进制运算中的"四舍五入"法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能使尾数又溢出，此时需再做一次右规。 > 特点：其最大误差是最低位上的-1/2到接近于1/2之间，正误差可以和负误差抵消。是比较理想的方法，但实现起来比较复杂。 （3）**"恒置1"法**：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是"1"或"0"，都使右移后的尾数末位恒置"1"。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。 > 特点：尽管误差范围扩大了，但正负误差可以相互抵消，从统计角度，平均误差为0。因此最后运算结果的准确性提高了。 ##### 5、判断溢出 * 阶码\[j\]补=01，××...×为上溢。 * 阶码\[j\]补=10，××...×为下溢，按机器零处理。 > 阶符为"01"时，需做溢出处理。 ##### 6、完整运算  ####  #### 6.4.2 浮点乘除运算 两个浮点数相乘，**++其乘积的阶码应为相乘两数的阶码之和++** ，**++其乘积的尾数应为相乘两数的尾数之积++**。 两个浮点数相除，**++商的阶码为被除数的阶码减去除数的阶码++** ，**++其尾数为被除数的尾数除以除数的尾数所得的商++**。 步骤如下： 1. 阶码运算 2. 尾数运算 3. 规格化 4. 舍入处理