堆（Heap）是一种特别的树状数据结构。
若是满足以下特性，即可称为堆："给定堆中任意节点P和C，若P是C的母节点，那么P的值会小于等于（或大于等于）C的值"。
若母节点的值恒小于等于 子节点的值，此堆称为最小堆 （min heap）；反之，若母节点的值恒大于等于 子节点的值，此堆称为最大堆（max heap）。
在堆中最顶端的那一个节点，称作根节点 （root node），根节点本身没有母节点（parent node）。
堆排序（heap sort），提出了二叉堆树作为此算法的数据结构。
在队列中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。
堆的实现通过构造二叉堆 （binary heap），实为二叉树的一种；由于其应用的普遍性，当不加限定时，均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。
- 任意节点小于（或大于）它的所有后裔，最小元（或最大元）在堆的根上（堆序性）。
- 堆总是一棵完全树。即除了最底层，其他层的节点都被元素填满，且最底层尽可能地从左到右填入。
将根节点最大的堆叫做最大堆 或大根堆 ，根节点最小的堆叫做最小堆 或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。
支持的基本操作
| 操作 | 描述 | 时间复杂度 |
| build | 创建一个空堆 | [外链图片转存中...(img-TzTxZgUA-1718797188410)] |
| insert | 向堆中插入一个新元素 | [外链图片转存中...(img-Nk4JPDou-1718797188411)] |
| update | 将新元素提升使其符合堆的性质 | |
| get | 获取当前堆顶元素的值 | [外链图片转存中...(img-mIGKmgNt-1718797188411)] |
| delete | 删除堆顶元素 | [外链图片转存中...(img-2ZD6uaYf-1718797188411)] |
| heapify | 使删除堆顶元素的堆再次成为堆 |
例程
为将元素X插入堆中，找到空闲位置，创建一个空穴，若满足堆序性 （heap order ），则插入完成；否则将父节点元素装入空穴，删除该父节点元素，完成空穴上移。直至满足堆序性。这种策略叫做上滤（percolate up）
c
//插入到一个二叉堆的过程
void Insert( ElementType X, PriorityQueue H )
{
int i;
if (IsFull(H))
{
printf("Queue is full.\n");
return;
}
for (i = ++H->Size; H->Element[i / 2] > X; i /= 2)
H->Elements[i] = H->Elements[i / 2];
H->Elements[i] = X;
}DeleteMin，删除最小元，即二叉树的根或父节点。删除该节点元素后，队列最后一个元素必须移动到堆得某个位置，使得堆仍然满足堆序性质。这种向下替换元素的过程叫作下滤。
c
ElementType DeleteMin(PriorityQueue H)
{
int i, Child;
ElementType MinElement, LastElement;
if (IsEmpty(H))
{
printf("Queue is empty.\n");
return H->Elements[0];
}
MinElement = H->Elements[1];
LastElement = H->Elements[H->Size--];
for (i = 1; i * 2 <= H->Size; i = Child)
{
// Find smaller child.
Child = i * 2;
if ( (Child != H->Size) && (H->Elements[Child + 1] < H->Elements[Child]) )
Child++;
// Percolate one level.
if (LastElement > H->Elements[Child])
H->Elements[i] = H->Elements[Child];
else
break;
}
H->Elements[i] = LastElement;
return MinElement;
}c++实现
c++
#pragma once
template<class T>
class JBMinHeap
{
private:
//申请堆空间
T *_minHeap = NULL;
int _index,_maxSize;
public:
JBMinHeap(int maxSize)
{
_maxSize = maxSize;
_minHeap = new T[_maxSize];
_index = -1;
}
JBMinHeap(JBMinHeap &h)
{
_index = h._index;
_maxSize = h._maxSize;
_minHeap = new T[_maxSize];
for (int i = 0;i<_maxSize)
{
*_minHeap[i] = *h._minHeap[i];
}
}
~JBMinHeap()
{
delete[]_minHeap;
}
//获取整个最小堆的头部指针
T * getMinHeap()
{
return _minHeap;
}
//判断堆是不是空的
bool isEmpty()
{
return _index == -1;
}
bool add(T x)
{
if (isFull())
{
return false;
}
_index++;
_minHeap[_index] = x;
return true;
}
bool isFull()
{
return _index == _maxSize;
}
//堆进行向下调整
void adjustDown(int index);
//队进行向上调整
void adjustUp(int index);
//建堆运算
void createMinHeap()
{
if (isEmpty())
{
return;
}
for (int i = (_index-1)/2;i >-1;i--)
{//直接从倒数第二层 逐层向下调整
adjustDown(i);
}
}
};
template<class T>
void JBMinHeap<T>::adjustDown(int index)
{
if (isEmpty())
{
return;
}
while (index<_index)
{
T temp = _minHeap[index];//将当前索引的位置的值保存下来
int oneC = 2 * index + 1;//获取到两个孩子的位置
int twoC = 2 * index + 2;
if (oneC == _index)
{//若第一个孩子是整个堆最后一个位置 则直接执行交换操作并结束执行
_minHeap[index] = _minHeap[oneC];
_minHeap[oneC] = temp;
return;
}
if (twoC >_index)
{//如果第二个孩子的索引位置越界 结束执行
return;
}
if (_minHeap[oneC] <= _minHeap[twoC])
{//正常情况的数据交互执行
if (temp > _minHeap[oneC])
{
_minHeap[index] = _minHeap[oneC];
_minHeap[oneC] = temp;
index = oneC;
}
else {//如果该处索引值已经是比两个孩子小 则结束循环
index = _index;
}
}
else
{
if (temp > _minHeap[twoC])
{
_minHeap[index] = _minHeap[twoC];
_minHeap[twoC] = temp;
index = twoC;
}
else
{
index = _index;
}
}
}
}
template<class T>
void JBMinHeap<T>::adjustUp(int index)
{
if (index > _index)
{//大于堆的最大值直接return
return;
}
while (index>-1)
{
T temp = _minHeap[index];
int father = (index - 1) / 2;
if (father >= 0)
{//如果索引没有出界就执行想要的操作
if (temp < _minHeap[father])
{
_minHeap[index] = _minHeap[father];
_minHeap[father] = temp;
index=father;
}
else
{//若果已经是比父亲大 则直接结束循环
index = -1;
}
}
else//出界就结束循环
{
index = -1;
}
}
}