现代数字信号处理及其应用-常见结论

本文的结论均摘抄自何子述、夏威等编著，《现代数字信号处理及其应用》，清华出版社出版。

解析信号=信号预包络；基带信号=信号复包络。
BT法（自相关谱估计法）：间接法，先求自相关函数（有偏估计和无偏估计）[p-77]，再做fft得到功率谱估计。有偏估计的均值有一个三角窗，但是方差是渐进一致估计。无偏估计的均值为0，但是方差大于有偏估计，当采样点远大于m的时候，是渐进一致估计。
周期图法：直接法，BT法的特例[p-78]，相当于使用了全部的自相关函数的BT法（BT法通常取-M到M的自相关函数，M<<N-1时，相当于对周期图的平滑改进）
BT法相当于自相关函数时域乘矩形窗，频域卷积sinc函数，频域主瓣展宽。分辨率下降，偏差变大（均值趋于0的速度小于周期图法，需要的N更大）。方差变小，功率谱更加平滑。
周期图法的固有矛盾：N增大，功率谱保证渐进无偏性，但是这样会加剧功率谱的起伏[p-81]，且不是渐进一致估计。方差、偏差、频谱分辨率三者存在矛盾。
改进办法：
1. Bartlett法：分L段计算功率谱再平均。方差变小为原来的1/L倍，频谱分辨率下降为原来的1/L。
2. welch法（修正平均周期图法）：重叠50%着进行分段计算功率谱再平均。并且分段之后可加其他类型的窗函数，通常为汉宁窗。减小相邻段的相关性，更好的控制估计的方差特性。
AR模型：
1. AR模型的分辨率好于MV模型[p-98]
2. AR模型的分辨率好于MVDR方法[p-105]
3. 加性白噪声使得功率谱更加平坦，降低分辨率
4. 正弦信号的初始相位会导致谱线分裂，即在谱峰出出现两个很近尖峰。
5. 阶数过高出现假峰，阶数过低功率谱过于平滑，看不出峰。
MVDR：最小方差无失真估计
1. 最小化输出功率
2. 约束条件为： w H a ( w ) = 1 \mathbf{w}^H\mathbf{a}(w)=1 wHa(w)=1
3. P ^ M V D R ( w ) \hat P_{MVDR}(w) P^MVDR(w)不是功率谱，只是描述了信号功率的相对强度。被称为MVSE，最小方差谱估计。
最小二乘方法（LS估计是确定性方法）是维纳滤波（MMSE估计是统计性方法）在有限个观测值时的时间平均。当样本趋近于∞时，LS估计将逼近MMSE估计。
1. 维纳滤波：代价函数， J ( w ) = E { ∣ e ( n ) ∣ 2 } = E { [ d ( n ) − w H u ( n ) ] [ d ( n ) − w H u ( n ) ] ⋆ } J(\mathbf{w})=E\{|e(n)|^2\} = E\{[d(n)-\mathbf{w}^H\mathbf{u}(n)][d(n)-\mathbf{w}^H\mathbf{u}(n)]^\star \} J(w)=E{∣e(n)∣2}=E{[d(n)−wHu(n)][d(n)−wHu(n)]⋆}，e(n)是一个随机过程， J m i n = σ d 2 − w o H E { u ( n ) u H ( n ) } w o = σ d 2 − σ d ^ 2 J_{min} = \sigma_d^2-\mathbf{w_o}^HE\{\mathbf{u}(n)\mathbf{u}^H(n)\}\mathbf{w_o} =\sigma_d^2- \sigma_{\hat d}^2 Jmin=σd2−woHE{u(n)uH(n)}wo=σd2−σd^2【p-139】。最小均方误差就是期望响应的平均功率与最优横向滤波器输出的估计信号的平均功率之差
2. 最小二乘：代价函数， J = ∑ n = M N ∣ e ( n ) ∣ 2 J=\sum_{n=M}^N|e(n)|^2 J=∑n=MN∣e(n)∣2，等价于， J ~ = 1 N − M + 1 ∑ n = M N ∣ e ( n ) ∣ 2 \tilde J=\frac{1}{N-M+1}\sum_{n=M}^N|e(n)|^2 J~=N−M+11∑n=MN∣e(n)∣2，后者是误差信号样本数据的平均功率。
3. 二者建立优化问题的出发点，LMS是最小化均方误差，RLS基于最小二乘准则是最小化误差信号的模平方和（二范数平方）
LMS算法：最小均方误差算法。
1. 输入信号和期望响应为联合各态历经的平稳过程。
2. 𝜇为步长因子。𝜇值越大，算法收敛越快，但稳态误差也越大；𝜇值越小，算法收敛越慢，但稳态误差也越小。
3. 收敛速率较慢(LMS<RLS)，因为LMS滤波器系数更新是逐点的（每来一个新的𝑥(𝑛)和𝑑(𝑛)，滤波器系数就更新一次）
RLS算法：递归最小二乘算法
1. 遗忘因子 λ \lambda λ：尽量接近1，使得离当前时刻近的观测值对相关矩阵 Φ ( n ) \mathbf \Phi(n) Φ(n)和互相关向量 z ( n ) z(n) z(n)影响大，远的影响小。从而能够应用于非平稳过程。
2. 对角加载： Φ ( n ) = ∑ i = 1 n λ n − i u ( i ) u H ( i ) + δ λ n I \mathbf{\Phi}(n) = \sum_{i=1}^n \lambda^{n-i} \mathbf{u}(i)\mathbf{u}^H(i)+\delta\lambda^n\mathbf{I} Φ(n)=∑i=1nλn−iu(i)uH(i)+δλnI 。经过对角加载，可以防止相关矩阵病态，或者说特征值扩展过大。 δ λ n I \delta\lambda^n\mathbf{I} δλnI随着n的增大而趋近于0。 δ \delta δ通常取一个很小的值。
3. ==RLS算法的收敛速度大于LMS算法的收敛速度。==收敛后，二者的性能相当接近（SNR<1dB）
4. 跟踪性能比LMS更好，代价是计算量大，需要矩阵求逆。矩阵奇异会导致致命的问题。
学习曲线：MSE与迭代次数的函数
1. LMS是迭代方法： M S E = ∣ e ( n ) ∣ 2 = ∣ d ( n ) − w H ( n ) u ( n ) ∣ 2 MSE=|e(n)|^2=|d(n)-\mathbf{w}^H(n)\mathbf{u}(n)|^2 MSE=∣e(n)∣2=∣d(n)−wH(n)u(n)∣2 [p-150]
2. RLS是迭代方法： M S E = ∣ ξ ( n ) ∣ 2 = ∣ d ( n ) − w H ( n − 1 ) u ( n ) ∣ 2 MSE=|\xi(n)|^2=|d(n)-\mathbf{w}^H(n-1)\mathbf{u}(n)|^2 MSE=∣ξ(n)∣2=∣d(n)−wH(n−1)u(n)∣2 【习题6.10学习曲线绘制的参考代码】
QR-RLS：递归的QR分解最小二乘法
1. 数值稳定性优于RLS
2. 通过一系列的Givens旋转可以通过Q(n-1)迭代计算出Q(n)，Q是三角分解的酉矩阵
3. ==Givens旋转矩阵：单位矩阵的秩2修正矩阵。==通过旋转T(n)将最后Q(n)B(n)A(n)中的最后一行元素变为0，从而得到上三角矩阵R(n)。
4. Q(n)B(n)b(n)得到互相关向量p(n)，从而根据确定性正则方程得到权向量的最小二乘估计。
卡尔曼滤波：
1. 对于一个时不变的标量，观测受到白噪声影响。白噪声 σ v 2 \sigma_v^2 σv2方差无穷大，则状态估计值保持不变。状态变量的方差 P ( 0 ) = D ( x ( 0 ) ) P(0)=D(x(0)) P(0)=D(x(0))无穷大，则状态估计值等于状态变量的样本均值。【习题7.5】
2. 卡尔曼滤波的目的：用观测向量估计状态向量【p-252】。具体的估计值是对预测值修正的结果，用增益矩阵和新息向量的乘积修正。
3. 卡尔曼滤波满足MMSE准则（最小均方误差）
4. 卡尔曼滤波收敛速度比LMS算法快【p-264】，权值估计结果差不多。
空间DOA：
1. 空间傅立叶变换可以实现波达方向的测量， ϕ = 2 π d sin ⁡ ( θ ) / λ \phi=2\pi d \sin(\theta)/\lambda ϕ=2πdsin(θ)/λ
2. Md称为阵列孔径，孔径越大，空间分辨率越高。【p294】
3. MUSIC算法利用了信号方向向量与空间相关矩阵噪声子空间的正交性实现超分辨。（假设阵元数大于信源数，且接收噪声为白噪声）
4. ESPRIT算法则利用了空间相关矩阵的信号子空间的旋转不变性。
波束形成器：空域滤波器
1. 方向图输出信号与输入信号的幅度之比。改变权向量的相位（前提是权向量幅度相等，相位均匀递增），只能改变方向图的的指向，不能改变方向图的形状。
2. 主瓣：主瓣宽度 0.886 λ / M d cos ⁡ ( θ 0 ) 0.886\lambda/Md\cos(\theta_0) 0.886λ/Mdcos(θ0)
3. 副瓣：副瓣电平与波束指向无关。
4. 栅瓣：要求d<lambda/2
MVDR波束形成器：
1. 采样点越多，相关矩阵估计越准确，否则主瓣会发生畸变。
2. 期望信号信噪比越大，即功率越大，方向图畸变越严重。
3. 使用有限快拍观测数据来估计波达方向，天线方向图会有较高旁瓣。是一个不适定逆估计问题。【习题8-14】
Bussgang自适应盲均衡算法：
1. sato属于Bussgang算法，当使用双边无限长的均衡器时，Sato算法全局收敛。【p-345】
2. Godar算法：基于随机梯度的CMA算法，盲均衡和盲波束形成是恒模算法。p=1是，Godar算法是sato算法的修正。CMA算法比sato等bussgang算法更稳健，稳态条件下均方误差更小。CMA能够均衡色散信道。
3. DD算法：当bussgang算法收敛之后均衡器切换到引导判决模式。用检测器代替非线性估计器。
盲信号处理有两类固有的模糊性：标量模糊性和排序模糊性。