文章目录
- [1. 概述](#1. 概述)
- [2. 样本均值与方差计算](#2. 样本均值与方差计算)
- [3. 随机抽样AB](#3. 随机抽样AB)
- [4. 拉格朗日乘子法](#4. 拉格朗日乘子法)
1. 概述
- 单个样本均值和方差
- 重复n次同一实验的总样本和总方差
- 拉格朗日乘子法求最大概率
- AB矩阵通过概率采样得到CR矩阵 A S S T B = C R , A B ≈ C R ASS^TB=CR,AB\approx CR ASSTB=CR,AB≈CR
2. 样本均值与方差计算
- 假设我们有一个实验盒，里面放着a,b两个球，我们一次只能取一个球，取完后放回原地后重复取第二次，单次中只有50%概率取到 [ a , 0 ] [a,0] [a,0],另外50%概率取到 [ 0 , b ] [0,b] [0,b]，计算单次实验期望，方差 E 1 ( x ) , D 1 ( x ) E_1(x),D_1(x) E1(x),D1(x)
E 1 ( x ) = 1 2 [ a , 0 ] + 1 2 [ 0 , b ] = [ 1 2 a , 1 2 b ] \begin{equation} E_1(x)=\frac{1}{2}[a,0]+\frac{1}{2}[0,b]=[\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b] \end{equation} E1(x)=21[a,0]+21[0,b]=[21a,21b]
D 1 ( x ) = 1 2 [ [ a , 0 ] − [ 1 2 a , 1 2 b ] ] 2 + 1 2 [ [ 0 , b ] − [ 1 2 a , 1 2 b ] ] 2 = [ a 2 4 , b 2 4 ] \begin{equation} D_1(x)=\frac{1}{2}[[a,0]-[\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b]]^2+\frac{1}{2}[[0,b]-[\frac{1}{2}a,\frac{1}{2}b]]^2=[\frac{a^2}{4},\frac{b^2}{4}] \end{equation} D1(x)=21[[a,0]−[21a,21b]]2+21[[0,b]−[21a,21b]]2=[4a2,4b2] - 那么重复上面两次的实验的期望，方差 E 2 ( x ) , D 2 ( x ) E_2(x),D_2(x) E2(x),D2(x)
E 2 ( x ) = 2 E 1 ( x ) = [ a , b ] ; D 2 ( x ) = 2 D 1 ( x ) = [ a 2 2 , b 2 2 ] \begin{equation} E_2(x)=2E_1(x)=[a,b];D_2(x)=2D_1(x)=[\frac{a^2}{2},\frac{b^2}{2}] \end{equation} E2(x)=2E1(x)=[a,b];D2(x)=2D1(x)=[2a2,2b2] - 期望与方差的公式，需要记住，后面会用,后面公式前提是单独重复实验
D ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) , D n ( x ) = n D ( x ) , E n ( x ) = n E ( x ) \begin{equation} D(x)=E(x^2)-E^2(x),D_n(x)=nD(x),E_n(x)=nE(x) \end{equation} D(x)=E(x2)−E2(x),Dn(x)=nD(x),En(x)=nE(x)
3. 随机抽样AB
假设我们有一个1000000长度的矩阵AB，这样我们对AB单独进行计算是不显示的，我们希望通过概率的方式对矩阵AB进行采样形成新的矩阵CR，具体如下：
A S = [ a 1 a 2 a 3 ] [ s 11 0 0 0 0 s 32 ] = [ s 11 a 1 s 32 a 3 ] \begin{equation} AS=\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}s_{11}&0\\\\0&0\\\\0&s_{32}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_{11}a_1&s_{32}a_3\end{bmatrix} \end{equation} AS=[a1a2a3] s110000s32 =[s11a1s32a3]
S T B = [ s 11 0 0 0 0 s 32 ] [ b 1 T b 2 T b 3 T ] = [ s 11 b 1 T s 32 b 3 T ] \begin{equation} S^TB=\begin{bmatrix}s_{11}&0&0\\\\0&0&s_{32}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1^T\\\\b_2^T\\\\b_3^T\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}s_{11}b_1^T\\\\s_{32}b_3^T\end{bmatrix} \end{equation} STB= s110000s32 b1Tb2Tb3T = s11b1Ts32b3T
A S S T B = [ a 1 a 2 a 3 ] [ s 11 0 0 0 0 s 32 ] [ s 11 0 0 0 0 s 32 ] [ b 1 T b 2 T b 3 T ] = s 11 2 a 1 b 1 T + s 32 2 a 3 b 3 T \begin{equation} ASS^TB=\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}s_{11}&0\\\\0&0\\\\0&s_{32}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}s_{11}&0&0\\\\0&0&s_{32}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1^T\\\\b_2^T\\\\b_3^T\end{bmatrix}=s_{11}^2a_1b_1^T+s_{32}^2a_3b_3^T \end{equation} ASSTB=[a1a2a3] s110000s32 s110000s32 b1Tb2Tb3T =s112a1b1T+s322a3b3T
- 我们定义从矩阵A的列向量中随机抽取到第 j 列的概率为 q j q_j qj,那么重复进行s次单个实验的概率为 p = 1 s q j p=\frac{1}{\sqrt{sq_j}} p=sqj 1,这样做的好处是为了使得最后求单次实验的期望值为AB/s
- 单次实验的期望值 E 1 ( x ) E_1(x) E1(x)
E 1 ( x ) = ∑ j = 1 n q j 1 s q j a j ⋅ 1 s q j b j T = ∑ j = 1 n 1 s a j b j T = ∑ j = 1 n a j b j T s = A B s \begin{equation} E_1(x)=\sum_{j=1}^nq_j\frac{1}{\sqrt{sq_j}}a_j \cdot\frac{1}{\sqrt{sq_j}}b^T_j=\sum_{j=1}^n\frac{1}{s}a_jb_j^T=\frac{\sum_{j=1}^n a_jb_j^T}{s}=\frac{AB}{s} \end{equation} E1(x)=j=1∑nqjsqj 1aj⋅sqj 1bjT=j=1∑ns1ajbjT=s∑j=1najbjT=sAB - s 次重复实验后的期望 E s ( x ) E_s(x) Es(x)
E s ( x ) = s E 1 ( x ) = s ⋅ A B s = A B \begin{equation} E_s(x)=sE_1(x)=s\cdot \frac{AB}{s}=AB \end{equation} Es(x)=sE1(x)=s⋅sAB=AB
是不是很完美，这样的话，我们就能够在随机采样中，虽然得到的每个矩阵都不是对的，但是组合起来的矩阵CR的期望值居然是AB - 单次实验的方差 D 1 ( x ) D_1(x) D1(x),现在我们已经知道了 E ( x ) E(x) E(x),现在只要知道 E ( x 2 ) E(x^2) E(x2)就好了
D 1 ( x ) = E ( x 2 ) − E ( x ) 2 \begin{equation} D_1(x)=E(x^2)-E(x)^2 \end{equation} D1(x)=E(x2)−E(x)2 - 我们知道单个列采样表示的秩为1的矩阵如下
X j = [ a j s q j , b j T s q j ] → X j 2 = [ a j 2 s q j , ( b j T ) 2 s q j ] \begin{equation} X_j=[\frac{a_j}{\sqrt{sq_j}},\frac{b_j^T}{\sqrt{sq_j}}]\rightarrow X_j^2=[\frac{a_j^2}{sq_j},\frac{{(b_j^T)}^2}{sq_j}] \end{equation} Xj=[sqj aj,sqj bjT]→Xj2=[sqjaj2,sqj(bjT)2] - 那么可得 E ( x 2 ) E(x^2) E(x2)
E ( x 2 ) = ∑ j = 1 n q j a j 2 s q j ⋅ ( b j T ) 2 s q j \begin{equation} E(x^2)=\sum_{j=1}^nq_j\frac{a_j^2}{sq_j}\cdot\frac{{(b_j^T)}^2}{sq_j} \end{equation} E(x2)=j=1∑nqjsqjaj2⋅sqj(bjT)2 - 根据 D ( x ) = E ( x 2 ) − E 2 ( x ) D(x)=E(x^2)-E^2(x) D(x)=E(x2)−E2(x)
D ( x ) = ∑ j = 1 n q j a j 2 ( b j T ) 2 s 2 q j 2 − ∣ ∣ A B ∣ ∣ F 2 s 2 \begin{equation} D(x)=\sum_{j=1}^nq_j\frac{a_j^2{(b_j^T)}^2}{s^2q_j^2}-\frac{||AB||_F^2}{s^2} \end{equation} D(x)=j=1∑nqjs2qj2aj2(bjT)2−s2∣∣AB∣∣F2 - 那么
s次重复实验的 D s ( x ) D_s(x) Ds(x)方差如下：
D s ( x ) = s D ( x ) = s ∑ j = 1 n q j a j 2 ( b j T ) 2 s 2 q j 2 − s ∣ ∣ A B ∣ ∣ F 2 s 2 \begin{equation} D_s(x)=sD(x)=s\sum_{j=1}^nq_j\frac{a_j^2{(b_j^T)}^2}{s^2q_j^2}-s\frac{||AB||F^2}{s^2} \end{equation} Ds(x)=sD(x)=sj=1∑nqjs2qj2aj2(bjT)2−ss2∣∣AB∣∣F2
D s ( x ) = ∑ j = 1 n a j 2 ( b j T ) 2 s q j − ∣ ∣ A B ∣ ∣ F 2 s \begin{equation} D_s(x)=\sum{j=1}^n\frac{a_j^2{(b_j^T)}^2}{sq_j}-\frac{||AB||_F^2}{s} \end{equation} Ds(x)=j=1∑nsqjaj2(bjT)2−s∣∣AB∣∣F2 - 那当 q j q_j qj 在 ∑ j = 1 n q j = 1 \sum_{j=1}^nq_j=1 ∑j=1nqj=1的情况下，满足什么条件的时候使得 D s ( x ) D_s(x) Ds(x)最小？
对于约束条件下求最小值，我们一般会用到拉格朗日乘子法！！！
4. 拉格朗日乘子法
根据条件 ∑ j = 1 n q j = 1 \sum_{j=1}^nq_j=1 ∑j=1nqj=1,求 arg m i n D s ( x ) \arg\limits_{min}D_s(x) minargDs(x),构建拉格朗日乘子方程如下
F ( x , q j , λ ) = ∑ j = 1 n a j 2 ( b j T ) 2 s q j − ∣ ∣ A B ∣ ∣ F 2 s + λ ( ∑ j = 1 n q j − 1 ) \begin{equation} F(x,q_j,\lambda)=\sum_{j=1}^n\frac{a_j^2{(b_j^T)}^2}{sq_j}-\frac{||AB||F^2}{s}+\lambda(\sum{j=1}^nq_j-1) \end{equation} F(x,qj,λ)=j=1∑nsqjaj2(bjT)2−s∣∣AB∣∣F2+λ(j=1∑nqj−1)
- 求偏导可得
∂ F ( x , q j , λ ) ∂ q j = − a j 2 ( b j T ) 2 s q j 2 + λ = 0 \begin{equation} \frac{\partial F(x,q_j,\lambda)}{\partial q_j}=-\frac{a_j^2{(b_j^T)}^2}{sq_j^2}+\lambda=0 \end{equation} ∂qj∂F(x,qj,λ)=−sqj2aj2(bjT)2+λ=0 - 整理可得：
a j 2 ( b j T ) 2 s q j 2 = λ → q j = a j b j T s λ , ∑ j = 1 n q j = 1 \begin{equation} \frac{a_j^2{(b_j^T)}^2}{sq_j^2}=\lambda\rightarrow q_j=\frac{a_jb_j^T}{\sqrt{s\lambda}},\sum_{j=1}^nq_j=1 \end{equation} sqj2aj2(bjT)2=λ→qj=sλ ajbjT,j=1∑nqj=1 - 代入可得：
∑ j = 1 n q j = ∑ j = 1 n a j b j T s λ = 1 \begin{equation} \sum_{j=1}^nq_j=\frac{\sum_{j=1}^na_jb_j^T}{\sqrt{s\lambda}}=1 \end{equation} j=1∑nqj=sλ ∑j=1najbjT=1 - 整理可得：
s λ = ∑ j = 1 n a j b j T = A B \begin{equation} \sqrt{s\lambda}=\sum_{j=1}^na_jb_j^T=AB \end{equation} sλ =j=1∑najbjT=AB - 代入公式18，可得：
q j = a j b j T s λ = a j b j T ∑ j = 1 n a j b j T \begin{equation} q_j=\frac{a_jb_j^T}{\sqrt{s\lambda}}=\frac{a_jb_j^T}{\sum_{j=1}^na_jb_j^T} \end{equation} qj=sλ ajbjT=∑j=1najbjTajbjT - 小结：
当我们的概率按照 q j = a j b j T ∑ j = 1 n a j b j T q_j=\frac{a_jb_j^T}{\sum_{j=1}^na_jb_j^T} qj=∑j=1najbjTajbjT，来进行采样，那么我们得到的矩阵CR的期望值为AB,并且方差最小。完结撒花！！！