数学建模 —— 层次分析法(2)

目录

一、层次分析法(AHP)

二、构造比较判断矩阵

[2.1 两两比较法](#2.1 两两比较法)

三、单准则下的排序及一致检验

[3.1 单准则下的排序](#3.1 单准则下的排序)

[3.2 一致性检验](#3.2 一致性检验)

四、层次总排序

[4.1 层次总排序的步骤](#4.1 层次总排序的步骤)

[4.2 总排序一致性检验](#4.2 总排序一致性检验)


一、层次分析法(AHP)

方法:层次分析法(Analytic Hierarchy Process)简称AHP (美国运筹学家T.L.Saaty教授在70年代中期提出)是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法.

运用层次分析法建模,大体上分成四个步骤**:**

⑴****建立递阶层次结构;

⑵****构造比较判别矩阵;

⑶****在单准则下的排序及一致性检验;

⑷****总的排序选优。

二、构造比较判断矩阵

2.1 两两比较法

当以上一层次某个因素C作为比较准则时,可用一个比较标度a**ij来表达下一层次中第i个因素与第j个因素的相对重要性(或偏好优劣)的认识。a**ij的取值一般取正整数1---9(称为标度)及其倒数。由a**ij构成的矩阵称为比较判断矩阵A=(a**ij)。关于a**ij取值的规则见下表

|-----------------|--------|------------------------------------------------------------------------------------------------|
| 元素 | 标度 | 规 则 |
| aij | 1 | 以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比****, 具有同样重要**。** |
| aij | 3 | 以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比****, ij稍微重要****。 |
| aij | 5 | 以上一层某个因素为准则**,本层次因素i与因素j相比,** ij明显重要****。 |
| aij | 7 | 以上一层某个因素为准则**,本层次因素i与因素j相比,** ij强烈重要****。 |
| aij | 9 | 以上一层某个因素为准则,本层次因素i与因素j相比****, ij极端重要****。 |

a**ij取值也可以取上述各数的中值2,4,6,8及其倒数,即若因素i与因素j比较得a**ij,则因素j与因素i比较得1/a**ij

n阶矩阵A=(a**ij)为正互反矩阵, 若对于一切i,j,k,都有aija**jk=a**ik, i,j,k=1,2,...,n,称A为一致矩阵.

三、单准则下的排序及一致检验

3.1 单准则下的排序

根据比较判断矩阵如何求出各因素u1,u2,...,u**n , 对于准则的相对排序权重的过程称为单准则下的排序。

(1)理论依据

定理3.1.1 (Perron定理):

n阶方阵A>O, l**max为A的模最大特征根,则

l**max必为正特征根,且对应特征向量为正向量;

⑵对于A的任何其它特征值,恒有|l|<l**max

l**maxA的单特征根,因而它所对应的特征向量除相差一个常数因子外是唯一的。

定理3.1.2 对于任何一个正互反矩阵均有l**max ³ n, 其中l**max为A的模最大特征根。

定理3.1.3 n阶正互反矩阵A=(a**ij)为一致矩阵的充分必要条件是A的最大特征根为n.

(2)求正互反矩阵排序向量的方法

①特征根方法(EVM)

对于正矩阵,有一种求特征向量的简易算法(幂法)。下面的定理为幂法提供了理论依据。

②和法

③根法

3.2 一致性检验

引入随机一致性指标RI

所以

一般当CR<0.1时,认为A的不一致程度在容许范围之内,有满意的一致性,通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量,否则要重新构造成对比较矩阵A,对 aij 加以调整。

四、层次总排序

计算同一层次中所有元素对于最高层(总目标)的相对重要性标度(又称排序权重向量)称为层次总排序。

4.1 层次总排序的步骤

4.2 总排序一致性检验

人们在对各层元素作比较时,尽管每一层中所用的比较尺度基本一致,但各层之间仍可能有所差异,而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来,因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著,检验的过程称为层次总排序的一致性检验。

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