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目录
- 1.AVL树的介绍
- 2.构建AVL树
-
- 2.1节点构建
- [2.2 AVL树的插入](#2.2 AVL树的插入)
- 2.3AVL树的旋转
- [2.4 其他函数](#2.4 其他函数)
1.AVL树的介绍
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率,但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树,查
找元素相当于在顺序表中搜索元素,效率低下
当向二叉搜索树中插入新结点后,如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整),即可降低树的高度,从而减少平均搜索长度
一棵AVL树或者是空树,或者是具有以下性质的二叉搜索树:
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差==(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)==
在一个叶节点插入一个元素,一定会改变当前父节点的平衡因子
平衡因子是右树高度减左树高度,插到右边,当前父节点平衡因子++,反之- -,是否影响祖辈(父节点再往上走)的平衡因子,需要加以判断
如果插入后父节点的平衡因子等于零了。意味着插入不改变高度,就不改变祖辈的平衡因子
如果平衡因子等于二了,就需要进行旋转,后面进行讲解
2.构建AVL树
2.1节点构建
cpp
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
这里直接插入一个键值对,pair,我们用bf来记录平衡因子
2.2 AVL树的插入
cpp
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
private:
Node* _root = nullptr;
};
首先,插入部分开始与搜索树相同,在后面对因子的判断是区别点:
cpp
bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
return true;
}
接着判断平衡因子,如果当前节点插入到父节点的左边,父节点平衡因子减减,反之加加:
cpp
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
------------------------
}
如果parent的平衡因子等于0,则退出循环,如果等于1或-1,说明高度增加了则继续往上更新
cpp
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
如果等于2或者-2,我们就需要进行旋转来使其高度差绝对值小于等于1
cpp
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
----------------------
break;
}
else
{
assert(false);
}
只有上面的几种情况,如果出现其余情况直接断言错误
2.3AVL树的旋转
左左:右单旋
新节点插入较高左子树的左侧,我们进行右单旋
30<b<60<c,我们在这里调节位置关系,调节后平衡因子均为0
cpp
void RotateR(Node*parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr) subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
cpp
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
首先,找到 parent
的左孩子 subL
,以及 subL
的右孩子 subLR
。
cpp
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr) subLR->_parent = parent;
然后,把 parent
的左孩子(subL
的右孩子)设置为 subLR
。如果 subLR
存在,还需要设置 subLR
的父节点为 parent
cpp
subL->_right = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
接下来,把 subL
的右孩子设置为 parent
,完成 subL
和 parent
的链接,并记录下 parent
的原父节点 ppNode
,以便更新 subL
的父节点。同时,更新 parent
的父节点为 subL
。
cpp
if (parent == _root) {
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
} else {
if (ppNode->_left == parent) {
ppNode->_left = subL;
} else {
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
如果原来的 parent
是根节点,则更新根节点为 subL
,并设置 subL
的父节点为 nullptr
。如果不是根节点,则需要确定 parent
是其父节点的左孩子还是右孩子,并相应地更新 subL
的位置和 subL
的父节点。
cpp
parent->_bf = subL->_bf = 0;
最后,由于这里 parent
和 subL
的平衡因子都恢复到平衡状态,更新它们的平衡因子为 0
这里插入情况很多
右右:左单旋
30<b<60<c
cpp
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_right == parent)
{
ppNode->_right = subR;
}
else
{
ppNode->_left = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
处理方式与右旋相似
左右:先左单旋再右单旋
将双旋变成单旋后再旋转,即:先对30进行左单旋,然后再对90进行右单旋,旋转完成后再考虑平衡因子的更新
cpp
void RotateLR(Node* parent)
{
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
}
接着来看平衡因子的情况
-
插入到60的左子树:
平衡后parent因子为1,剩余两个为0
-
插入到60的右子树:
平衡后subL的平衡因子为-1,其余为0
- h等于0,此时60就是被插入的因子
旋转后平衡因子均为0
代码实现:这里以subL的平衡因子为判断条件:
cpp
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if(bf==0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
右左:先右单旋再左单旋
cpp
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
完善插入函数:
cpp
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
break;
}
如果父节点平衡因子为-2,子为-1,左左情况,进行右单旋;
父节点平衡因子为2,子为1,右右情况,左单旋;
父节点平衡因子为2,子为-1,右左情况,进行右左旋;
父节点平衡因子为-2,子为1,左右情况,进行左右旋;
cpp
bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
2.4 其他函数
find函数:
cpp
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_kv.left)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
检验是否是平衡二叉树:
先完成子函数:
cpp
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 不平衡
if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
如果高度差大于等于二或者高度差不等于平衡因子,说明树有问题返回false
再进行对左子树和右子树的判断:
有了子函数就可以传参_root:
cpp
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
获取树的高度:
cpp
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}
cpp
int Height()
{
return _Height(_root);
}
获取节点个数:
cpp
int _Size(Node* root)
{
return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
cpp
int Size()
{
return _Size(_root);
}
完整代码:
cpp
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
int _bf;
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
,_kv(kv)
,_bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_kv.first)
{
cur = cur->_right;
}
else if (key < cur->_kv.left)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Insert(const pair<K,V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
void RotateR(Node*parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr) subLR->_parent = parent;
subL->_right = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_right == parent)
{
ppNode->_right = subR;
}
else
{
ppNode->_left = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 0;
}
else if(bf==0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
bool IsBalance()
{
return _IsBalance(_root);
}
int Height()
{
return _Height(_root);
}
int Size()
{
return _Size(_root);
}
private:
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}
int _Size(Node* root)
{
return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
// 不平衡
if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
// 顺便检查一下平衡因子是否正确
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << endl;
return false;
}
return _IsBalance(root->_left)
&& _IsBalance(root->_right);
}
void _InOrder(Node*root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << " " << root->_kv.second<<endl;
_InOrder(root->_right);
}
Node* _root = nullptr;
};
.