代码随想录算法训练营day59 | 115.不同的子序列、583. 两个字符串的删除操作、72. 编辑距离

115.不同的子序列

1、确定dp数组以及下标的含义

dpij：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dpij

2、确定递推公式

这一类问题，基本是要分析两种情况

• si - 1 与 tj - 1相等
• si - 1 与 tj - 1 不相等

（1）当si - 1 与 tj - 1相等时，dpij可以有两部分组成。

• 一部分是用si - 1来匹配，那么个数为dpi - 1j - 1。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dpi-1j-1。
• 一部分是不用si - 1来匹配，个数为dpi - 1j。

为什么还要考虑不用si - 1来匹配？例如： s：bagg 和 t：bag ，s3 和 t2是相同的，但是字符串s也可以不用s3来匹配，即用s0s1s2组成的bag。

当然也可以用s3来匹配，即：s0s1s3组成的bag。

所以当si - 1 与 tj - 1相等时，dpij = dpi - 1j - 1 + dpi - 1j;

（2）当si - 1 与 tj - 1不相等时，dpij只有一部分组成，

不用si - 1来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dpi - 1j。所以递推公式为：dpij = dpi - 1j;

3、dp数组如何初始化

dpi0 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dpi0一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

再来看dp0j，dp0j：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。那么dp0j一定都是0，s如论如何也变成不了t。

最后就要看一个特殊位置了，即：dp00 应该是多少？dp00应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

4、确定遍历顺序

从上到下，从左到右

5、举例推导dp数组

class Solution:
    def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(t) + 1) for _ in range(len(s) + 1)]
        for i in range(len(s)+1):
            dp[i][0] = 1
        for i in range(1, len(s)+1):
            for j in range(1, len(t)+1):
                if s[i-1] == t[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
        return dp[-1][-1]

583. 两个字符串的删除操作

1、确定dp数组以及下标的含义

dpij：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

2、确定递推公式

（1）当word1i - 1 与 word2j - 1相同的时候，dpij = dpi - 1j - 1;

（2）当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候，有三种情况：

• 情况一：删word1i - 1，最少操作次数为dpi - 1j + 1
• 情况二：删word2j - 1，最少操作次数为dpij - 1 + 1
• 情况三：同时删word1i - 1和word2j - 1，操作的最少次数为dpi - 1j - 1 + 2

所以当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候，递推公式：dpij = min({dpi - 1j - 1 + 2, dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1});

因为 dpij - 1 + 1 = dpi - 1j - 1 + 2，所以递推公式可简化为：dpij = min(dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1);

3、dp数组如何初始化

dpi0：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dpi0 = i。

dp0j的话同理

4、确定遍历顺序

从上到下，从左到右

5、举例推导dp数组

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(word2) + 1) for _ in range(len(word1) + 1)]
        for i in range(len(word1)+1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(len(word2)+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1, len(word1) + 1):
            for j in range(1, len(word2) + 1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1)
        return dp[-1][-1]

72. 编辑距离

1、确定dp数组以及下标的含义

dpij：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

2、确定递推公式

（1）当word1i - 1 与 word2j - 1相同的时候，dpij = dpi - 1j - 1;

（2）当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候，有三种情况：

• 情况一：删word1i - 1，最少操作次数为dpi - 1j + 1
• 情况二：删word2j - 1，最少操作次数为dpij - 1 + 1 (word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素)
• 情况三：将word1i - 1替换为word2j - 1，操作的最少次数为dpi - 1j - 1 + 1

所以当word1i - 1 与 word2j - 1不相同的时候，递推公式：dpij = min({dpi - 1j - 1 + 1, dpi - 1j + 1, dpij - 1 + 1});

3、dp数组如何初始化

dpi0：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要操作多少次，才能和word2相同呢，都删除，很明显dpi0 = i。

dp0j的话同理

4、确定遍历顺序

从上到下，从左到右

5、举例推导dp数组

class Solution:
    def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
        dp = [[0] * (len(word2) + 1) for _ in range(len(word1) + 1)]
        for i in range(1, len(word1)+1):
            dp[i][0] = i
        for j in range(1, len(word2)+1):
            dp[0][j] = j
        for i in range(1, len(word1)+1):
            for j in range(1, len(word2)+1):
                if word1[i-1] == word2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1]+1, dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1)
        return dp[-1][-1]