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所属专栏：数据结构与算法
贝蒂的主页：Betty's blog
1. 快速排序
1.1. 算法思想
**快速排序(Quick Sort)**是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。
1.2. 算法实现
快速排序的实现方式有很多，下面我们主要介绍三种方法。
1.2.1. Hoare法
- 利用两个变量
left，right分别指向数组的起始位置与末尾位置。并且以数组第一个元素作为key值。right先从右往左依次遍历找到比key小的数，left从左往右依次遍历找到比key大的数。然后交换left与right下标对应的值。重复步骤2直至right>=left。- 之后交换
key与left或者right对应的值，并且把该位置记为mid。- 最后划分区间
[left，mid-1]与[mid+1,right]继续重复1,2步骤。直至不能划分。
思考：为什么最后相遇位置一定小于或等于 **key**值？
我们知道right与left相遇无非两种情况：
- 情况一：
right停住，left移动与right相遇·。因为right一直再找比key小的值，所以right停下位置一定比key小，相遇位置也一定比key小。- 情况二：
left停住，right移动与left相遇·。此时又分为两种情况：
left从未移动，右侧数据都比可以大，相遇位置就是key，交换不变。left移动过至少一次，也就是至少交换过一次，此时left停留位置的值是上一轮right所对应的值，又因为right一直再找比key小的值，所以相遇位置也一定比key小。
代码实现：
c
void swap(int* p1, int* p2)
{
int tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
int PartSort1(int* arr, int begin, int end)
{
int left = begin, right = end;
int keyi = begin;
while (left < right)
{
//left<right防止越界
//使用>=而不是>防止数据出现死循环
while (left<right && arr[right]>=arr[keyi])
//寻找比key小的值
{
right--;
}
while (left < right && arr[left] <= arr[keyi])
//寻找比key大的值
{
left++;
}
swap(&arr[left], &arr[right]);
}
int mid = left;
swap(&arr[keyi], &arr[mid]);
return mid;
}
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{
if (left >= right)//不能划分
{
return;
}
int mid = PartSort1(arr, left, right);//单趟排序
QuickSort(arr, left, mid - 1);//左区间
QuickSort(arr, mid+1, right);//右区间
}1.2.2. 挖坑法
- 先将起始位置
key值 设为坑，之后right从右往左找比key值小的值，找到之后放入坑位，此时right就形成新的坑。然后left从左往右找比key大的值， 找到之后放入坑位，此时left就又形成新的坑。- 最后
left与right相遇，将key放入最后一个坑，并将该位置记为mid，。·- 最后划分区间
[left，mid-1]与[mid+1,right]继续重复1,2步骤。直至不能划分。
代码实现：
c
int PartSort2(int* arr, int begin, int end)
{
int left = begin, right = end;
int hole = begin;//记录坑位
int key = arr[left];
while (left < right)
{
//left<right防止越界
//使用>=而不是>防止数据出现死循环
while (left < right && arr[right] >= key)
//寻找比key小的值
{
right--;
}
arr[hole] = arr[right];
hole = right;
while (left < right && arr[left] <= key)
//寻找比key大的值
{
left++;
}
arr[hole] = arr[left];
hole = left;
}
arr[hole] = key;
return hole;
}
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{
if (left >= right)//不能划分
{
return;
}
int mid = PartSort2(arr, left, right);//单趟排序
QuickSort(arr, left, mid - 1);//左区间
QuickSort(arr, mid+1, right);//右区间
}1.2.3. 前后指针法
- 先定义一个
prev指向数组首元素，然后定义一个cur指向第二个位置。cur从左往右依次遍历找key小的值，找到之后++prev，然后交换prev与cur指向的值。之后cur++继续遍历。(key为起始位置的值)- 当cur遍历完之后，此时交换
prev指向的值与key。将此时位置记为mid。- 最后划分区间
[left，mid-1]与[mid+1,right]继续重复1,2,3步骤。直至不能划分。
代码实现：
c
int PartSort3(int* arr, int begin, int end)
{
int prev = begin;
int cur = begin + 1;
int keyi = begin;
while (cur <= end)
{
if (arr[cur] < arr[keyi])//小于则交换
{
swap(&arr[++prev], &arr[cur]);
}
cur++;
}
swap(&arr[prev], &arr[keyi]);
return prev;
}
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{
if (left >= right)//不能划分
{
return;
}
int mid = PartSort3(arr, left, right);//单趟排序
QuickSort(arr, left, mid - 1);//左区间
QuickSort(arr, mid+1, right);//右区间
}1.3. 复杂度分析
- 时间复杂度：通常情况下，需要递归logN层，每层都需要遍历，所以时间复杂度为O(NlogN)。
- 空间复杂度：通常情况下，需要递归logN层，所以空间复杂度为O(logN)。
1.4. 算法优化
1.4.1. 改变基准元素
当数组有序时，我们再对其进行快速排序，其时间复杂度讲话劣化为O(N2)。
这时候我们为了防止这种现象，可以选择提前改变基准元素key。
- 三数取中 ：即取出数组首尾以及中间元素，选取数值位于中间的元素作为准元素
key。
c
int GetMidNum(int*arr, int left, int right)
{
int mid = (left + right) >> 1;
if (arr[mid] > arr[left])
{
if (arr[mid] < arr[right])
{ //left mid right
return mid;
}
else if (arr[left] > arr[right])
{ //right left mid
return left;
}
else
{ //left right mid
return right;
}
}
}
int PartSort3(int* arr, int begin, int end)
{
int prev = begin;
int cur = begin + 1;
int keyi = begin;
int mid=GetMidNum(arr, begin, end);
swap(&arr[begin], &arr[mid]);
while (cur <= end)
{
if (arr[cur] < arr[keyi])//小于则交换
{
swap(&arr[++prev], &arr[cur]);
}
cur++;
}
swap(&arr[prev], &arr[keyi]);
return prev;
}- 随机数取中：三数取中有时候也并不能保证基准元素的准确性，这时候我们最好使用随机数获取基准值。
c
int GetRanNum(int*arr, int left, int right)
{
srand(time(0));//生成随机种子
int mid = rand() % (right - left) + left;//随机数
return mid;
}1.4.2. 聚集元素
除了数组有序的情况外，还有一种情况也会导致快速排序的时间复杂度劣化为O(N2 )，那就是当数组元素全部相同时。
为了解决这个问题，我们采用一种三指针分化区间的方式。其步骤如下：
- 分别定义三个指针
left,cur,right分别指向数组首元素，第二个元素，最后一个元素。- 从左往右用
cur依次遍历数组：(key为数组第一个元素)
- 如果
arr[cur]<key，交换arr[cur]与arr[left]，再让cur++``left++。- 如果
arr[cur]>key，交换arr[cur]与arr[right]，再让right--。- 如果
arr[cur]==key，直接让cur++。
- 重复步骤2直至
cur>right,成功划分区间。小于key：[begin,left-1]，等于key：[left, right]大于key：[right + 1, end]。
问题：为什么当arr[cur]>key，交换arr[cur]与arr[right]时不让cur++？
因为交换过来的值可能比key大，也可能比key小。如果直接cur++，并不能对这个元素进行正确的划分。
c
void ThreeDivision(int*arr, int*left, int*right)
{
int cur = *left + 1;
int key = arr[*left];
while (cur <= *right)
{
if (arr[cur] < key)//大于key
{
swap(&arr[(*left)++], &arr[cur++]);
}
else if (arr[cur] > key)//小于key
{
swap(&arr[cur], &arr[(*right)--]);
}
else//等于key
{
cur++;
}
}
}
void QuickSort(int* arr, int begin, int end)
{
if (begin >= end)//不能划分
{
return;
}
if ((end - begin + 1) < 10)//小区间优化
{
InsertSort(arr, end - begin + 1);
return;
}
int mid = GetRanNum(arr, begin, end);
swap(&arr[begin], &arr[mid]);
int left = begin;
int right = end;
ThreeDivision(arr, &left, &right);//三指针划分区间
//[begin, left - 1][left, right][right + 1, end]
QuickSort(arr, begin, left - 1);//左区间
QuickSort(arr, left+1, end);//右区间
}1.4.3. 区间优化
在我们进行递归调用时，递归越深递归调用的次数就会越多，为了优化这个问题，我们可以当区间较小时采用其他排序。
其中我们将递归调用抽象成树的形式：
其中根据我们在树那节学习的知识，我们知道第i层的节点数为2i-1 个，节点总数为2h -1个，**最后三次调用次数就约占据总次数的87.5%。**所以我们可以在倒数三层之后采用其他排序，如插入排序。
c
void QuickSort(int* arr, int left, int right)
{
if (left >= right)//不能划分
{
return;
}
if ((right - left + 1) < 10)//小区间优化
{
InsertSort(arr+left, right - left + 1);
return ;
}
int mid = PartSort3(arr, left, right);//单趟排序
QuickSort(arr, left, mid - 1);//左区间
QuickSort(arr, mid+1, right);//右区间
}1.4.4. 尾递归优化
我们知道快速排序的空间复杂度最坏情况下会劣化为O(N)，为了防止栈帧空间的积累，我们可以采用尾递归形式进行递归，并且仅对较短的子数组进行递归。由于较短子数组的长度不会超过n/2，因此这种方法能确保递归深度不超过logN ，从而将最差空间复杂度优化至O(logN) 。
c
void QuickSort(int* arr, int begin, int end)
{
while (begin < end)
{
int mid = PartSort3(arr, begin, end);
if (mid - begin<end - mid)//左区间
{
QuickSort(arr, begin, mid-1);
begin = mid + 1;//更新区间
}
else
{
QuickSort(arr, mid + 1, end);//右区间
end = mid - 1;//更新区间
}
}
}1.5. 非递归实现
我们知道当递归太深时会存在栈溢出的风险，为了避免这种风险我们除了采用尾递归优化空间外，我们还可以采用非递归的形式实现。
非递归实现的方法需要借助栈这个数据结构，利用其后进先出的形式模拟实现递归，具体步骤如下：
- 首先将左右端点
begin，end入栈。- 如果栈不为空，则先出栈右端点
right，在出栈左端点left，然后将[left,right]进行单趟排序得到基准点keyi。- 然后判断
[left,keyi-1],[keyi+1,right]区间是否合法，合法就继续入栈。- 最后重复步骤2,3，直至栈为空。
c
void QuickSortNonR(int* a, int begin, int end)
{
Stack st;
InitStack(&st);
PushStack(&st, begin);
PushStack(&st, end);//入栈
while (!StackEmpty(&st))
{
//先出为右端点
int right = StackTop(&st);
PopStack(&st);
//后出为左端点
int left = StackTop(&st);
PopStack(&st);
//单趟排序
int keyi = PartSort3(a, left, right);
//先入右
if (keyi + 1 < right)//判断区间是否存在
{
PushStack(&st, keyi + 1);
PushStack(&st, right);
}
//后入左
if (left< keyi-1)
{
PushStack(&st, left);
PushStack(&st, keyi - 1);
}
}
DestroyStack(&st);
}2. 归并排序
2.1. 算法思想
**归并排序（Merge Sort）**是建立在归并操作上的一种有效的排序算法, 该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
2.2. 算法步骤
- 创建一个与待排序数组同等大小的
tmp数组。- 然后将待排序数组分为两个子数组，让两个子数组有序。为了让这两个子数组有序，我们又要将每个子数组分为两个子数组，让其有序。
- 当子数组没有元素或者只有一个元素时，我们可以认为其有序，然后将两个子数组开始归并。
- 归并时因为两个子数组有序，我们可以定义两个指针
begin1，begin2分别指向两个数组起始位置。然后遍历比较arr[begin1]与arr[begin2]，取较小的元素尾插进tmp数组。- 最后
tmp数组数据拷贝回原数组。
2.3. 动图演示
2.4. 代码实现
c
void _MergeSort(int* arr, int begin, int end, int* tmp)
{
if (begin >= end)
{
return;
}
int mid = (begin + end) >> 1;//以中间为分割点
_MergeSort(arr, begin, mid, tmp);//归并左区间
_MergeSort(arr, mid+1, end, tmp);//归并右区间
int i = begin;
int begin1 = begin, end1 = mid;
int begin2 = mid + 1, end2 = end;
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
{
if (arr[begin1] < arr[begin2])
{
tmp[i++] = arr[begin1++];
}
else
{
tmp[i++] = arr[begin2++];
}
}
//若是还有区间存在数据
while (begin1 <= end1)
{
tmp[i++] = arr[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
tmp[i++] = arr[begin2++];
}
//最后将归并完后后的数据拷贝回原数组
memcpy(arr + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}
void MergeSort(int* arr, int n)
{
int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
if (tmp == NULL)
{
perror("malloc fail:");
return;
}
_MergeSort(arr, 0, n - 1, tmp);
free(tmp);
tmp = NULL;
}2.5. 复杂度分析
- 时间复杂度：通常情况下，需要递归logN层，每层都需要遍历，所以时间复杂度为O(NlogN)。
- 空间复杂度：通常情况下，需要创建tmp临时数组，所以空间复杂度为O(N)。
2.6. 算法优化
2.6.1. 区间优化
与快速排序类似，当递归调用层数越多时，最后三层的递归调用会浪费大量时间。为了避免这种情况，这时我们就可以采用小区间使用插入排序的方法。
c
void _MergeSort(int* arr, int begin, int end, int* tmp)
{
if (begin >= end)
{
return;
}
if (end-begin+1<10)//小区间优化
{
InsertSort(arr+begin, end-begin+1);
return;
}
int mid = (begin + end) >> 1;//以中间为分割点
_MergeSort(arr, begin, mid, tmp);//归并左区间
_MergeSort(arr, mid+1, end, tmp);//归并右区间
int i = begin;
int begin1 = begin, end1 = mid;
int begin2 = mid + 1, end2 = end;
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
{
if (arr[begin1] < arr[begin2])
{
tmp[i++] = arr[begin1++];
}
else
{
tmp[i++] = arr[begin2++];
}
}
//若是还有区间存在数据
while (begin1 <= end1)
{
tmp[i++] = arr[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
tmp[i++] = arr[begin2++];
}
//最后将归并完后后的数据拷贝回原数组
memcpy(arr + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}2.6.2. 判断区间有序
在归并排序合并时，如果两个区间是有序,即arr[end1]<=arr[begin2]时就不需要对其进行归并。
c
void _MergeSort(int* arr, int begin, int end, int* tmp)
{
if (begin >= end)
{
return;
}
int mid = (begin + end) >> 1;//以中间为分割点
_MergeSort(arr, begin, mid, tmp);//归并左区间
_MergeSort(arr, mid+1, end, tmp);//归并右区间
int i = begin;
int begin1 = begin, end1 = mid;
int begin2 = mid + 1, end2 = end;
if (arr[begin2] < arr[end1])//区间有序则不合并
{
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
{
if (arr[begin1] < arr[begin2])
{
tmp[i++] = arr[begin1++];
}
else
{
tmp[i++] = arr[begin2++];
}
}
//若是还有区间存在数据
while (begin1 <= end1)
{
tmp[i++] = arr[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
tmp[i++] = arr[begin2++];
}
//最后将归并完后后的数据拷贝回原数组
memcpy(arr + begin, tmp + begin, sizeof(int) * (end - begin + 1));
}
}2.7. 非递归实现
非递归实现归并排序，就需要通过迭代来模拟归并排序归并的过程。这时我们可以通过一个变量gap来代表归并区间的大小，初始化gap=1并且每次归并完成之后gap*=2。
c
void MergeSortNonR(int* arr, int n)//非递归实现
{
int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
if (tmp == NULL)
{
perror("malloc fail:");
return;
}
int gap = 1;//归并区间大小
while (gap < n)
{
for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap)
{
int j = i;//记录起始位置
int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;
int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
{
if (arr[begin1] < arr[begin2])
{
tmp[j++] = arr[begin1++];
}
else
{
tmp[j++] = arr[begin2++];
}
}
//若是还有区间存在数据
while (begin1 <= end1)
{
tmp[j++] = arr[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
tmp[j++] = arr[begin2++];
}
//归并一组拷贝一组
memcpy(arr + i, tmp + i, sizeof(int) * (end2 - i + 1));
}
gap *= 2;
}
}但是这段代码有一个明显的问题，那就是可能出现越界访问的情况，分别可能是end1越界，begin2越界， end2`越界。
- 情况一：
end1越界，begin2越界，只有一个区间在原数组内，不需要归并拷贝，直接break跳出循环。 - 情况二：
end2越界，有两个区间在原数组内，需要归并拷贝，修正end2=n-1。
c
void MergeSortNonR(int* arr, int n)//非递归实现
{
int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
if (tmp == NULL)
{
perror("malloc fail:");
return;
}
int gap = 1;//归并区间大小
while (gap < n)
{
for (int i = 0; i < n; i += 2 * gap)
{
int j = i;//记录起始位置
int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;
int begin2 = i + gap, end2 = i + 2 * gap - 1;
if (end1 >= n || begin2 >= n)
{
break;
}
if (end2 >= n)
{
end2 = n - 1;
}
while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
{
if (arr[begin1] < arr[begin2])
{
tmp[j++] = arr[begin1++];
}
else
{
tmp[j++] = arr[begin2++];
}
}
//若是还有区间存在数据
while (begin1 <= end1)
{
tmp[j++] = arr[begin1++];
}
while (begin2 <= end2)
{
tmp[j++] = arr[begin2++];
}
memcpy(arr + i, tmp + i, sizeof(int) * (end2 - i + 1));
}
gap *= 2;
}
}3. 文件外排序
当数据量很少时，数据都存在内存中，我们可以用的排序多种多样。但是当数据量足够大时，数据就将会放在磁盘文件中，这时文件指针很难完成随机偏移。即使有着fseek的库函数，效率也是极低的，所以这时最好选择归并排序对其进行排序。
步骤如下：
- 首先将一个待排序文件分成若干份，每一份文件存储数据都不大于内存最大的容纳范围。
- 然后将这若干个小文件放入内存中对其进行排序，使每一个文件有序。
- 然后利用归并排序的思想，以每一个小文件为基准进行归并。
- 最后归并完毕，就能使原数据量较大的文件有序。
c
void _MergeSortFile(const char* file1, const char* file2, const char* mfile)
{
FILE* fout1 = fopen(file1, "r");
if (fout1==NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
FILE* fout2 = fopen(file2, "r");
if (fout2==NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
FILE* fin = fopen(mfile, "w");
if (fin==NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
int num1, num2;
int ret1 = fscanf(fout1, "%d\n", &num1);//利用返回值判断是否结束
int ret2 = fscanf(fout2, "%d\n", &num2);
while (ret1 != EOF && ret2 != EOF)
{
//文件指针在读取时会自动往后移动
if (num1 < num2)
{
fprintf(fin, "%d\n", num1);
ret1 = fscanf(fout1, "%d\n", &num1);
}
else
{
fprintf(fin, "%d\n", num2);
ret2 = fscanf(fout2, "%d\n", &num2);
}
}
while (ret1 != EOF)
{
fprintf(fin, "%d\n", num1);
ret1 = fscanf(fout1, "%d\n", &num1);
}
while (ret2 != EOF)
{
fprintf(fin, "%d\n", num2);
ret2 = fscanf(fout2, "%d\n", &num2);
}
fclose(fout1);
fclose(fout2);
fclose(fin);
}
/*文件外排序*/
void MergeSortFile(const char* file)
{
FILE* fout1 = fopen(file, "w");
if (fout1 == NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
for (int i = 0; i < 100; ++i)
{
int num = rand() % 100;
fprintf(fout1, "%d\n", num);
}
fclose(fout1);
FILE* fout = fopen(file, "r");
if (fout==NULL)
{
perror("fopen fail");
return;
}
int num = 0;
const int n = 10;//每个小文件数据个数
int i = 0;
int arr[10];
char subfile[20];
int filei = 1;
memset(arr, 0, sizeof(int) * n);//初始化
//将大文件分为小文件
while (fscanf(fout, "%d\n", &num) != EOF)
{
//首先读9个数据到数组中。
//如果是一次读取10个数据，第11次进入else时的num会被忽略
if (i < n - 1)
{
arr[i++] = num;
}
else
{
arr[i] = num;//放入第10个数据
QuickSort(arr, 0, n - 1); //进行排序
sprintf(subfile, "%d", filei++);//文件名
FILE* fin = fopen(subfile, "w");
if (fin==NULL)
{
perror("fopen fail:");
return;
}
//将排序好数据写入每个小文件
for (int j = 0; j < n; ++j)
{
fprintf(fin, "%d\n", arr[j]);
}
fclose(fin);
i = 0; //i重新置0，方便下一次的读取
memset(arr, 0, sizeof(int) * n);//重置
}
}
//两两归并文件
char file1[100] = "1";
char file2[100] = "2";
char mfile[100] = "12";
for (int i = 2; i <= 10; i++)
{
_MergeSortFile(file1, file2, mfile);
strcpy(file1, mfile);
sprintf(file2, "%d", i + 1);//更新文件名
sprintf(mfile, "%s%d", mfile, i + 1);//更新文件名
}
}