【力扣】目标和

一、题目描述

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

二、解题思路（动态规划）

算法思路：分析问题，将问题转化为背包类型的问题。

设我们最终选取的结果中，前面要加 + 号的数字之和为 a ，前面要加 - 号的数字之和为 b ，整个数组 的总和为 sum，于是我们有：a + b = sum ，a - b = target .
上面两个式子消去 b 之后，可以得到 a = (sum + target) / 2。
也就是说，我们仅需在 nums 数组中选择一些数，将它们凑成和为 (sum + target) / 2 即可。

1、状态表示

dpij 表示：在前 i 个数中选，总和正好等于 j ，一共有多少种选法。

2、状态转移方程

根据最后一个位置的元素，结合题目的要求， 有选择最后一个元素或者不选择最后一个元素两种策略：
（1）不选 numsi ： 那么凑成总和 j 的总方案，就要看在前 i - 1 个元素中选，凑 成总和为 j 的方案数。根据状态表示，此时 dpij = dpi - 1j ；
（2）选择 numsi ： 这种情况下是 有前提条件的，即 numsi <= j 。
那么我们能够凑成总和为 j 的方案数，就要看在前 i - 1 个元素中选，能否凑成总和为 j - numsi 。 根据状态表示，此时 dpij = dpi - 1j - nums\[i].
综上所述， 两种情况如果存在的话，应该要累加在一起。 因此，状态转移方程为：
dpij = dpi - 1j
if(numsi - 1 <= j) dpij = dpij + dpi - 1j - nums\[i - 1]

3、初始化

由于需要用到上一行的数据，因此我们可以先把第一行初始化。
第一行表示不选择任何元素，要凑成目标和 j 。只有当目标和为 0 的时候才能做到，因此第一行仅需初始化第一个元素 dp00 = 1。

4、填表顺序

从上往下填写每一行，每一行的顺序是无所谓的。

5、返回值

根据状态表示，返回dpnaim 的值。
其中 n 表示数组的大小， aim 表示要凑的目标和。

三、代码

public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for(int x : nums) {
            sum += x;
        }
        int aim = (sum + target) / 2;
        //要找的aim是大于0的，小于0直接返回
        if(aim < 0 || (sum + target) % 2 == 1) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[n+1][aim+1];
        //初始化
        dp[0][0] = 1;
        //填表
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 0; j <= aim; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(j >= nums[i-1]) {
                    dp[i][j] = dp[i][j]+dp[i-1][j-nums[i-1]];
                }
            }
        }
        //返回值
        return dp[n][aim];
    }

四、优化

空间优化：
所有的「背包问题」，都可以进行空间上的优化。
对于 01背包类型的，我们的优化策略是：

• 删掉第一维；
• 修改第二层循环的遍历顺序即可

代码：

public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for(int x : nums) {
            sum += x;
        }
        int aim = (sum + target) / 2;
        if(aim < 0 || (sum + target) % 2 == 1) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[aim+1];
        //初始化
        dp[0] = 1;
        //填表，注意填表顺序
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = aim; j >= nums[i-1]; j--) {
                dp[j] = dp[j]+dp[j-nums[i-1]];
            }
        }
        //返回值
        return dp[aim];
    }