第6章 Γ函数和Ζ函数( TheGamma and ZetaFunctions**)**
毫不夸张地说，Γ函数和Ζ函数是数学中最重要的非初等函数之一。Γ函数在自然界中无处不在。它出现在大量计算中，并以分析中出现的大量恒等式为特征。对此的部分解释可能在于Γ函数的基本结构特性，这些基本结构特性在本质上刻画了它：1/Γ(s )是(最简单)的复可积函数(注：与这个主题的标准记法保持一致，我们用s (而不是z )表示Γ函数和ζ 函数的参数)，其恰好在 s = 0, -1, -2 ，...... 处有零点。
ζ 函数(和Γ函数一样，对其研究是由Euler发起的)在数论分析中起着重要作用。它与素数的密切联系通过ζ(s)的恒等式体现出来：
，
其中，乘积覆盖所有素数。实数 s > 1 且趋近于1 的ζ(s )的行为被 Euler 用于证明 发散，并且，正如我们在第I册书中看到的那样，L 函数的类似推理是算术级数中素数Dirichlet定理证明的起点。
然而，不难看出，当 Re(s ) > 1 时，ζ(s )是定义明确的(且可分析的)，是 Riemann意识到 ，对素数的进一步研究与 ζ 到复平面其余部分的解析(实际上是亚纯)延拓( continuation ) 密切相关 。除此之外，我们还考虑其显著的函数方程，它揭示了关于直线 Re(s ) = 1/2 的对称性，其证明基于ζ函数的相应恒等式。我们还对直线 Re(s ) = 1 附近的 Re(s) 的增长进行了更详细的研究，在下一章将给出的素数定理的证明中便需要它。
1. Γ 函数(The gamma function)
对于 s > 0 ，定义 Γ 函数为
(1) 。
这个积分对于每一个正数 s 收敛，因为在 t = 0 附近函数 是可积的，t足够大时的收敛由被积函数中的指数递降特性保证。这些观察结果允许我们按下面的方式扩充Γ函数的定义域。
命题1.1 将 Γ函数扩充为半平面 R (s ) > 0 上的解析函数 ，其公式仍可由积分公式(1)给出。
证明：
只需证明这个积分定了一个带域(strip)
中的全纯函数即可。注意到，若用 σ 表示 s 的实部，则 ，因此，积分
，
其由极限 所定义，且对于每一个
收敛。对于ε > 0 ,令
。
根据第2章定理5.4 ,函数 在带域
中是全纯的。根据定理第2章定理5.2 , 只需证明在带域
上
一致收敛于Γ 即可。为了理解这一点，我们首先观察到
。
上面第一个积分随着 ε 趋近于 0 而一致地趋近于 0 ，因为，只要 0 < ε < 1 ,很容易通过 进行估算。同样，第二个积分也一致地收敛于0，因为
。
因此，证明完结。
1.1 解析延拓(Analytic continuation)
尽管定义 Γ 的积分对于 s 的其它值事实上并非绝对收敛，但我们可以进一步证明，存在一个定义于整个ℂ上的全纯函数，其在 Re(s )> 0 的半平面上等于Γ。按照在和第2章中相同的意义上，我们称这个函数为Γ函数的解析延拓(analytic continuation)(注：解析延拓的唯一性是能确保的，因为一个亚纯函数极点的补集构成一个连通集),因此，我们仍然用符号 Γ 表示。
为了证明所宣称的到亚纯函数的解析延拓，我们需要一个引理，便带展示了Γ函数的一个重要属性。
引理 1.2 若 Re(s ) > 0 ,则
(2) 。
其结果是 ，对于 n = 0, 1 , 2 , ... , 有 Γ(n + 1) = n!
证明：
在有限积分式中按分部积分方法进行积分给到
，
进而，通过令 ε 趋近于 0 ,并注意到，积分式的左边消没(因为 t 趋近于 0 或无穷大时， , 从而推导同骤然的公式(2) 。现在，只需验证
,
接着应用(2)求得Γ(n + 1) = n! 即可。
引理中的公式(2)即是我们所需的给出下列定理证明的全部。
定理 1.3 本节开头针对 Re(s )> 0 所定义的函数 Γ(s ) 有一个到 ℂ 上的亚纯函数的解析延拓，其仅有的奇点是位于负整数 s = 0 , -1 ,... 处的极点 ，则 Γ在 s = -n 处的留数 (residue)是 。
证明：
只需将 Γ 延拓到每一个半平面 Re(s )> -m (其中，m ≥ 1 是一个整数)即可。对于 Re(s)> -1 ，我们定义
。
因为 Γ(s + 1) 按 Re(s )> -1 是全纯的，我们看到， 在那个半平面上是亚纯的，且唯一可能的奇点是位于 s = 0 处的简单极点。此外，若 Re(s)> 0 ，则根据前面的引理，有
。
因此， 将Γ 延拓到半平面 Re(s )> -1 上的一个亚纯函数。我们可以继续按照这种方式，定义与Re(s )> 0 上Γ函数一致的 Re(s )> -m 的亚纯函数
。对于 Re(s )> -m (其中，m≥ 1 是一个整数)，定义
。
则函数按 Re(s )> -m 是全纯的，并且在 s = 0 ，-1 ，-2 ，..., -m+ 1 处有简单极点，且具有留数
。
连续应用引理证明，对于 Re(s )> 0 有 根据唯一性特性，这也意味着在 Fk
的定义域上，对于 1 ≤ k ≤ m ,有 。因此，我们获得了预期的Γ 的延拓性。
评注：
我们已经证明，只要 Re(s )> 0 就有 Γ(s + 1) = s Γ(s ) 。事实上，根据解析延拓，只要 s ≠ 0，-1 ，-2 ，... ，即，只要 s 不是Γ的极点，这个公式仍然成立。这是因为，引理的两侧在Γ的极点的补集中都是全纯的，并且当 Re(s )> 0 时是相等的。事实上，我们可以进一步，并注意到，若 s 是负整数 s = -n (n≥ 1) ，则引理的两侧都是无限的，此外，
。
最后，注意到，当 s = 0 时，我们有 。
定理1.3 的另一个等价证明(其本身就很有趣且其思想在后面反复出现)可通过拆分定义于Re(s )> 0 上的 Γ(s)的积分为如下形式而获得：
。
最右边的积分定义了一个复可积函数；此外，按幂级数延拓 并对其逐项积分给到
。
因此，
(3) ( 对于 Re(s) > 0 )。
最后，这个级数在 ℂ 上定义了一个亚纯函数，其在负整数点具有极点且在 s = -n 处具有留数 。为了证明这一点，我们按如下的方式论证。对于某个具体的 R > 0 ，我们可以将和拆分成两个部分
，
其中，N 是所选择的满足 N > 2R 的整数。第一项有限和定义了一个圆盘 |s | < R 中的亚纯函数，其在预期的点处具有极点且具有正确的留数。第二项和在那个圆盘中一致收敛，因此在那个圆盘上定义了一个全纯函数，因为 n >N > 2R 和 |n + s | ≥ R意味着
。
因为 R 是任意的，我们推断出 **(3)**中的属性具有预期的属性。
现在，特别是，关系 **(3)**在整个 ℂ上成立。
1.2 Γ函数的更多属性(Further properties of Γ)
下面的恒等式揭示了Γ关于直线 Re(s) = 1/2 的对称性。
定理 1.4 对于所有 s ∈ℂ ，有
(4) 。
可观察到，函数 Γ(1 - s ) 在正整数 s = 1 ，2 ，3 ，... 处具有简单极点，因此Γ(s ) Γ(1 - s )是一个在 ℂ上在所有整数处具有简单极点的亚纯函数，函数 也具有这一特点。
为了证明这个恒等式，只需证明对于 0 < s < 1 也存在这样的恒等式，因为按照解析延拓，上式在整个 ℂ上也成立。
引理 1.5 对于 0 < a < 1 ，有 。
证明：
我们首先观察到
，
通过执行变量替换 可推导出以上等式。然而，使用周线积分(我们在第3章第2.1节例2中见过)，可求得第二项积分等于
, 正如预期。
为了证明这个定理，我们首先注意到，对于0 < s < 1 ,我们可以写成
。
其中，对于 t > 0 ,我们执行变量替换 vt = u 。则这个技巧给出
，
因此，定理得证。
特别是，通过代入 s = 1/2 并注意到，只要 s > 0 就有 Γ(s) > 0 ，我们求得
。
我们通过考虑Γ函数的倒数来继续研究Γ函数，结果证明它是一个具有极简属性的复可积函数。
定理 1.6 Γ函数具有下列属性：
(i) 1/Γ(s )是 s 的一个复可积函数，其在 s= 0，-1 ，-2 ，... 处具有简单零点且在其它点处无处消没。
(ii) 1/Γ(s)具递增性
。
因此，对于每一个 ε > 0 ，存在一个边界 c (ε) 使得
，
在这个意义上， 1/Γ(s)是1阶的。
证明：
根据定理，我们可以写成
(5) ，
因此，Γ(1 - s )的简单极点(位于 s = 0，1 ，2 ，...这些点处)被 的简单零点所抵消，因此，因此，1/Γ(s )是在 s= 0，-1 ，-2 ，... 处具有简单零点的复可积函数。
为了证明这个估算结果，我们首先证明,只要 σ = Re(s) 是正数，就有
。
选择 n 使其满足 σ ≤n ≤ σ + 1 。则
。
因为关系式(3)在整个ℂ上成立，根据(5)我们看到
。
然而，根据我们前面的观察，
，
并且，因为 (根据sine 函数的Euler 公式) ，我们求得 1/Γ(s )的公式中的第二项受控于
，而这一项本身又受控于
。接下来，我们考察这一项
。
存在两种情况：Im(s ) > 1 和 Im(s ) ≤ 1 。在第一种情况下，这个表达式以绝对值形式受控于 。若 Im(s ) ≤ 1 ,我们选择k 作为使得 k -- 1/2 ≤ Re(s ) < k + 1/2 的整数。则若 k≥ 1 ,
。
等式右边的两项均有界；因为第一项 在 s = k 处消没，而第二项的和受控于
。
当 k ≤ 0 时，根据我们的假设， , 且
根据
有界而有界，这就推导出了定理的证明。
事实上，1/Γ(s )满足了第5章所讨论的那种增长条件，这种增长条件很自然地导向了函数 1/Γ(s) 的乘积公式，我们接下来探讨这个条件。
定理 1.7 对于所有 ，
。
这个实数 γ被称为 Euler常数，定义为
。
这个极限的存在性已经在第I册第8章中的命题3.1中得到证明。但是，在此为了使得证明完整，我们将再次加以论证。观察到
，
应用中值定理到 f (x ) = 1/x ,我们得到
(对于 n ≤ x ≤ n + 1) 。
因此，
，
其中， 。因此，
收敛，这就证明了定义γ的极限存在。现在，我们可以继续进行 1/Γ 的因式分解的证明。
证明：
根据 Hadamard 因式分解定理，以及 1/Γ 是具有增阶1且在s= 0，-1 ，-2 ，... 处具有简单零点的复可积函数的事实，我们可以将 1/Γ 展开为一个 Weierstrass 积的形式，其形式为
。
此处的A 和B 是待确定的两个常量。想到，当 s ⟶ 0 时，s Γ(s ) ⟶ 1 ，我们求得 B = 0 (或者2πi 的某个整数倍,这样也会得出同样的结果)。置 s = 1 ，根据Γ(1) = 1 这个事实，便产生了
。
因此，对于某个 k ，A = γ + 2πik 。因为，只要 s 是实数则Γ(s )是实数，则我们一定有 k= 0，论证完成。
注意，这个证明表明，函数1/Γ(s)在本质上被刻画为具有下列特性的复可积函数：
(i) 在 s = 0，-1，-2 ，... 具有简单零点且在其它点处无处消没，和
(ii) 增阶 ≤ 1 。
注意到， 具有一个类似的特征(现在，除去在所有整数点的零点)。然而，当
具有一个更严格的形如
的增长估算时，这个估算值(没有指数中的对数)对于 1/Γ(s)不再成立(如练习12所示)。
2. Ζ 函数(The zeta function)
实数 s > 1 的Riemann ζ 函数起初用收敛级数定义为
。
与Γ函数的情况一样，ζ 函数可被延拓到复平面上。存在这个事实的几个证据，我们将在下一节中介绍依赖于ζ 函数方程的方程。
2.1 函数方程和解析延拓(Function equation and analytic continuation)
与处理Γ函数的情况一样，我们首先提供 ζ 函数到 ℂ 中半平面的简单扩展。
命题 2.1 定义 ζ (s )的级数对于 Re(s ) > 1 收敛，且函数 ζ 在这个半平面上是全纯的。
证明：
若 s = σ + it (其中，σ 和 t是实数)，则
。
因此，若 σ > 1 + δ > 1 ，定义 ζ 的级数按 (其收敛)一致有界。因此，级数
在每一个半平面 Re(s ) > 1 + δ > 1 上一致收敛，故而，级数在 Re(s) > 1 中定义了一个全纯函数。
ζ 到ℂ 中亚纯函数的解析延拓比Γ 函数的情况更为微秒。我们在这里提出的证明将 ζ 与Γ以及另一个重要函数联系了起来。
考虑针对实数 t > 0 所定义的 ζ函数(已经在第4章中引入)
。 (译注：𝜗 的LaTex语法：\vartheta；Unicode: 1D717 。)
应用Poisson求和公式(第4章定理2.4)给出 𝜗 所满足的函数方程，即
。
我们将需要的 𝜗 的递增和递降是
(当 t ⟶ 0 时)
和
(对于某个 C > 0 和所有 t ≥ 1) 。
t 趋近于 0 时的不等式可从函数方程推导出，而t趋近于无穷大时的行为可从以下事实推导出
(对于 t ≥ 1 ) 。
现在，我们到了证明 ζ，Γ 和 𝜗 三者之间的一种重要关系的时候了。
定理 2.2 若 Re(s )> 1 ，则
。
证明：
此证明及更进一步的论证基于观察
(6) (若 n ≥ 1) 。
事实上，如果我们在积分中做变量替换 ，则左边成了
,
这恰好就是 。接下来，注意到
。
在定理陈述之前给出的 𝜗 估计值证明了无限和与积分的互换是合理的，因此，
，
正如所证。
鉴于这一点，我们考虑修改过的 ζ 函数，称其为 𝜉 函数 (译注：读作ksee)，这使得ζ 函数表现得更加对称(译注：因此，另命名以示区别)。 Re(s )> 1的 𝜉 函数定义为
( 7 ) 。
定理 2.3 𝜉 函数对于 Re(s )> 1 是全纯的，且可以解析延拓至整个 ℂ上具有在 s = 0 点 和 s = 1 点处 具有简单极点的亚纯函数。此外，对于所有 s ∈ ℂ ，有
𝜉**(** s ) = 𝜉**(1 -** s ) 。
证明：
证明的思想就是使用 𝜗 函数方程，即
。
则我们可以用 乘以等式的两侧，并尝试对等式按 u 进行积分。不考虑对应 n = 0 的项(其在两个和式中产生无限项)，则一旦我们调用公式(6)，我们会获得预期的等式，并使用变量替换 u ⟼ 1/u获得类似的公式。实际证明还需要做一些工作，并按如下进行。
令 。𝜗 函数的函数方程(
)意味着
。
现在，对于 Re(s) > 1 ，根据定理2.2 ，我们有
(只要 Re(s) > 1) 。
因此，
。
由于函数 𝜓 在无穷远处逞指数递降，因此以上的积分定义了一个复可积函数，从而我们推断出 𝜉 有一个到整个 ℂ上具有在 s = 0点和s = 1点处具有简单极点的解析延拓。此外，立即可推断出，若我们用 1 --s 替换 s ，这个积分保持不变，并且 1/(1 - s ) -- 1/s 这两项的和也保持不变。我们推断出 𝜉**(** s ) = 𝜉**(1 -** s )，正如所证。
根据这个恒等式，我们已经证明，对于 𝜉 ，我们获得了对 ζ函数的预期结果：其解析延拓性和函数方程。
定理 2.4 ζ 函数有一个到整个复平面的亚纯延拓，其唯一奇点是位于 s = 1 处的简单极点。
证明：
观察到，(7)提供了ζ的亚纯延拓，即
。
回顾到，1/Γ(s /2)是在0，-2，-4，...处具有简单零点的复可积函数，因此，𝜉**(** s ) 在原点处的简单极点被1/Γ(s /2)的相应的零点所抵消。其结果，ζ 的唯一奇点是位于 s = 1 处的简单极点。
现在，我们将介绍一种 ζ 函数的解析延拓的更基础的方法，这种方法很容易导出其在半平面Re(s ) > 0 中的扩展。这种方法在研究ζ 在直线 Re(s ) = 1 附近增长属性非常有用(在下一章会需要)。其背后的思想在于比较和式 和积分
。
命题 2.5 存在一个满足估算 的复可积函数序列
(其中 s = σ + it )，并使得
(8) (只要N 是一个大于1的整数)。
这个命题具有下列的结果。
推论 2.6 对于 Re(s ) > 0 , 我们有
，
其中 ， 在半平面 Re(s ) > 0 中是全纯的。
为了证明这个命题，我们对比 与
，并设
(9) 。
将均值定理应用到 便产生
( 只要n ≤ x ≤ n + 1**)** 。
因此， ，并且由于
，
因此，命题得证。
转向推论，我们首先假设 Re(s ) > 1 。在命题的公式(8)中，我们令N 趋近于无穷大，并观察到，根据估算 ，我们有级数
的一致收敛(当 δ > 0时，在任意 Re(s ) ≥ δ 的任意半平面中)。由于Re(s ) > 1 ，级数
收敛于ζ (s ) ，这就证明了当 Re(s ) > 1 时的论断。这个一致收敛也表明了，当 Re(s ) > 0 时，
是全纯的，并因此表明，ζ (s)是可以扩展到那个半平面上的，并且这个恒等式在那个半平面上仍然成立。
评注：
以上所描述的思想可逐步发展从而产生ζ 到整个复平面上的延拓，如问题2和3所示。给出ζ的完整的解析延拓的另一个论证在问题15和问题16中概述。
作为对命题的应用，我们可以证明，ζ (s )在直线 Re(s ) = 1 附近的增长是"平缓的(mild)。" 回顾到，当 Re(s ) > 1 时，我们有 ，因此，ζ (s )在任意半平面 Re(s ) ≥ 1 + δ ( δ > 0 ) 中是有界的。我们将看到，在直线 Re(s ) = 1 上，|ζ (s )|受控于
(对于任意ε > 0),且在直线附近的增长差不了多少。下面的估算不是最优的。事实上，它们非常粗糙，但足以满足以后的需要。
命题 2.7 假设 s = σ + it 且 σ ，t ∈ℝ 。则对于每一个 以及对于每一个 ε > 0 , 都存在一个常量
使得
( i ) ( 若
且 |t| ≥ 1)。
( ii ) (若 1≤ σ 且 |t| ≥ 1)。
特别是，命题意味着 (当 |t | 趋近于无穷大时)(注：O 记法表示左侧以右侧为界)，同样的估算对于
也成立。对于证明，我们使用推论 2.6 。回顾估算
。我们也有估算
，基于由(9)给出的
表达式和
和
(若 x ≥ n )这个事实可推导出上式。然后我们将这两个
的估算式通过观察
结果将其组合在一起，从而获得边界值表达式
(只要δ ≥ 0) 。
现在，选择 并应用推论 2.6 中的恒等式，则用
，我们求得
，
从而结论(i)得证。第二个结论实际上是第一个结论的结果，是对第 2 章练习 8 稍作修改后得出的结果。为了完整起见，我们概述这个论证。根据Cauchy积分公式，
，
其中积分是在以点 s 为中心、半径为 r 的圆上进行的。现在选择 r = ε并观察到该圆位于半平面 Re(s) ≥ 1 - ε中，因此 (ii) 是 (i) 将 2ε 替换为 ε 的结果。
内容来源：
<< Complex Analysis >> ，作者：E.M. Stein & R. Shakarchi
术语参考资料：
<<英汉数学词汇>>，张鸿林，葛显良 编订，清华大学比版社，2018年
<<新英汉数学词汇>> ，科学出版社名词室，科学出版社， 2002年
<<物理学名词>>，第三版，科学出版社会，2019年
<<英汉综合物理学词汇>> 科学出版社，1999年