C++：红黑树 - 技术栈

红黑树的概念

红黑树是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或 Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。

如下所示就是一颗红黑树：

红黑树的性质

每个结点不是红色就是黑色

根节点是黑色的

如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的（不存在连续的红色节点）

对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点（每条路径都包含相同数量的黑色节点）

每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)NIL节点

为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

根据红黑树的性质，当一颗子树中的节点全部为黑色节点时，路径最短；在另一颗包含红色节点的子树中，由于节点为一黑一红间隔，节点数量最多是全黑子树的两倍，路径最长。

红黑树节点的定义

//颜色
enum color
{
	RED,
	BLACK
};
 
//红黑树节点的定义
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	color _col;
 
	//构造函数
	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{}
};

在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

新插入节点的颜色只会影响性质3或者性质4（新插入的节点不是根节点的时候），

如果新插入的节点是黑色的节点，那么一定会破坏性质4，破坏性质4要想让红黑树平衡最坏的情况需要将整颗树的节点都动一遍，很难维护。

如果新插入的节点是红色的节点，可能会破坏性质3（红色节点的孩子一定是黑色，黑色节点的孩子不一定是红色），即使破坏了性质3，最坏的情况也就不过只要更改三个节点的颜色。

红黑树的插入

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

按照二叉搜索的树规则插入新节点

检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

（注意：由于红黑树的插入也会涉及旋转等问题，所以随着高度的增加红黑树树子树的情况就会变得非常复杂，所以采用和AVL树一样的处理方法，使用具象图来表示）

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

（cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点）

情况一：cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

cur和p均为红，违反了性质三，此处能否将p直接改为黑？

切记不可，否则就会违反性质4，处理起来会很棘手。

处理方式：将p，u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整

如果p是红色，由于新插入的节点默认是红色的，就会出现连续的红色节点，违反性质三，处理完后保证了性质四不会变。

如果g是根节点，调整完成后，需要将g改为黑色（根节点一定为黑色）

如果g是子树，一定有双亲，且g的双亲如果是红色，需要继续向上调整，如下图：

经调整后是可能会出现上图情况，即本来g的p是红色的，所以需要继续往上调整，以上是当cur是新插入节点的情况，同理，我们调整的这部分也可能是下面调整上来导致，即a，b，c，d，e都不为0的情况，当在a或b新插入节点导致的连续红色节点，一路向上调整这，需要纵观全局，图上可能是一棵树的全部，或者是一棵树的顶部，也可能是一颗树的中部，甚至是一颗树的底部

无论是哪一部分，无论是在哪颗子树，只要按处理方式处理，往上更新即可。

情况二：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

u的情况有两种：

如果u节点不存在，则cur一定是新插入节点，因为如果cur不是新插入节点，则cur和p一定有一个节点的颜色是黑色，就不满足性质4

如果u节点存在，则其一定是黑色的，那么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色

处理方式：

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；

p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转；

p、g变色--->p变黑，g变红

情况1------u不存在

当u不存在&&p是g的左&&cur是p的左，abcde子树都不应该存在（de肯定不存在，c若存在那么cur插入前就应该旋转过来了，cur不可能插在p的这个位置，cur若不是新插入节点p应该是黑色，那么违反红黑树性质4。），如下图：

单纯的左子树的左高，以g为旋转点进行右单旋，旋转完成后，p变黑色g变红色：

即平衡，就不用再做处理，不再往上更新

当u不存在&&p是g的右&&cur是p的右，与上面同理，如下图：

单纯的右子树的右高，以g为旋转点进行左单旋，旋转完成后，p变黑色g变红色：

即平衡，就不用再做处理，不再往上更新

情况2------u存在且为黑

为什么cur节点原来的颜色一定是黑色的，现在看到其是红色的原因是因为cur的子树在调整的过程中将cur节点的颜色由黑色改成红色？

分析如下：

cur为红色有两种情况：

一种情况是cur本来是红色，即cur为新插入的红色节点，但是新插入红色cur节点的情况不可能存在，因为如果是新插入红色cur节点无论如何都会违反红黑树的性质。

一种情况由子树往上更新来导致cur变成红色，即由情况一向上更新演变到cur为红，u为黑

由此分析发现只能是第二种情况。

以下更新情况都是由情况一向上更新演变到cur为红u为黑高度最少的情况即相差一层高度：

（如果再少一层，即少cur下面一层（cur是新插入的红色节点），则该树一定违反红黑树性质）

u存在&&u为黑&&p是g的左&&cur是p的左：

上图经过情况一演变到下图：

单纯的左子树的左高，以g为旋转点进行右单旋，旋转完成后，p变成黑色，g变成红色，如下图：

经过旋转+变色以后该红黑树就平衡了，不用往上更新

u存在&&u为黑&&p是g的右&&cur是p的右：

上图经过情况一演变到下图：

单纯的右子树的右高，以g为旋转点进行左单旋，旋转完成后，p变成黑色，g变成红色，如下图：

经过旋转+变色以后该红黑树就平衡了，不用往上更新

u存在&&u为黑&&p是g的左&&cur是p的左的模板：

abdemnxy等子树是包含相同数量黑色节点的红黑子树，从xymn几个位置中某个位置子树插入红色节点，引发cur从黑变成红，进而引发左子树左高导致的右单旋

u存在&&u为黑&&p是g的右&&cur是p的右的模板：

abdemnxy等子树是包含相同数量黑色节点的红黑子树，从xymn几个位置中某个位置子树插入红色节点，引发cur从黑变成红，进而引发右子树右高导致的左单旋

旋转+变色以后，这颗子树不违反红黑树规则，和插入前比较，黑色节点数量不变，不会影响上层，处理结束。

情况三：cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

情况三和情况二其实是一样的，只不过引发的双旋，除了处理旋转，其他都按情况二方式处理

处理方式：

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，针对p做左单旋转，再针对g做右单旋；

p为g的右孩子，cur为p的左孩子，针对p做右单旋转，再针对g做左单旋；

cur、g变色--->cur变黑，g变红

以下直接给出模板：

u存在&&u为黑&&p是g的左&&cur是p的右的模板：

abdemnxy等子树是包含相同数量黑色节点的红黑子树，从ab两个位置中某个位置子树插入红色节点，引发cur从黑变成红，进而引发左子树右高导致的左右单双旋

u存在&&u为黑&&p是g的右&&cur是p的左的模板：

abdemnxy等子树是包含相同数量黑色节点的红黑子树，从ab两个位置中某个位置子树插入红色节点，引发cur从黑变成红，进而引发右子树左高导致的右左单双旋

和情况二同理，旋转+变色以后，这颗子树不违反红黑树规则，和插入前比较，黑色节点数量不变，不会影响上层，处理结束

插入代码实现如下：

public:
    bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//树为空
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
 
		//找到插入的位置
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			if (cur->_kv.first < kv.first)
				cur = cur->_right;
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
				cur = cur->_left;
			else
				return false;
		}
 
		//将节点插入
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		if (parent->_kv.first < cur->_kv.first)
			parent->_right = cur;
		else
			parent->_left = cur;
 
		cur->_parent = parent;
 
		//连续的红色
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandparent = parent->_parent;
			assert(grandparent);
 
			//parent是grandparent的左
			if (parent == grandparent->_left)
			{
				Node* uncle = grandparent->_right;
 
				//unlce存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//更新parent和uncle的颜色为黑色，grandparent为红色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					//向上更新
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;
				}
				//uncle不存在或者为黑
				else
				{
					//cur是parent的左，左高，右单旋，以grandparent为旋转点
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(grandparent);
						grandparent->_col = RED;
						parent->_col = BLACK;
					}
					//cur是parent的右，左右双旋的情况
					else
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandparent);
						cur->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
 
					break;//旋转调整颜色后一定平衡，只是更改颜色未旋转不一定平衡
				}
			}
			//parent是grandparent的右
			else
			{
				Node* uncle = grandparent->_left;
 
				//uncle存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					//更新parent和uncle的颜色为黑色，grandparent为红色
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandparent->_col = RED;
					//向上更新
					cur = grandparent;
					parent = cur->_parent;
				}
				//uncle不存在或者为黑
				else
				{
					//cur是parent的右，右高，左单旋
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandparent);
						parent->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
					//cur是parent的左，右左双旋
					else
					{
						RotateR(parent);
						RotateL(grandparent);
						cur->_col = BLACK;
						grandparent->_col = RED;
					}
 
					break;//旋转调整颜色后一定平衡，只是更改颜色未旋转不一定平衡
				}
			}
		}
 
		_root->_col = BLACK;//根节点必须为黑色
 
		//插入成功
		return true;
	}
private:
    //右边高左单旋
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
 
		//将根的右子树的左子树赋值给根的右子树
		parent->_right = subRL;
		//subRL为空不能访问
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;
 
		//将根节点变成根的右子树的左子树
		subR->_left = parent;
 
		//更新根的右子树的父节点
		subR->_parent = parent->_parent;
		//如果parent是根节点需要更新根节点
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		//如果parent上面还有祖先节点，需要更新祖先节点的左节点/右节点
		else
		{
			if (parent->_parent->_left == parent)
				parent->_parent->_left = subR;
			else
				parent->_parent->_right = subR;
		}
 
		//更新根的父节点
		parent->_parent = subR;
	}
 
	//左边高右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
 
		//根节点的左指针指向左子树的右子树
		parent->_left = subLR;
		//如果根节点的左子树的右子树不为空则更新_parent
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
 
		//根节点的左子树的右指针指向parent
		subL->_right = parent;
		//更新subL的_parent
		subL->_parent = parent->_parent;
 
		//处理parent是根节点和不是根节点的情况
		//如果parent是根节点，则赋值给_root
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		//否则链接上祖先节点
		else
		{
			//确定是祖先节点的左还是右，并链接上
			if (parent->_parent->_left == parent)
				parent->_parent->_left = subL;
			else
				parent->_parent->_right = subL;
		}
 
		//更新parent的_parent
		parent->_parent = subL;
	}

红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

检测其是否满足红黑树的性质

分别从层序遍历（查看每层节点），中序遍历（二叉搜索树是有序的），树的最低高度和最高高度（红黑树的性质），是否平衡（红黑树的性质）四个角度判断，都满足即是红黑树。

public:
    //层序遍历
	vector<vector<int>> levelOrder() {
		vector<vector<int>> vv;
		if (_root == nullptr)
			return vv;
 
		queue<Node*> q;
		int levelSize = 1;
		q.push(_root);
 
		while (!q.empty())
		{
			// levelSize控制一层一层出
			vector<int> levelV;
			while (levelSize--)
			{
				Node* front = q.front();
				q.pop();
				levelV.push_back(front->_kv.first);
				if (front->_left)
					q.push(front->_left);
 
				if (front->_right)
					q.push(front->_right);
			}
			vv.push_back(levelV);
			for (auto e : levelV)
			{
				cout << e << " ";
			}
			cout << endl;
 
			// 上一层出完，下一层就都进队列
			levelSize = q.size();
		}
 
		return vv;
	}
 
    //中序遍历
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
 
    //求高度差
	void Height()
	{
		cout << "最长路径:" << _maxHeight(_root) << endl;
		cout << "最短路径:" << _minHeight(_root) << endl;
	}
 
 
    //判断是否平衡
	bool IsBalanceTree()
	{
		// 检查红黑树几条规则
 
		Node* pRoot = _root;
		// 空树也是红黑树
		if (nullptr == pRoot)
			return true;
 
		// 检测根节点是否满足情况
		if (BLACK != pRoot->_col)
		{
			cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
			return false;
		}
 
		// 获取任意一条路径中黑色节点的个数 -- 比较基准值
		size_t blackCount = 0;
		Node* pCur = pRoot;
		while (pCur)
		{
			if (BLACK == pCur->_col)
				blackCount++;
 
			pCur = pCur->_left;
		}
 
		// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
		size_t k = 0;
		return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
	}
private:
    //求最大高度
    int _maxHeight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
 
		int lh = _maxHeight(root->_left);
		int rh = _maxHeight(root->_right);
 
		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
 
    //求最小高度
	int _minHeight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
 
		int lh = _minHeight(root->_left);
		int rh = _minHeight(root->_right);
 
		return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1;
	}
 
 
    //中序遍历
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
 
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
 
    //是否是合法的红黑树
	bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
	{
		//走到null之后，判断k和black是否相等
		if (nullptr == pRoot)
		{
			if (k != blackCount)
			{
				cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
 
		// 统计黑色节点的个数
		if (BLACK == pRoot->_col)
			k++;
 
		// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
		if (RED == pRoot->_col && pRoot->_parent && pRoot->_parent->_col == RED)
		{
			cout << "违反性质三：存在连在一起的红色节点" << endl;
			return false;
		}
 
		return _IsValidRBTree(pRoot->_left, k, blackCount) &&
			_IsValidRBTree(pRoot->_right, k, blackCount);
	}

根据红黑树的性质验证是否为红黑树：

性质2：根节点可以直接进行判断

性质3：遇到红色节点就去检查父节点的颜色

性质4：先统计一条路径上黑色节点数量，再进行前序遍历，和每条路径上的黑色节点数量进行比较判断。

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(logN)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。