前言

前面章节主要讲解了一些常用的变换矩阵，这一节咱们主要讲解一些视图变换和投影变换。

有些小伙伴可能不了解图形学，会有所疑惑这些矩阵有啥用，其实这都是为了后面"MVP变换"做铺垫，但是如果一上来冒然的介绍MVP，会因小失大！因此作者决定将其放在后面介绍渲染管线的时候介绍它，不要着急哦！

正文

视图变换

为什么要有视图变换？

想象一个三维场景中，各个地方的物体已经摆好了。这时候有一个好奇心宝宝，想要从不同的视角去观察，物体摆放的合不合适，那怎么办呢？

答：需要引入类似"摄像机"的概念，就像现实中一样，摄像师扛着摄像机跑，从而拍到了不同的画面，虚拟的三维场景也是一样！为此引入视图变换，来满足虚拟摄像机的需求！

视图变换是什么？

本质上，它和前面章节提到的旋转变换、平移变换类似，最终结果呈现也就是一个矩阵的表达式罢了。

视图变换如何定义？

定义摄像机：

让我们思考一个问题，如果我们是摄影师，需要某漂亮国的一处景点，摄像机需要有哪些属性呢？

答：摄像机的位置、摄像机镜头朝向、摄像机顶部朝向等等。

人都是懒的，如果在三维空间中为了方便显示在二维中，最简单的摄像机如下所示：

摄像机相关属性：

位置摆放在原点
摄像机镜头朝向-z轴方向

此时这种情况，所有物体都可以直接沿着z轴投射到摄像机的屏幕中，非常方便！

但是往往事与愿违，如果摄像机变化到下述的形态，就不方便直接按照z轴投射了！

所以，我们就需要达成一个目标：将摄像机恢复到原点，并且镜头朝向-z轴！

摄像机变换：

这个问题如何思考呢？其实我们可以逆过程思考，我们可以想一想：原本在原点并看向-z轴的一台摄像机，是如何变化到上述情况的！

然后咱们上述目标的达成也就是应用此过程的逆变换！

正向过程变换示意图如下：

1、摄像机先绕原点旋转

2、摄像机进行平移

自之前章节的学习，我们知道，这个过程也就可以表述为：先旋转变换，再平移变换。公式如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> M = T ∗ R 注： R 为旋转矩阵， T 为平移矩阵 M = T * R\\ 注：R为旋转矩阵，T为平移矩阵 </math>M=T∗R注：R为旋转矩阵，T为平移矩阵

上述的逆变换也就显而易见：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> M − 1 = R − 1 ∗ T − 1 M^{-1} = R^{-1}*T^{-1} </math>M−1=R−1∗T−1

所以，只要应用此变换，就可以实现将任意位置和朝向的摄像机，变换到位于原点并看向-z轴的情形！如下示意图：

目标重申：

既然我们要求场景的物体和摄像机保持相对静止，那么只需要针对所有物体进行上述的变换，不就实现了咱们的目标么！Successfully！

构建矩阵：

为了方便，咱们定义摄像机朝向为： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f r o n t ⃗ \vec {front} </math>front 向量，简称 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f ⃗ \vec f </math>f ；摄像机顶部向量为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> u ⃗ \vec u </math>u ，以及一个摄像机的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r i g h t ⃗ \vec {right} </math>right 向量，简称: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r ⃗ \vec r </math>r ，示意图如下：

既然咱们已经知道了新的坐标系的三个基向量 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r ⃗ 、 u ⃗ 、 − f ⃗ \vec{r}、\vec{u}、\vec{-f} </math>r 、u 、−f ，分别对应于心坐标系的x、y、z轴，所以咱们自然而然就知道了旋转矩阵 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> R R </math>R，如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> R = [ r x u x − f x 0 r y u y − f y 0 r z u z − f z 0 0 0 0 1 ] R = \begin{bmatrix} r_x & u_x & -f_x & 0\\ r_y & u_y & -f_y & 0\\ r_z & u_z & -f_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} </math>R= rxryrz0uxuyuz0−fx−fy−fz00001

所以咱们可以自然而然得到R的逆矩阵，如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> R − 1 = [ r x r y r z 0 u x u y u z 0 − f x − f y − f z 0 0 0 0 1 ] R^{-1}=\begin{bmatrix} r_x & r_y & r_z & 0\\ u_x & u_y & u_z & 0\\ -f_x & -f_y & -f_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} </math>R−1= rxux−fx0ryuy−fy0rzuz−fz00001

我们假设摄像机的位置位于： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> P = ( p x , p y , p z ) P = (p_x,p_y,p_z) </math>P=(px,py,pz) ，则可以构建一下的平移矩阵及其逆矩阵：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T = [ 1 0 0 p x 0 1 0 p y 0 0 1 p z 0 0 0 1 ] T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & p_x\\ 0 & 1 & 0 & p_y\\ 0 & 0 & 1 & p_z\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\\ </math>T= 100001000010pxpypz1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T − 1 = [ 1 0 0 − p x 0 1 0 − p y 0 0 1 − p z 0 0 0 1 ] T^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -p_x\\ 0 & 1 & 0 & -p_y\\ 0 & 0 & 1 & -p_z\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} </math>T−1= 100001000010−px−py−pz1

根据之前的结论，视图变换矩阵为： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> M − 1 = R − 1 ∗ T − 1 M^{-1} = R^{-1}*T^{-1} </math>M−1=R−1∗T−1，因此如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> M − 1 = [ r x r y r z 0 u x u y u z 0 − f x − f y − f z 0 0 0 0 1 ] ∗ [ 1 0 0 − p x 0 1 0 − p y 0 0 1 − p z 0 0 0 1 ] = [ r x r y r z − r ⃗ ⋅ p ⃗ u x u y u z − u ⃗ ⋅ p ⃗ − f x − f y − f z f ⃗ ⋅ p ⃗ 0 0 0 1 ] \begin{align} M^{-1}&=\begin{bmatrix} r_x & r_y & r_z & 0\\ u_x & u_y & u_z & 0\\ -f_x & -f_y & -f_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -p_x\\ 0 & 1 & 0 & -p_y\\ 0 & 0 & 1 & -p_z\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} r_x & r_y & r_z & -\vec{r} \cdot \vec{p}\\ u_x & u_y & u_z & -\vec{u} \cdot \vec{p}\\ -f_x & -f_y & -f_z & \vec{f} \cdot \vec{p}\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \end{align} </math>M−1= rxux−fx0ryuy−fy0rzuz−fz00001 ∗ 100001000010−px−py−pz1 = rxux−fx0ryuy−fy0rzuz−fz0−r ⋅p −u ⋅p f ⋅p 1

总结： 为了灵活的从摄像机视角观察物体，并且方便按照z轴投射，咱们只需要针对三维场景的物体应用上述的变换矩阵即可！

投影变换

1、正交投影

正交投影是什么？

它是一种平行投影，用于将三维空间场景映射到2D的平面上。直观上理解，有点类似截面图或者压扁了的感觉！所以它本质上没有所谓的近大远小的特点。如图所示

它常常应用于CAD制图等领域！

为什么需要正交投影？

1、实际上，在三维场景中，我们的物体范围可能非常大，但是咱们屏幕空间是有限的，所以为了关注特别需要的区域，需要定义一个类似包围盒体的东西，盒体的需要显示，盒体外的咱们不需要显示

2、为了规范化坐标为NDC坐标，方便后续在屏幕中显示

NDC坐标，其实就是一个x、y、z都在 [-1,1] 范围内的规范化的坐标！

如图所示：

正交投影矩阵是啥？

（1）约定以下都在视图变换后的摄像机坐标系下定义。

一个立方体包围盒，也就是上、下、左、右、前、后这几个属性定义而成，如图所示：

（2）为了达到NDC坐标的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ − 1 , 1 ] 3 [-1,1]^3 </math>[−1,1]3 的要求，我们需要规范两件事情：

盒体中心规范到原点
盒体长度缩放至2X2X2的标准长度

因此，上述操作也就对应两个变换矩阵，先平移到中心，再进行缩放。

我们定义包围盒体的x范围： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ l , r ] [l,r] </math>[l,r]，y范围： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ b , t ] [b,t] </math>[b,t]，z范围： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> [ n , f ] [n,f] </math>[n,f]，因而我们得出以下平移矩阵和缩放矩阵：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T = [ 1 0 0 − r + l 2 1 0 0 − t + b 2 1 0 0 − n + f 2 0 0 0 1 ] T= \begin{bmatrix} 1&0&0&-\frac{r+l}{2}\\ 1&0&0&-\frac{t+b}{2}\\ 1&0&0&-\frac{n+f}{2}\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} </math>T= 111000000000−2r+l−2t+b−2n+f1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> S = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 f − n 0 0 0 0 1 ] S= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&0\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&0\\ 0&0&\frac{2}{f-n}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} </math>S= r−l20000t−b20000f−n200001

从而我们得到正交投影变换矩阵： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> O r t h o = S ∗ T Ortho = S*T </math>Ortho=S∗T
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> O r t h o = [ 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 f − n − n + f f − n 0 0 0 1 ] Ortho= \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&-\frac{r+l}{r-l}\\ 0&\frac{2}{t-b}&0&-\frac{t+b}{t-b}\\ 0&0&\frac{2}{f-n}&-\frac{n+f}{f-n}\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} </math>Ortho= r−l20000t−b20000f−n20−r−lr+l−t−bt+b−f−nn+f1

2、透视投影

为什么需要透视投影？

上面的正交投影已经说过，它最大的缺点就是没有近大远小的特性，但是在现实中如果没有这样的特性，几乎三维场景就是非常"假"的一个状态。

因此，为了能够体现近大远小的特性，又发明了透视投影这一说。有点类似于素描的"透视"的概念！

透视投影是什么？

视线从摄像机触发，看向-z轴方向，可视范围为near到far的一个视锥体。最终所有物体都达到近平面near上！如下图所示：

如何定义透视投影变换？

既然知道最终所有物体都投射到近平面上，因此我们将增加几个近平面的属性，完善一下上述的示意图：

**重新定义以下透视投影变换最终目的：**将视锥体内的物体坐标变换至xyz都为[-1,1]的标准NDC坐标，如下图所示：

开始推导投影变换矩阵：

（1）基本思路：

因为我们无法直接对矩阵得知，我们需要从投影前后的坐标关系进行反推矩阵
又因为最终坐标是达到近平面上得，所以以此作为突破口

（2）咱们逆y轴进行俯视观察上述示意图，得到下面得截面图：

假设某一个摄像机坐标系下得坐标为 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( x e , y e , z e ) (x_e,y_e,z_e) </math>(xe,ye,ze) ，它投影到进平面后，得到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p = ( x p , y p , z p ) p=(x_p,y_p,z_p) </math>p=(xp,yp,zp) ，根据相似三角形可以得到如下等式：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> x p x e = − n z e \frac{x_p}{x_e} = \frac{-n}{z_e} </math>xexp=ze−n

从而咱们得到投影到近平面上点的x坐标： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x p = n x e − z e x_p = \frac{nx_e}{-z_e} </math>xp=−zenxe

（3）类似的，咱们逆x轴进行观察，得到下面得截面图：

也可以类似得到进平面上的y坐标： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y p = n y e − z e y_p = \frac{ny_e}{-z_e} </math>yp=−zenye

有人可能发现了，这里的z_e不能为0，因为它在分母上，这个问题马上后面就会处理掉，大家不要着急！

（4）目前已得到投影到进平面上点的坐标，接下来要对其进行缩放到标准的[-1,1]的NDC坐标内

这里以y坐标为例，因为近平面是和z=0的平面平行关系，所以他们的缩放也必定是线性关系，如下示意图：

已知两点 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> ( t , 1 ) , ( b , − 1 ) (t,1),(b,-1) </math>(t,1),(b,−1)，因此咱们可以计算出 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y p 和 y n d c y_p和y_{ndc} </math>yp和yndc 关系如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> y n d c = 2 t − b y p − t + b t − b y_{ndc} = \frac{2}{t-b}y_p - \frac{t+b}{t-b} </math>yndc=t−b2yp−t−bt+b

同理可以得到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x p 和 x n d c x_p和x_{ndc} </math>xp和xndc 的关系，如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> x n d c = 2 r − l y p − r + l r − l x_{ndc} = \frac{2}{r-l}y_p - \frac{r+l}{r-l} </math>xndc=r−l2yp−r−lr+l

这里我们根据之前求的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> y p 和 y e y_p和y_e </math>yp和ye的关系、 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x p 和 x e x_p和x_e </math>xp和xe的关系，进行等式替换，得到如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 当 z e ≠ 0 时 x n d c = 2 r − l y p − r + l r − l = 2 r − l ∗ n x e − z e − r + l r − l = 1 − z e ( 2 n r − l x e + r + l r − l z e ) \begin{align} 当&z_e \neq 0时\\ x_{ndc} &= \frac{2}{r-l}y_p - \frac{r+l}{r-l}\\ &= \frac{2}{r-l}*\frac{nx_e}{-z_e} - \frac{r+l}{r-l}\\ &= \frac{1}{-z_e}(\frac{2n}{r-l}x_e + \frac{r+l}{r-l}z_e) \end{align} </math>当xndcze=0时=r−l2yp−r−lr+l=r−l2∗−zenxe−r−lr+l=−ze1(r−l2nxe+r−lr+lze)

同理，得到：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 当 z e ≠ 0 时 y n d c = 2 r − l y p − r + l r − l = 2 r − l ∗ n x e − z e − r + l r − l = 1 − z e ( 2 n t − b y e + t + b t − b y e ) \begin{align} 当&z_e \neq 0时\\ y_{ndc} &= \frac{2}{r-l}y_p - \frac{r+l}{r-l}\\ &= \frac{2}{r-l}*\frac{nx_e}{-z_e} - \frac{r+l}{r-l}\\ &= \frac{1}{-z_e}(\frac{2n}{t-b}y_e + \frac{t+b}{t-b}y_e) \end{align} </math>当yndcze=0时=r−l2yp−r−lr+l=r−l2∗−zenxe−r−lr+l=−ze1(t−b2nye+t−bt+bye)

于是我们得到了 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> x n d c 和 y n d c x_{ndc}和y_{ndc} </math>xndc和yndc的坐标表示，但是此时 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z n d c z_{ndc} </math>zndc 还未知，并且上述也不能兼容 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z e = = 0 z_e == 0 </math>ze==0的情况，所以咱们继续扩充知识

（5）利用齐次坐标，引入剪裁空间

既然上述由于除法的存在，导致分母为0的情况需要特殊考虑，人总是懒惰的，既然如此，有没有兼容=0的考虑方法呢？

答：有的，那就将分母给去掉，只需要乘 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> − z e -z_e </math>−ze即可

咱们因此剪裁空间的概念，由于剪裁的英文为clip，所以咱们定义如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> p c ( x ) = x n d c ∗ ( − z e ) = 2 n r − l x e + r + l r − l z e p c ( y ) = y n d c ∗ ( − z e ) = 2 n t − b y e + t + b t − b z e p c ( z ) = ? p c ( w ) = − z e \begin{align} p_c(x) &= x_{ndc}*(-z_e) = \frac{2n}{r-l}x_e + \frac{r+l}{r-l}z_e\\ p_c(y) &= y_{ndc}*(-z_e) = \frac{2n}{t-b}y_e + \frac{t+b}{t-b}z_e\\ p_c(z) &= \ ?\\ p_c(w) &= -z_e \end{align} </math>pc(x)pc(y)pc(z)pc(w)=xndc∗(−ze)=r−l2nxe+r−lr+lze=yndc∗(−ze)=t−b2nye+t−bt+bze= ?=−ze

（6）已经考虑的差不多了，回归本源，开始利用坐标前后关系进行反推投影变换矩阵

这里先从 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> p c ( w ) = − z e p_c(w) = -z_e </math>pc(w)=−ze 作为突破口，我们可以得到如下的关系：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( x c y c z c w c ) = ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 − 1 0 ) ( x e y e z e w e ) \begin{pmatrix} x_c\\y_c\\z_c\\w_c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} ?&?&?&?\\ ?&?&?&?\\ ?&?&?&?\\ 0&0&-1&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e\\y_e\\z_e\\w_e \end{pmatrix} </math> xcyczcwc = ???0???0???−1???0 xeyezewe

然后再利用x、y坐标的前后关系，可以补齐前两行：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( x c y c z c w c ) = ( 2 n r − l 0 r + l r − l 0 0 2 n t − b t + b t − b 0 ? ? ? ? 0 0 − 1 0 ) ( x e y e z e w e ) \begin{pmatrix} x_c\\y_c\\z_c\\w_c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\ 0&\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\ ?&?&?&?\\ 0&0&-1&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e\\y_e\\z_e\\w_e \end{pmatrix} </math> xcyczcwc = r−l2n0?00t−b2n?0r−lr+lt−bt+b?−100?0 xeyezewe

（7）此时只剩跟z坐标相关的第三行的矩阵元素未知，需要回忆回忆额外的条件才行

我们知道，原本位于近平面上的坐标，无论x、y取什么值，它的坐标 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> z e = − n z_e = -n </math>ze=−n 是一直成立的，也就是说与xy无关，所以咱们可以补充第三行的前两个参数，并且设后两个为A和B
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( x c y c z c w c ) = ( 2 n r − l 0 r + l r − l 0 0 2 n t − b t + b t − b 0 0 0 A B 0 0 − 1 0 ) ( x e y e z e w e ) \begin{pmatrix} x_c\\y_c\\z_c\\w_c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\ 0&\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\ 0&0&A&B\\ 0&0&-1&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_e\\y_e\\z_e\\w_e \end{pmatrix} </math> xcyczcwc = r−l2n0000t−b2n00r−lr+lt−bt+bA−100B0 xeyezewe

既然我们知道任意的近平面上的点的z值，最终映射到ndc坐标空间都是-1；远平面上的点的z值，映射到ndc坐标上都是1，于是我们得到以下两个条件：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> 当 z e = − n ， w e = 1 时 = > z n d c = − 1 = > z c = − z e ∗ z n d c = − n 当 z e = − f ， w e = 1 时 = > z n d c = 1 = > z c = − z e ∗ z n d c = f 当z_e = -n，w_e = 1时 => z_{ndc}=-1 => z_c = -z_e * z_{ndc} = -n\\ 当z_e = -f，w_e = 1时 => z_{ndc}= 1 => z_c = -z_e * z_{ndc} = f </math>当ze=−n，we=1时=>zndc=−1=>zc=−ze∗zndc=−n当ze=−f，we=1时=>zndc=1=>zc=−ze∗zndc=f

咱们可以用待定系数法，代入得到以下等式：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> A ∗ ( − n ) + B = − n A ∗ ( − f ) + B = f A*(-n) + B = -n\\ A*(-f) + B = f </math>A∗(−n)+B=−nA∗(−f)+B=f

然后咱们解个二元一次方程组，即可得到：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> A = − f + n f − n B = − 2 f n f − n A = -\frac{f+n}{f-n}\\ B = \frac{-2fn}{f-n} </math>A=−f−nf+nB=f−n−2fn

于是咱们得到最终的投影变换矩阵，如下：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> P e r s p e c t i v e = ( 2 n r − l 0 r + l r − l 0 0 2 n t − b t + b t − b 0 0 0 − f + n f − n − 2 f n f − n 0 0 − 1 0 ) Perspective = \begin{pmatrix} \frac{2n}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\ 0&\frac{2n}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\ 0&0&-\frac{f+n}{f-n}&\frac{-2fn}{f-n}\\ 0&0&-1&0\\ \end{pmatrix} </math>Perspective= r−l2n0000t−b2n00r−lr+lt−bt+b−f−nf+n−100f−n−2fn0

透视投影矩阵的工程化（参数变换）

上面我们已经知道了，构造透视投影矩阵需要以下已知参数：

近平面n，原平面f
近平面的b、t、l、r

但是，在实际工程中，这样的参数设置是比较麻烦的，所以咱们引入两个新的概念：

y方向上的视张角fovy
近平面的纵横比aspect

额外补充条件：并且要求近平面相对y轴左右对称，相对x轴上下对称，如下图所示：

咱们进行如下的参数替换：

令 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> t − b = 2 tan ⁡ ( f o v y / 2 ) ∗ n t-b = 2\tan(fovy /2) * n </math>t−b=2tan(fovy/2)∗n
令 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> r − l = a s p e c t ∗ ( t − b ) = 2 a s p e c t ∗ tan ⁡ ( f o v y / 2 ) ∗ n r-l = aspect*(t-b) = 2aspect*\tan(fovy / 2) * n </math>r−l=aspect∗(t−b)=2aspect∗tan(fovy/2)∗n

因而可以推导出矩阵的所有元素替换，得到如下的最终结果：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> P e r s p e c t i v e = ( 1 a s p e c t ∗ t a n ( f o v y / 2 ) 0 0 0 0 1 t a n ( f o v y / 2 ) 0 0 0 0 − f + n f − n − 2 f n f − n 0 0 − 1 0 ) Perspective = \begin{pmatrix} \frac{1}{aspect*tan(fovy/2)}&0&0&0\\ 0&\frac{1}{tan(fovy/2)}&0&0\\ 0&0&-\frac{f+n}{f-n}&\frac{-2fn}{f-n}\\ 0&0&-1&0\\ \end{pmatrix} </math>Perspective= aspect∗tan(fovy/2)10000tan(fovy/2)10000−f−nf+n−100f−n−2fn0

总结： 不管是透视投影还是正交投影，最终的目的都是讲摄像机坐标系下的坐标，最终变换到NDC坐标系下！

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图形学初识--视图+投影变换

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