图论方法学习

图论方法

考过的点

  • 2024年省赛考察:最小生成树
  • 2023年国赛考察:分层图 ( 01 B F S 01BFS 01BFS双端队列)
  • 2022年国赛考察:Floyd算法

2024国赛准备

  • 重点掌握 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra、 S P F A SPFA SPFA、 F l o y d Floyd Floyd、 P r i m Prim Prim、 K r u s k a l Kruskal Kruskal基本思路和解题


    • D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法(n个结点,m条边) 只能用于非负边权图
      • 朴素版: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 用于稠密图
        • 更新 n − 1 n-1 n−1次,每次选取一个非s集合中的距离最小的结点,去更新每一个结点的距离。
      • 堆优化版: O ( m l o g n ) O(mlogn) O(mlogn) 用于稀疏图
        • 基本思路就是用堆去优化选取非s集合中的距离最小的结点。更新的化就是遍历与当前结点所有相邻的结点进行更新,只有当某个结点被更新时才放入堆中。

    • S P F A SPFA SPFA算法(n个结点,m条边) 可以用于含有负权边的图
      • 时间复杂度:一般情况 O ( m ) O(m) O(m) 最坏 O ( n m ) O(nm) O(nm)
      • 基本思路:当一个结点的距离变小时,通过这个结点就有可能将到其他结点的距离减小。因此只需要建立一个队列,每次将距离变小的点放入队列即可,用队列中的点更新其他点。

    • F l o y d Floyd Floyd(n个结点) 多源最短路
      • 时间复杂度:O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
      • 基本思路:每次利用一个结点( k k k)更新所有结点(遍历( i , j i,j i,j))之间的距离。
      • k , i , j k,i,j k,i,j的方式枚举,转移: d [ i ] [ j ] = m i n ( d [ i ] [ j ] , d [ i ] [ k ] + d [ k ] [ j ] ) d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]) d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])

    • P r i m Prim Prim(n个结点,m条边)
      • 朴素版: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 用于稠密图
        • 思路类似 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra
        • 更新n次(选n个点),每次选取一个非s集合中距离集合最近的点,去更新不在集合s中的点到集合s的距离。
      • 堆优化版: O ( m l o g n ) O(mlog n) O(mlogn) 用于稀疏图
        • 思路也是类似于 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra
        • 注意点就是要用一个 c n t cnt cnt进行计数,判断最后是否能构成最小生成树。如果存在孤立点 c n t cnt cnt肯定小于n

    • K r u s k a l Kruskal Kruskal(n个结点,m条边)
      • 时间复杂度: O ( m l o g m ) O(mlogm) O(mlogm) 用于稀疏图
      • 基本思路:先用三元组把边存起来,然后按小到大排序,依次枚举每条边判断是否在一个集合中,不在一个集合中就加上这条边,并放到集合中,用并查集实现。

  • 其他一些搜索算法的作用

    • 多源 B F S BFS BFS

      • 基本思想就是把所有的起点都先放进队列,然后再开始 B F S BFS BFS
    • 双端队列

      • 主要就是解决权值有0有1的问题,权值为0的放入队列的左边,权值为1的放到队列的右边。与堆优化版 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra一样必须在出对时才知道每个点的最小值,而和一般的 B F S BFS BFS不一样。
    • 双向广搜

      • 主要解决的就是搜索空间爆炸的问题。基本思想就是用两个队列一个从起点 B F S BFS BFS一个从终点 B F S BFS BFS,每次扩展一层。哪个队列的元素少就扩展哪一层。
    • A*

      • 基本思想是启发式搜索减少搜索空间,优化 B F S BFS BFS,比如第 k k k短路问题,暴力做法就是 B F S BFS BFS暴力搜索。这样的化状态空间直接爆炸。感觉应该是不会考察这东西。
      • 上面那个问题是用 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra反向计算最短路作为到终点的估计值。然后 A s t a r Astar Astar函数优先队列存放 [ d i s t a n c e + w [ i ] + d i s t [ j ] , [ d i s t a n c e + w [ i ] , j ] [distance+w[i]+dist[j],[distance+w[i],j] [distance+w[i]+dist[j],[distance+w[i],j]其中 d i s t a n c e distance distance存放的是 A s t a r Astar Astar的到当前点的距离, w [ i ] w[i] w[i]是 i i i这条边的长度, d i s t [ j ] dist[j] dist[j]表示结点 j j j的估值函数的值也就是 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra计算的值。一个点出队 k k k次表示当前的 d i s t a n c e distance distance是它的第 k k k短路径。与 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra不同的是当枚举 x x x临界点时,每个点都需要入队,而 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra则是更新了的点才入队。
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