三步问题 | 动态规划

1.三步问题

题目连接：面试题 08.01. 三步问题

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

2.题目解读

第1阶：小孩跨1阶，就1种方式

第2阶：小孩从第0阶，跨2阶，1种方式。在第1阶的基础上跨1阶，就上去了。加起来2种方式

第3阶：小孩从第0阶，跨3阶，在第1阶的基础上跨2阶，在第2阶的基础上跨1阶。加起来4种方式

可以找到规律，0-3阶是特殊情况，往后的，是在原来的基础（原来阶段的结果）上跨1、2或3步，走到n阶位置。说白了：n > 3时，上n阶台阶的方式就是前3个的和。

3.解决问题

(1)、状态表示

dpi 表⽰：到达 i 位置时，⼀共有多少种⽅法。
(2)、状态转移⽅程

dpi = dpi - 1 + dpi - 2 + dpi - 3

注意的是，dpi - 1 + dpi - 2 + dpi - 3 取模会溢出：signed integer overflow。两个数相加/乘，都需要取⼀次模。
(3)、初始化

dp1 = 1, dp2 = 2, dp3 = 4
(4)、初始化顺序

这里根据题目要求，根据状态转移方程，从左往右，将dp填充。
(5)、返回值

返回dpn即为，返回结果。

4.参考代码（非空间优化版本）

C++版本：

class Solution {
public:
    const int MOD = 1e9 + 7;
    int waysToStep(int n) 
    {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n == 2) return n;
        if(n == 3) return 4;

        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 4;

        for(int i = 4;i <= n;i++)
        {
            dp[i] = ((dp[i - 3] + dp[i-2]) %MOD + dp[i - 1]) % MOD;
        }

        return dp[n];
    }
};

Java版本：

class Solution {
    final int MOD = 1000000007;

    public int waysToStep(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1 || n== 2) return n;
        if(n == 3) return 4;

        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;dp[2] = 2;dp[3] = 4;

        for(int i = 4; i <= n;i++){
            dp[i] = ((dp[i - 1] + dp[i - 2] ) % MOD + dp[i - 3] ) % MOD;
        }

        return dp[n];
    }
}