求第 N 个泰波那契数 | 动态规划

1.第 N 个泰波那契数

泰波那契序列 Tn 定义如下：

T0 = 0, T1 = 1, T2 = 1, 且在 n >= 0 的条件下 Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 Tn 的值。

2.什么是动态规划

在解决这道问题之前先来了解一下，什么是动态规划。动态规划（Dynamic Programming）：简称 DP，是一种求解多阶段决策过程最优化问题的方法。简单的理解，把原问题分解为相对简单的子问题，先求解子问题，再由子问题的解而得到原问题的解。
它的核心思想是，把「原问题」分解为「若干个重叠的子问题」，将子问题计算出来的结果存放到一张dp表中，通过dp表中过往计算的结果，来减少计算并计算出原问题。

它的解题步骤大致分为五个过程：状态表⽰、状态转移⽅程、初始化、填表顺序、返回值！

3.解决问题

(1)、状态表示

我们需要将子问题存放到，一张dp表中，而dp $i$ 就表示状态。对应这里的状态即为，dp $i$ = 第 i 个泰波那契数的值。
(2)、状态转移⽅程

这道题，就已经将状态转移方程给出，我们稍微变形：dp $i$ = dp $i - 1$ + dp $i - 2$ + dp $i - 3$
(3)、初始化

由于dp $0$ ，dp $1$ ，dp $2$ 的数值题目以给出，直接将值填入dp表中，完成初始化。初始化时需要注意，确保dp表下标不要越界。
(4)、初始化顺序

这里根据题目要求，根据状态转移方程，将dp填充。
(5)、返回值

返回dp $n$ 即为，返回结果。

4.参考代码

C++版本：

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int tribonacci(int n) 
    {
        vector<int> dp(n + 3,0);
        dp[1] = dp[2] = 1; 
        for(int i = 3;i <= n;i++)
        {
            dp[i] = dp[i-3] + dp[i - 2] + dp[i -1];
        }
        return dp[n];
    }
};

Python3版本：

python 复制代码

class Solution:
    def tribonacci(self, n: int) -> int:
        list = [0, 1, 1]

        for i in range(3, n + 1):
            next_value = list[i - 3] + list[i - 2] + list[i - 1]
            list.append(next_value)
            
        return list[n]

5.空间优化

在上面的代码当中，空间的复杂度为O(N)。关于这道题，我们求出dp $n$ 的值，只需要求n前三个状态。所以我们就可以使用滚动数组的方案来优化空间。如果，求dp $n$ 只需要n前的若干个状态，那么就可以使用滚动数组优化。

优化代码C++版本：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int tribonacci(int n) 
    {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return 1;

        int a = 0,b = 1,c = 1,d=0;
        
        for(int i = 3; i <= n;i++)
        {
            d = a + b + c;
            // 滚动数组，注意赋值顺序从前往后赋值[a,b,c] 不能后往前赋值[c,b,a]
            a = b;
            b = c;
            c = d;
        }
        return d;
    }
};