高级数据结构-树状数组

基本知识：

1.lowbit运算

cpp 复制代码

int lowbit(int x){
	return x & -x;
}

2.树状数组及其应用

a $N$ 是原始数组；

c $N$ 是树状数组，存放数组a中i号位之前的lowbit(i)个元素之和，c $i$ 覆盖长度是lowbit(i)

特别强调树状数组的下标必须从1开始！！！

（1）.函数getSum(x)，返回前x个数之和a $1$ +a $2$ +......a $x$ .

cpp 复制代码

int getsum(int x){
	int res = 0;//记录和
	for(int i = x;i;i -= lowbit(i))
		res += tr[i];
	return res;
}

（2）.函数update(x,c).实现将第x个数加上一个数v的功能，即a $x$ += c；

cpp 复制代码

void update(int x,int c){
	for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i)){
		tr[i] += c;
	}
}

例题1：

在完成了分配任务之后，西部 314来到了楼兰古城的西部。

相传很久以前这片土地上(比楼兰古城还早)生活着两个部落，一个部落崇拜尖刀(V)，一个部落崇拜铁锹(∧)，他们分别用 V 和 ∧ 的形状来代表各自部落的图腾。

西部 314 在楼兰古城的下面发现了一幅巨大的壁画，壁画上被标记出了 n 个点，经测量发现这 n𝑛 个点的水平位置和竖直位置是两两不同的。

西部 314认为这幅壁画所包含的信息与这 n 个点的相对位置有关，因此不妨设坐标分别为 (1,y1),(2,y2),...,(n,yn)，其中 y1∼yn是 11到 n 的一个排列。

西部 314314 打算研究这幅壁画中包含着多少个图腾。

如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk) 满足 1≤i<j<k≤n 且 yi>yj,yj<yk，则称这三个点构成 V 图腾;

如果三个点 (i,yi),(j,yj),(k,yk) 满足 1≤i<j<k≤n 且 yi<yj,yj>yk，则称这三个点构成 ∧ 图腾;

西部 314想知道，这 n个点中两个部落图腾的数目。

因此，你需要编写一个程序来求出 V 的个数和 ∧ 的个数。

输入格式

第一行一个数 n𝑛。

第二行是 n𝑛 个数，分别代表 y1，y2,...,yn。

输出格式

两个数，中间用空格隔开，依次为 V 的个数和 ∧ 的个数。

数据范围

对于所有数据，n≤200000，且输出答案不会超过𝑖𝑛𝑡64。

𝑦1∼𝑦𝑛 是 1 到 n 的一个排列。

输入样例：
复制代码
5
1 5 3 2 4
输出样例：
复制代码
3 4

代码：

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<unordered_map>
#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 2e5 + 10;
int n,a[N],tr[N],Greater[N],lower[N];
int lowbit(int x){
	return x & -x;
}
void add(int x,int c){
	for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i))
		tr[i] += c;
}
int sum(int x){
	int res = 0;
	for(int i = x;i;i -= lowbit(i))
		res += tr[i];
	return res;
}
signed main(){
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		cin >> a[i];
	}
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		int y = a[i];
		Greater[i] = sum(n) - sum(y);
		lower[i] = sum(y-1);
		add(y,1);
	}
	memset(tr,0,sizeof tr);
	int res1 = 0,res2 = 0;
	for(int i = n;i;i --){
		int y = a[i];
		res1 += Greater[i]*(sum(n) - sum(y));
		res2 += lower[i]*(sum(y-1));
		add(y,1);
	}
	cout << res1 << ' ' << res2 ;
}

例题2：

给定一个长度为 𝑁 的数列 𝐴，以及 𝑀 条指令，每条指令可能是以下两种之一：

C l r d，表示把 A $l$ ,A $l+1$ ,...,A $r$ 都加上 𝑑。

Q l r，表示询问数列中第𝑙∼𝑟 个数的和。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式

第一行两个整数 𝑁,𝑀。

第二行 𝑁 个整数 𝐴 $𝑖$ 。

接下来 𝑀 行表示 𝑀 条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围

1≤𝑁,𝑀≤105,

|𝑑|≤10000,

|𝐴 $𝑖$ |≤109

输入样例：
复制代码
10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Q 4 4
Q 1 10
Q 2 4
C 3 6 3
Q 2 4
输出样例：
复制代码
4
55
9
15

代码：

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<unordered_map>
#define int long long
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
const int N = 1e5 + 10;
int n,m;
int a[N],tr[N];
int lowbit(int x){
	return x & -x;
}
void add(int x,int c){
	for(int i = x;i <= n;i += lowbit(i)){
		tr[i] += c;
	}
}
int sum(int x){
	int res = 0;//记录和
	for(int i = x;i;i -= lowbit(i))
		res += tr[i];
	return res;
}
signed main(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= n;i ++)
		cin >> a[i];
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		add(i,a[i] - a[i-1]);
	}
	while(m --){
		char c;
		int l,r,d,x;
		cin >> c;
		if(c == 'C'){
			cin >> l >> r >> d;
			add(l,d);
			add(r+1,-d);
		}
		if(c == 'Q'){
			cin >> x;
			cout << sum(x) << endl;
		}
	}
	return 0;
}