图论方法学习

图论方法

考过的点

2024年省赛考察：最小生成树
2023年国赛考察：分层图 （ 01 B F S 01BFS 01BFS双端队列）
2022年国赛考察：Floyd算法

2024国赛准备

重点掌握 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra、 S P F A SPFA SPFA、 F l o y d Floyd Floyd、 P r i m Prim Prim、 K r u s k a l Kruskal Kruskal基本思路和解题
- D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra算法(n个结点，m条边) 只能用于非负边权图
  - 朴素版： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 用于稠密图
    - 更新 n − 1 n-1 n−1次，每次选取一个非s集合中的距离最小的结点，去更新每一个结点的距离。
  - 堆优化版： O ( m l o g n ) O(mlogn) O(mlogn) 用于稀疏图
    - 基本思路就是用堆去优化选取非s集合中的距离最小的结点。更新的化就是遍历与当前结点所有相邻的结点进行更新，只有当某个结点被更新时才放入堆中。
- S P F A SPFA SPFA算法(n个结点,m条边) 可以用于含有负权边的图
  - 时间复杂度：一般情况 O ( m ) O(m) O(m) 最坏 O ( n m ) O(nm) O(nm)
  - 基本思路：当一个结点的距离变小时，通过这个结点就有可能将到其他结点的距离减小。因此只需要建立一个队列，每次将距离变小的点放入队列即可，用队列中的点更新其他点。
- F l o y d Floyd Floyd(n个结点) 多源最短路
  - 时间复杂度：O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
  - 基本思路：每次利用一个结点( k k k)更新所有结点(遍历( i , j i,j i,j))之间的距离。
  - k , i , j k,i,j k,i,j的方式枚举，转移： d $i$ $j$ = m i n ( d $i$ $j$ , d $i$ $k$ + d $k$ $j$ ) d $i$ $j$ = min(d $i$ $j$ ,d $i$ $k$ +d $k$ $j$ ) d $i$ $j$ =min(d $i$ $j$ ,d $i$ $k$ +d $k$ $j$ )
- P r i m Prim Prim(n个结点，m条边)
  - 朴素版： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 用于稠密图
    - 思路类似 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra
    - 更新n次(选n个点)，每次选取一个非s集合中距离集合最近的点，去更新不在集合s中的点到集合s的距离。
  - 堆优化版： O ( m l o g n ) O(mlog n) O(mlogn) 用于稀疏图
    - 思路也是类似于 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra
    - 注意点就是要用一个 c n t cnt cnt进行计数，判断最后是否能构成最小生成树。如果存在孤立点 c n t cnt cnt肯定小于n
- K r u s k a l Kruskal Kruskal(n个结点，m条边)
  - 时间复杂度： O ( m l o g m ) O(mlogm) O(mlogm) 用于稀疏图
  - 基本思路：先用三元组把边存起来，然后按小到大排序，依次枚举每条边判断是否在一个集合中，不在一个集合中就加上这条边，并放到集合中，用并查集实现。

其他一些搜索算法的作用
- 多源 B F S BFS BFS
  - 基本思想就是把所有的起点都先放进队列，然后再开始 B F S BFS BFS
- 双端队列
  - 主要就是解决权值有0有1的问题，权值为0的放入队列的左边，权值为1的放到队列的右边。与堆优化版 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra一样必须在出对时才知道每个点的最小值，而和一般的 B F S BFS BFS不一样。
- 双向广搜
  - 主要解决的就是搜索空间爆炸的问题。基本思想就是用两个队列一个从起点 B F S BFS BFS一个从终点 B F S BFS BFS，每次扩展一层。哪个队列的元素少就扩展哪一层。
- A*
  - 基本思想是启发式搜索减少搜索空间，优化 B F S BFS BFS，比如第 k k k短路问题，暴力做法就是 B F S BFS BFS暴力搜索。这样的化状态空间直接爆炸。感觉应该是不会考察这东西。
  - 上面那个问题是用 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra反向计算最短路作为到终点的估计值。然后 A s t a r Astar Astar函数优先队列存放 $d i s t a n c e + w \[ i$ + d i s t $j$ , $d i s t a n c e + w \[ i$ , j ] $distance+w\[i$ +dist $j$ , $distance+w\[i$ ,j] $distance+w\[i$ +dist $j$ , $distance+w\[i$ ,j]其中 d i s t a n c e distance distance存放的是 A s t a r Astar Astar的到当前点的距离， w $i$ w $i$ w $i$ 是 i i i这条边的长度， d i s t $j$ dist $j$ dist $j$ 表示结点 j j j的估值函数的值也就是 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra计算的值。一个点出队 k k k次表示当前的 d i s t a n c e distance distance是它的第 k k k短路径。与 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra不同的是当枚举 x x x临界点时，每个点都需要入队，而 D i j k s t r a Dijkstra Dijkstra则是更新了的点才入队。