K-means 聚类模型详解

K-means 是一种常用的无监督学习算法，用于将数据集分成 K 个簇。其目标是最小化各个簇内数据点到簇中心的距离平方和。K-means 广泛应用于图像压缩、市场细分、模式识别等领域。

算法步骤

初始化: 随机选择 K 个初始簇中心（质心）。
分配: 将每个数据点分配给距离最近的簇中心。
更新: 重新计算每个簇的质心。
重复: 重复步骤 2 和 3，直到簇中心不再变化或达到预设的迭代次数。

公式推导

目标函数: 最小化各个簇内的平方误差和（Sum of Squared Errors, SSE）。

设 ( X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } ) ( X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} ) (X={x1,x2,...,xn}) 为数据集， $C = {c_1, c_2, ..., c_K}$ 为簇中心， $S_i$ 为第 i 个簇中的数据点集合。目标函数为：
J = ∑ i = 1 K ∑ x ∈ S i ∥ x − c i ∥ 2 J = \sum_{i=1}^{K} \sum_{x \in S_i} \|x - c_i\|^2 J=i=1∑Kx∈Si∑∥x−ci∥2

其中， ∥ x − c i ∥ \|x - c_i\| ∥x−ci∥ 表示数据点 x x x 到簇中心 $c_i$ 的欧氏距离。

算法步骤

步骤 1 : 初始化 C = { c 1 , c 2 , . . . , c K } C = \{c_1, c_2, ..., c_K\} C={c1,c2,...,cK}（随机选择 K 个数据点作为初始簇中心）。

步骤 2 : 对每个数据点 $x_j$ ，分配到最近的簇中心：
S i = { x j : ∥ x j − c i ∥ 2 ≤ ∥ x j − c k ∥ 2 , ∀ k , 1 ≤ k ≤ K } S_i = \{x_j : \|x_j - c_i\|^2 \leq \|x_j - c_k\|^2, \forall k, 1 \leq k \leq K\} Si={xj:∥xj−ci∥2≤∥xj−ck∥2,∀k,1≤k≤K}
步骤 3 : 重新计算每个簇的簇中心：
c i = 1 ∣ S i ∣ ∑ x ∈ S i x c_i = \frac{1}{|S_i|} \sum_{x \in S_i} x ci=∣Si∣1x∈Si∑x

步骤 4: 重复步骤 2 和 3，直到簇中心不再变化。

运用示例

下面是一个使用 K-means 算法进行数据聚类的 Python 示例，使用 sklearn 库。

python 复制代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs

# 生成示例数据
X, y = make_blobs(n_samples=300, centers=4, random_state=42, cluster_std=0.60)

# 可视化数据
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1])
plt.title("Generated Data")
plt.show()

# 使用 K-means 进行聚类
kmeans = KMeans(n_clusters=4)
kmeans.fit(X)
y_kmeans = kmeans.predict(X)

# 获取簇中心
centers = kmeans.cluster_centers_

# 可视化聚类结果
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_kmeans, s=50, cmap='viridis')
plt.scatter(centers[:, 0], centers[:, 1], c='red', s=200, alpha=0.75, marker='X')
plt.title("K-means Clustering")
plt.show()

解释

生成数据 : 使用 make_blobs 生成 300 个样本点，分成 4 个簇，标准差为 0.60。
可视化数据 : 使用 plt.scatter 绘制生成的数据。
K-means 聚类 : 创建 KMeans 对象，设置簇数为 4，并拟合数据。
获取聚类结果 : 使用 predict 方法获取每个数据点的簇标签。
获取簇中心 : 使用 cluster_centers_ 属性获取簇中心坐标。
可视化聚类结果: 绘制聚类后的数据点，并标记出簇中心。

优缺点

优点:

简单易理解，实现和解释都很直观。
计算效率高，适用于大规模数据集。

缺点:

需要预先指定簇的数量 K K K。
对初始值敏感，不同的初始值可能导致不同的结果。
适用于球形簇，不适用于非球形簇或密度不均匀的簇。

总结

K-means 是一种高效的聚类算法，通过迭代优化簇内距离平方和实现数据的自动分组。尽管有一些限制，如需要预先指定簇数和对初始值敏感，但在许多实际应用中仍然非常有用。通过结合实际数据集进行聚类分析，可以更好地理解数据的结构和模式。