Matlab数学建模实战应用：案例2 - 传染病传播

前言

一、问题分析

二、模型建立

三、Matlab代码实现

前言

传染病传播模型是公共卫生和流行病学的重要研究内容，通过数学建模可以帮助我们理解传染病的传播规律和趋势，以便制定有效的防控策略。本文将详细介绍一个传染病传播案例，包括问题分析、模型建立、Matlab代码实现、模型验证和模型应用。

一、问题分析

传染病传播途径：
- 传染病通过直接接触、空气传播、飞沫传播等途径在人群中传播。
影响因素：
- 传染率（β）：指每个传染者在单位时间内使易感者受感染的平均次数。
- 治愈率（γ）：指每个感染者在单位时间内恢复或死亡的概率。
- 人口结构、社会活动、卫生条件等也对传播过程有影响。
预测目标：
- 建立数学模型，模拟传染病在特定人群中的传播过程，预测未来感染者和恢复者人数。

二、模型建立

以下表格总结了SIR和SEIR模型的基本特点：

模型类型	组分	主要参数	微分方程
SIR模型	易感者 (S)	传染率 (β), 治愈率 (γ)
SEIR模型	易感者 (S), 潜伏期 (E)	传染率 (β), 治愈率 (γ),潜伏期转化率 (σ)

三、Matlab代码实现

以下是使用Matlab模拟SIR和SEIR模型的完整代码示例。

SIR模型

1.1 定义和初始化参数：

Matlab 复制代码

% SIR模型参数
beta = 0.3;   % 传染率
gamma = 0.1;  % 治愈率
N = 1000;     % 总人口
I0 = 1;       % 初始感染者
R0 = 0;       % 初始恢复者
S0 = N - I0 - R0; % 初始易感者

% 定义微分方程
sir_model = @(t, y) [
    -beta * y(1) * y(2) / N; 
    beta * y(1) * y(2) / N - gamma * y(2); 
    gamma * y(2)
];

% 初始条件
y0 = [S0, I0, R0];

% 求解微分方程
[t, y] = ode45(sir_model, [0, 160], y0);

% 绘制结果
figure;
plot(t, y(:,1), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(t, y(:,2), 'r', 'LineWidth', 2);
plot(t, y(:,3), 'g', 'LineWidth', 2);
legend('Susceptible', 'Infected', 'Recovered');
xlabel('Time (days)');
ylabel('Number of People');
title('SIR Model');
grid on;

SEIR模型

2.1 定义和初始化参数：

Matlab 复制代码

% SEIR模型参数
beta = 0.3;   % 传染率
gamma = 0.1;  % 治愈率
sigma = 0.2;  % 潜伏期转化率
N = 1000;     % 总人口
E0 = 0;       % 初始潜伏者
I0 = 1;       % 初始感染者
R0 = 0;       % 初始恢复者
S0 = N - E0 - I0 - R0; % 初始易感者

% 定义微分方程
seir_model = @(t, y) [
    -beta * y(1) * y(3) / N;
    beta * y(1) * y(3) / N - sigma * y(2);
    sigma * y(2) - gamma * y(3);
    gamma * y(3)
];

% 初始条件
y0 = [S0, E0, I0, R0];

% 求解微分方程
[t, y] = ode45(seir_model, [0, 160], y0);

% 绘制结果
figure;
plot(t, y(:,1), 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(t, y(:,2), 'm', 'LineWidth', 2);
plot(t, y(:,3), 'r', 'LineWidth', 2);
plot(t, y(:,4), 'g', 'LineWidth', 2);
legend('Susceptible', 'Exposed', 'Infected', 'Recovered');
xlabel('Time (days)');
ylabel('Number of People');
title('SEIR Model');
grid on;

四、模型验证

我们可以通过以下几方面验证模型的合理性：

使用实际数据验证模型 ：
- 收集实际疾病传播数据，将其与模型预测结果进行比较，计算均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）等指标。

Matlab 复制代码

    % 假设有一个实际数据集 actual_data
    [actual_time, actual_infected] = load('actual_data.mat');

    % 插值实际数据，使其与模型时间点对齐
    actual_infected_interp = interp1(actual_time, actual_infected, t);

    % 计算误差
    MAE = mean(abs(actual_infected_interp - y(:,2)));
    MSE = mean((actual_infected_interp - y(:,2)).^2);

    disp(['Mean Absolute Error: ', num2str(MAE)]);
    disp(['Mean Squared Error: ', num2str(MSE)]);

灵敏度分析

灵敏度分析涉及对模型的主要参数进行调整，并观察这些变化对模型结果的影响。以下是对传染率（β）和治愈率（γ）进行灵敏度分析的实现示例。

分析传染率（β）的变化

Matlab 复制代码

% 修改beta参数
beta_values = [0.2, 0.3, 0.4];
figure;
for i = 1:length(beta_values)
    beta = beta_values(i);
    sir_model = @(t, y) [
        -beta * y(1) * y(2) / N;
        beta * y(1) * y(2) / N - gamma * y(2);
        gamma * y(2)
    ];
    [t, y] = ode45(sir_model, [0, 160], y0);
    plot(t, y(:,2), 'LineWidth', 2);
    hold on;
end
legend('β=0.2', 'β=0.3', 'β=0.4', 'Location', 'Best');
xlabel('Time (days)');
ylabel('Number of Infected People');
title('Sensitivity Analysis of Infection Rate (β)');
grid on;

分析治愈率（γ）的变化

Matlab 复制代码

% 修改gamma参数
gamma_values = [0.05, 0.1, 0.15];
figure;
for i = 1:length(gamma_values)
    gamma = gamma_values(i);
    sir_model = @(t, y) [
        -beta * y(1) * y(2) / N;
        beta * y(1) * y(2) / N - gamma * y(2);
        gamma * y(2)
    ];
    [t, y] = ode45(sir_model, [0, 160], y0);
    plot(t, y(:,2), 'LineWidth', 2);
    hold on;
end
legend('γ=0.05', 'γ=0.1', 'γ=0.15', 'Location', 'Best');
xlabel('Time (days)');
ylabel('Number of Infected People');
title('Sensitivity Analysis of Recovery Rate (γ)');
grid on;

通过灵敏度分析，我们可以发现不同的传染率和治愈率对感染者人数和传播曲线的影响。这有助于决策者理解在不同条件下疫情的可能发展趋势，并采取更为针对性的干预措施。

五、模型应用

传染病模型不仅能够对疫情发展进行预测，还能够用于疫情防控和政策制定。以下是模型应用的几个方面：

疫情趋势预测
- 使用SIR或SEIR模型进行未来的疫情发展预测，帮助公共卫生部门提前做好应对措施。

Matlab 复制代码

    % 使用SEIR模型预测未来疫情趋势
    future_time_span = [0, 300];
    [t_future, y_future] = ode45(seir_model, future_time_span, y0);
    
    % 绘制预测结果
    figure;
    plot(t_future, y_future(:,1), 'b', 'LineWidth', 2);
    hold on;
    plot(t_future, y_future(:,2), 'm', 'LineWidth', 2);
    plot(t_future, y_future(:,3), 'r', 'LineWidth', 2);
    plot(t_future, y_future(:,4), 'g', 'LineWidth', 2);
    legend('Susceptible', 'Exposed', 'Infected', 'Recovered');
    xlabel('Time (days)');
    ylabel('Number of People');
    title('SEIR Model - Long Term Prediction');
    grid on;

政策效果评估
- 模型可以用于评估不同防控措施的效果，例如隔离政策、疫苗接种等，通过模拟不同措施下的疫情发展，找到最优方案。

Matlab 复制代码

    % 模拟隔离措施的效果（降低传染率）
    beta_quarantine = 0.1;  % 采取隔离措施后的传染率
    seir_model_quarantine = @(t, y) [
        -beta_quarantine * y(1) * y(3) / N;
        beta_quarantine * y(1) * y(3) / N - sigma * y(2);
        sigma * y(2) - gamma * y(3);
        gamma * y(3)
    ];
    
    [t_quarantine, y_quarantine] = ode45(seir_model_quarantine, future_time_span, y0);
    
    % 绘制对比图
    figure;
    plot(t_future, y_future(:,3), 'r', 'LineWidth', 2);  % 无隔离的感染者曲线
    hold on;
    plot(t_quarantine, y_quarantine(:,3), 'b', 'LineWidth', 2);  % 隔离的感染者曲线
    legend('No Quarantine', 'With Quarantine');
    xlabel('Time (days)');
    ylabel('Number of Infected People');
    title('Impact of Quarantine on Infection Spread');
    grid on;

医疗资源配置
- 根据预测结果，合理配置医疗资源，如病床、医护人员、药品等，以应对疫情高峰期的需求。

Matlab 复制代码

    % 预测未来某一时期的重症患者人数（假设 10% 的感染者会成为重症）
    severe_case_ratio = 0.1;
    predicted_severe_cases = y_future(:,3) * severe_case_ratio;
    
    % 绘制重症患者人数预测图
    figure;
    plot(t_future, predicted_severe_cases, 'r', 'LineWidth', 2);
    xlabel('Time (days)');
    ylabel('Number of Severe Cases');
    title('Prediction of Severe Cases');
    grid on;

实例总结

通过上述步骤和实例，我们展示了如何使用SIR和SEIR模型模拟传染病传播的全过程，包括模型建立、灵敏度分析、模型验证和应用。以下是该实例总结：

步骤	说明	示例代码
问题分析	分析传染病的传播途径及影响因素	-
模型建立	建立SIR和SEIR模型	`sir_model = @(t, y) ...`
数据导入	定义模型参数和初始条件	`beta = 0.3; gamma = 0.1; N = 1000;`
模型训练	使用微分方程求解器求解模型	`[t, y] = ode45(sir_model, [0, 160], y0);`
模型验证	使用实际数据验证模型，进行灵敏度分析	`actual_data`, `beta_values`, `gamma_values`
模型应用	预测疫情趋势，评估防控政策效果，合理配置医疗资源	`future_time_span`, `beta_quarantine`

总结

本文详细介绍了如何使用Matlab进行传染病传播建模，包括SIR和SEIR模型的建立、代码实现、灵敏度分析和模型验证。通过实际案例，我们展示了如何将传染病模型应用于疫情预测、政策效果评估和医疗资源配置等方面。