算法学习笔记——二分搜索

二分搜索

在有序数组中确定num存在还是不存在：

当arr[m] == num，则num存在
当arr[m] > num，则 r = m - 1，缩小r的范围，继续往左二分
当arr[m] < num，则l = m + 1，缩小l的范围，继续往右二分

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// 保证arr有序，才能用这个方法
public static boolen exist(int[] arr, int num) {
    if (arr == null || arr.length == 0){
        return false;
    }
    int l = 0, r = arr.length - 1, m = 0;
    while (l <= r) {
        // 中间值
        m = l + ((r - l) >> 1);
        if (arr[m] == num) {
            // 中间值 == num，直接返回结果
            return true;
        } else if (arr[m] > num) {
            // 中间值 > num，缩小r的范围
            r = m - 1;
        } else {
            // 中间值 < num, 缩小l的范围
            l = m + 1;
        }
    }
    return false;
}

有序数组中找>=num的最左位置：

ans(二分搜索法答案) 初始值设置为：-1，-1表示不存在符合要求的值
当middle(中点值) >= num 时修改ans = middle 并 r = middle - 1 缩小右边范围，继续往左二分
当 middle(中点值) < num 时 不修改 ans 但 l = middle + 1 缩小左边范围 ，继续往右二分
求中间值公式用：l + ((r - l) >> 1) 或者 l + ((r - 1) / 2)，防止运算数值溢出
找<=num的最左位置没有意义，直接找下标为0的位置进行判断就可以得出结果

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// 保证arr有序，才能用这个方法
// 有序数组中找>=num的最左位置
public static int findLeft(int[] arr, int num) {
    int l = 0, r = arr.length - 1, m = 0;
    int ans = -1;
    while (l <= r){
        m = l + ((r - l) >> 1); // 等于 l + ((r - 1) / 2), 等于 (l + r) / 2
        if (arr[m] >= num) {
            ans = m;
            r = m - 1;
        } else {
            l = m + 1;
        }
    }
    return ans;
}

在有序数组中找<=num的最右位置：

ans(二分搜索法答案) 初始值设置为：-1，-1表示不存在符合要求的值
当middle(中点值) <= num 时修改ans = middle 并 l = middle + 1 缩小右边范围，继续往右二分
当 middle(中点值) > num 时 不修改 ans 但 r = middle - 1 缩小左边范围 ，继续往左二分
求中间值公式用：l + ((r - l) >> 1) 或者 l + ((r - 1) / 2)，防止运算数值溢出

java 复制代码

// 保证arr有序，才能用这个方法
// 有序数组中找<=num的最右位置
public static int findLeft(int[] arr, int num) {
    int l = 0, r = arr.length - 1, m = 0;
    int ans = -1;
    while (l <= r){
        m = l + ((r - l) >> 1); // 等于 l + ((r - 1) / 2), 等于 (l + r) / 2
        if (arr[m] <= num) {
            ans = m;
            l = m + 1;
           
        } else {
           r = m - 1;
        }
    }
    return ans;
}

二分搜索不一定发生在有序数组上（比如寻找峰值问题）：

峰值：i-1 < i > i+1，则i为峰值，如果右边或者左边没数值可以认为是无穷小
数组条件：数组中相邻的两个数不相等，只返回一个峰值就行
0位置不是峰值，N-1位置不是峰值，则呈现左边上扬右边下降的趋势，这中间会出现一个或者多个峰值

计算步骤：

先判断数组[0]是不是峰值，是则直接返回
再判断数组[N-1]是不是峰值，是则直接返回
设置 L = 1，R = N-2，求中间值，如果中间值是峰值则直接返回
判断中间值的大小，当左侧数值>中间值，往左侧二分，而右侧数值>中间值，往右侧二分，如果两个都成立选其中一个就行

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// 峰值元素是指其严格大于左右相邻值的元素
// 给你一个整数数组 nums，已知任何两个相邻的值都不相等
// 找到峰值元素并返回其索引
// 数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回任何一个峰值 所在位置即可
// 你可以假设 nums[-1] = nums[n] = 无穷小
// 你必须实现时间复杂度为 0(log n) 的算法来解决此问题
public static int findPeakElement(int[] arr) {
    int n = arr.length;
    // 小   小
    // -1 0 1
    if (arr.length == 1) {
        return 0;
    }
    // 数组长度 >= 2
    // 单独验证0位置，是不是峰值点
    if (arr[0] > arr[1]) {
        return 0;
    }
    //  单独验证n-1位置，是不是峰值点
    if (arr[n - 1] > arr[n - 2]) {
        return n - 1;
    }
    // X   中间一定有一个峰值    X
    // 0                      N-1
    // 中间 ：1 ~ n-2 ，一定有峰值点
    // 每一步的l...r : 一定有峰值点
    int l = 1, r = n - 2, m = 0, ans = -1;
    while (l <= r) {
        m = l + ((r - l) >> 1);
        if (arr[m - 1] > arr[m]) {
            r = m - 1;
        } else if (arr[m] < arr[m + 1]) {
            l = m + 1;
        } else {
            ans = m;
            break;
        }
    }
    return ans;
}

某侧必有对应的值或者某侧必没有对应的值，则可以使用二分搜索法

如果数组长度为n，那么二分搜索搜索次数是log n次，以2为底

二分搜索世界复杂度o(log n)