【错题集-编程题】小红取数（动态规划 - 01 背包 + 同余）

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一、分析题目

这道题是不能用空间优化的。

• 同余原理

a % k = x 和 b % k = y <==> (a+b) % k = 0 <==> (x+y) % k = 0

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状态表示

dpij：表示从前 i 个数中挑选，总和 %k 等于 j 时，最大和是多少。

• 状态转移方程

dpij = max(dpi-1j, dpi-1(j-a\[i%k+k)%k] + ai);

• 返回值

dpn0

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二、代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std; 

typedef long long LL;

const int N = 1010;

int n, k;
LL a[N];
LL dp[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> k;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    memset(dp, -0x3f, sizeof dp);
    dp[0][0] = 0;

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < k; j++)
        {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][(j - a[i] % k + k) % k] + a[i]);
        }
    }

    if(dp[n][0] <= 0) cout << -1 << endl;
    else cout << dp[n][0] << endl;

    return 0;
}

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三、反思与改进

需要熟练掌握同余定理部分的知识，虽然 01 背包会使用了，但其扩展需要通过不断提高做题量才能更好的融会贯通。