midspore打卡第五天之DDPM原理一

Diffusion 前向过程

所谓前向过程,即向图片上加噪声的过程。虽然这个步骤无法做到图片生成,但这是理解diffusion model以及构建训练样本至关重要的一步。

首先我们需要一个可控的损失函数,并运用神经网络对其进行优化。

q(x_0) 是真实数据分布,由于 x_0 \\sim q(x_0) ,所以我们可以从这个分布中采样以获得图像 x_0 。接下来我们定义前向扩散过程 q(x_t \| x_{t-1}) ,在前向过程中我们会根据已知的方差 {0}\<\\beta_{1}\<\\beta_{2}\< ... \<\\beta_{T}\<{1} 在每个时间步长 t 添加高斯噪声,由于前向过程的每个时刻 t 只与时刻 t-1 有关,所以也可以看做马尔科夫过程:

q(\\mathbf{x}_t \| \\mathbf{x}_{t-1}) = \\mathcal{N}(\\mathbf{x}_t; \\sqrt{1 - \\beta_t} \\mathbf{x}_{t-1}, \\beta_t \\mathbf{I})

回想一下,正态分布(也称为高斯分布)由两个参数定义:平均值 \\mu 和方差 \\sigma\^2 \\geq 0 。基本上,在每个时间步长 t 处的产生的每个新的(轻微噪声)图像都是从条件高斯分布中绘制的,其中

q(\\mathbf{\\mu}_t) = \\sqrt{1 - \\beta_t} \\mathbf{x}_{t-1}

我们可以通过采样 \\mathbf{\\epsilon} \\sim \\mathcal{N}(\\mathbf{0}, \\mathbf{I}) 然后设置

q(\\mathbf{x}_t) = \\sqrt{1 - \\beta_t} \\mathbf{x}_{t-1} + \\sqrt{\\beta_t} \\mathbf{\\epsilon}

请注意, \\beta_t 在每个时间步长 t (因此是下标)不是恒定的:事实上,我们定义了一个所谓的"动态方差"的方法,使得每个时间步长的 \\beta_t 可以是线性的、二次的、余弦的等(有点像动态学习率方法)。

因此,如果我们适当设置时间表,从 \\mathbf{x}_0 开始,我们最终得到 \\mathbf{x}_1, ..., \\mathbf{x}_t, ..., \\mathbf{x}_T,即随着 t 的增大 \\mathbf{x}_t 会越来越接近纯噪声,而 \\mathbf{x}_T 就是纯高斯噪声。

那么,如果我们知道条件概率分布 p(\\mathbf{x}_{t-1} \| \\mathbf{x}_t) ,我们就可以反向运行这个过程:通过采样一些随机高斯噪声 \\mathbf{x}_T,然后逐渐去噪它,最终得到真实分布 \\mathbf{x}_0 中的样本。但是,我们不知道条件概率分布 p(\\mathbf{x}_{t-1} \| \\mathbf{x}_t) 。这很棘手,因为需要知道所有可能图像的分布,才能计算这个条件概率。

请详细解析所涉及到的公式应该怎么理解

理解Diffusion Model的前向过程及其涉及的数学公式,关键在于把握噪声逐步添加到图像上的机制以及如何通过这一过程逐步构建训练样本。下面是对您提到公式的详细解析:

1. 初始设定与前向扩散过程定义

  • **真实数据分布** \(q(x_0)\): 这代表了原始数据(如图像)的分布,即我们希望模型最终能够生成的数据类型。

  • **前向扩散过程** \(q(x_t|x_{t-1})\): 这个过程描述了如何从时间步 \(t-1\) 到时间步 \(t\) 添加噪声。这里,\(\beta_t\) 是在时间步 \(t\) 添加的噪声的比例,它控制着每一步添加的噪声量。整个过程是可逆的马尔科夫链,意味着每一个时间点的状态仅依赖于前一时间点的状态。

2. 高斯噪声的添加

  • **高斯分布参数**: 每一步的扩散可以视为从一个条件高斯分布中采样。在这个过程中,图像 \(\mathbf{x}_{t-1}\) 被放大(乘以 \(\sqrt{1-\beta_t}\))并加上新噪声(乘以 \(\sqrt{\beta_t}\)),这个噪声是从标准正态分布 \(\mathcal{N}(\mathbf{0}, \mathbf{I})\) 中独立同分布地采样得到的,其中 \(\mathbf{I}\) 是单位矩阵。

  • **扩散方程**: 具体来说,当前时刻图像 \(\mathbf{x}_t\) 的表达式为:

q(\\mathbf{x}_t) = \\sqrt{1 - \\beta_t} \\mathbf{x}_{t-1} + \\sqrt{\\beta_t} \\mathbf{\\epsilon}

这里,\(\mathbf{\epsilon}\) 是噪声项,\(\sqrt{1 - \beta_t}\) 和 \(\sqrt{\beta_t}\) 分别是原始图像信号和噪声的缩放因子,它们保证了整个过程的连续性和可逆性。

3. 动态方差策略

  • **时间步长的动态方差** (\(\beta_t\)): 不同于简单的固定噪声比例,\(\beta_t\) 可以随时间步变化,这允许我们控制噪声的增加速度。这种动态调整策略可以优化模型性能,例如,快速初期增加噪声,然后缓慢增加,或者采用其他更复杂的模式。

4. 反向过程的挑战

  • **条件概率分布 \(p(\mathbf{x}_{t-1}|\mathbf{x}_t)\)**: 要从噪声中恢复原始图像,我们需要知道如何从当前时刻的噪声图像 \(\mathbf{x}t\) 回溯到前一时刻的图像 \(\mathbf{x}{t-1}\)。然而,直接计算这个条件概率是非常困难的,因为它需要对所有可能的图像状态有全面的理解。

总结

Diffusion Model的前向过程通过一系列可控的噪声添加步骤,将清晰的图像逐步转变为噪声图像。这一过程不仅提供了生成训练样本的方法,也为学习如何从噪声中重建图像奠定了基础。然而,核心挑战在于如何设计一个网络来有效地学习反向过程,即从噪声中还原出原始图像的分布,而这通常需要利用变分推断或其他近似方法来解决。

Diffusion 逆向过程

为了解决上述问题,我们将利用神经网络来近似(学习)这个条件概率分布 p_\\theta (\\mathbf{x}_{t-1} \| \\mathbf{x}_t) , 其中 \\theta 是神经网络的参数。如果说前向过程(forward)是加噪的过程,那么逆向过程(reverse)就是diffusion的去噪推断过程,而通过神经网络学习并表示 p_\\theta (\\mathbf{x}_{t-1} \| \\mathbf{x}_t) 的过程就是Diffusion 逆向去噪的核心。

现在,我们知道了需要一个神经网络来学习逆向过程的(条件)概率分布。我们假设这个反向过程也是高斯的,任何高斯分布都由2个参数定义:

  • \\mu_\\theta 参数化的平均值

  • \\mu_\\theta 参数化的方差

综上,我们可以将逆向过程公式化为

p_\\theta (\\mathbf{x}_{t-1} \| \\mathbf{x}_t) = \\mathcal{N}(\\mathbf{x}_{t-1};\\mu_\\theta(\\mathbf{x}_{t},t), \\Sigma_\\theta (\\mathbf{x}_{t},t))

其中平均值和方差也取决于噪声水平 t ,神经网络需要通过学习来表示这些均值和方差。

  • 注意,DDPM的作者决定保持方差固定,让神经网络只学习(表示)这个条件概率分布的平均值 \\mu_\\theta

  • 本文我们同样假设神经网络只需要学习(表示)这个条件概率分布的平均值 \\mu_\\theta 。 请详细解析所涉及到的公式应该怎么理解

在Diffusion Model的逆向过程中,目标是学习一个神经网络参数化函数 \(p_\theta (\mathbf{x}_{t-1} | \mathbf{x}_t)\),该函数能够从当前噪声图像 \(\mathbf{x}t\) 预测上一时间步的较清晰图像 \(\mathbf{x}{t-1}\),从而逐步逆向去除噪声,最终还原出原始图像 \(\mathbf{x}_0\)。以下是关于逆向过程公式的深入解析:

逆向过程公式

p_\\theta (\\mathbf{x}_{t-1} \| \\mathbf{x}_t) = \\mathcal{N}(\\mathbf{x}_{t-1};\\mu_\\theta(\\mathbf{x}_{t},t), \\Sigma_\\theta (\\mathbf{x}_{t},t))

解析

  • **条件概率分布**: \(p_\theta (\mathbf{x}_{t-1} | \mathbf{x}_t)\) 表示给定当前时间步 \(t\) 的噪声图像 \(\mathbf{x}_t\) 条件下,上一时间步 \(t-1\) 图像的概率分布。这里的 \(\theta\) 指的是神经网络的参数,意味着这个分布是由神经网络学习得到的。

  • **高斯分布**: 逆向过程假设为高斯分布 \(\mathcal{N}(\mu, \Sigma)\),其中 \(\mu\) 是均值,\(\Sigma\) 是方差矩阵。这表明我们期望神经网络预测的分布形式为一个具有特定均值和方差的正态分布。

  • **均值 \(\mu_\theta(\mathbf{x}_{t},t)\)**: 神经网络需要学习估计的均值 \(\mu\),它反映了在给定当前噪声图像 \(\mathbf{x}t\) 和时间步 \(t\) 的条件下,上一时间步图像 \(\mathbf{x}{t-1}\) 应该是什么样子。这意味着网络需要学会如何从当前含噪图像"猜测"或"推断"出较清晰图像的一个合理估计。

  • **方差 \(\Sigma_\theta (\mathbf{x}_{t},t)\)**: 方差表示预测分布的不确定性。在实际应用中,如DDPM(Denoising Diffusion Probabilistic Models),为了简化问题,通常会固定方差而不是让它由神经网络学习。这意味着对于所有 \(\mathbf{x}_t\),其方差是预先确定的,而非由网络动态生成。这样做的好处是可以减少网络需要学习的复杂度,同时保持过程的稳定性和可训练性。

实际操作中的简化

  • **固定方差策略**: DDPM的作者选择固定方差 \(\Sigma\),这意味着神经网络只需专注于学习如何准确预测均值 \(\mu_\theta\) 即可。这样简化了任务,因为神经网络只需要输出一个关于如何"去噪"的精确预测,而不用同时考虑不确定性的量度。

  • **学习目标**: 神经网络的目标是通过大量训练样本,学习到一个映射函数,该函数能够从当前噪声图像出发,预测出前一时间步的图像,逐步迭代这一过程,直至从最末时间步的纯噪声图像恢复到初始的真实数据分布。

综上所述,逆向过程的公式体现了Diffusion Models中神经网络的学习目标,即通过学习均值函数 \(\mu_\theta(\mathbf{x}_{t},t)\),来逐步逆向去除噪声,逼近真实的图像分布。这一过程通过深度学习技术实现,使得模型能够在不直接接触原始数据分布的情况下,从纯粹的高斯噪声中重建高质量的图像。

能够用3通道的3 * 3的矩阵(模拟图片)举例说明 这个均值和方差(假设是固定的)是怎么一个计算的过程吗。重点是均值是怎么计算的

为了简化说明,我们将使用一个非常基础的例子来模拟这个过程,尽管真实情况会涉及更复杂的数学和深度学习模型。我们的目标是直观地展示如何利用一个简化的3通道3x3矩阵(模拟一个RGB图像的小片段)和固定方差来理解均值\(\mu_\theta\)的计算过程。

假设情景

  • 我们有一个3通道的3x3矩阵,代表一个非常小的RGB图像片段,其中每个元素代表一个像素的颜色强度值(R, G, B)。

  • 在Diffusion模型的逆向过程的一个时间步\(t\),我们要基于当前含噪图像\(\mathbf{x}t\)计算上一时间步的图像\(\mathbf{x}{t-1}\)的预测值。

  • 假设方差\(\Sigma\)固定且已知,这里我们不具体计算它,而是集中于如何通过神经网络计算均值\(\mu_\theta\)。

示例矩阵

为了简化,我们构建一个虚构的3x3x3矩阵(每一层代表RGB通道),假设这是含噪图像\(\mathbf{x}_t\)的一部分:

\[

\mathbf{x}_t =

\begin{bmatrix}

255, 128, 64\] \& \[128, 64, 32\] \& \[64, 32, 16\] \\\\ \[128, 64, 32\] \& \[64, 32, 16\] \& \[32, 16, 8\] \\\\ \[64, 32, 16\] \& \[32, 16, 8\] \& \[16, 8, 4

\end{bmatrix}

\]

计算均值\(\mu_\theta\)

在实际的Diffusion模型中,均值\(\mu_\theta\)是通过神经网络学习得到的,该网络接收当前含噪图像\(\mathbf{x}t\)及其时间步\(t\)作为输入,并预测出无噪图像\(\mathbf{x}{t-1}\)的每一个像素值。但是,为了简化说明,我们可以想象一个理想化的情况,其中我们直接"逆向推算"每个像素的去噪值。

如果我们的神经网络设计得足够好,它会尝试学习到一个函数,该函数能够从含噪像素值中预测出它们原本的、去噪后的值。例如,如果我们知道噪声是添加在原始图像上的,并且噪声的分布是已知的,我们可以通过某种方式(如反向传播噪声)来估计原始像素值。

简化示例的均值计算

在一个极度简化的场景下,我们可能直接采用一种线性或非线性的变换来估计均值。比如,我们假设一个简单的规则来"去噪":每个通道的像素值乘以一个系数(例如,如果噪声是均匀添加的,我们可能尝试除以一个小于1的系数来大致去除噪声)。但在真实情况下,神经网络会使用复杂的多层结构来学习这种变换。

**注意:** 实际的均值\(\mu_\theta\)计算涉及神经网络对大量训练样本的学习,以及反向传播等算法优化参数,这里无法直接给出具体的数值计算,因为我们没有实际执行神经网络计算的能力。上述简化过程仅用于帮助理解均值是如何被"学习"出来的概念。

在实际应用中,神经网络会通过查看成千上万个这样的像素块,并调整其权重参数,以最小化预测误差,从而学习到一个能够有效从含噪图像中恢复信息的模型。

平均值可以按如下方式计算:

\\mathbf{\\mu}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t) = \\frac{1}{\\sqrt{\\alpha_t}} \\left( \\mathbf{x}_t - \\frac{\\beta_t}{\\sqrt{1- \\bar{\\alpha}_t}} \\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t) \\right) $$ 能够用3通道的3 \* 3的矩阵(模拟图片)举例说明 这个均值和方差(假设是固定的)是怎么一个计算的过程吗。重点是均值是怎么计算的 基于您提供的公式,我们可以更具体地探讨均值\\(\\mathbf{\\mu}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t)\\)的计算过程。此公式来自于Diffusion Models中去噪过程的一种表述,其中\\(\\alpha_t\\)、\\(\\beta_t\\)、\\(\\bar{\\alpha}_t\\)和\\(\\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t)\\)都有特定含义: - \\(\\alpha_t = 1 - \\beta_t\\):代表信号保留比例。 - \\(\\bar{\\alpha}_t = \\prod_{s=1}\^{t} \\alpha_s\\):累积信号保留比例直到时间步\\(t\\)。 - \\(\\beta_t\\):在时间步\\(t\\)添加的噪声比例。 - \\(\\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t)\\):由神经网络预测的噪声,用于去噪过程。 ### 均值计算示例解释 为了使用一个3通道3x3矩阵(模拟图像)来解释这个计算过程,让我们简化一些假设,并直接应用上述公式。请注意,实际应用中,\\(\\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t)\\)是通过神经网络预测得到的,但为了示例,我们将直接使用一个假设的值。 \*\*示例矩阵\*\*(延续之前的简化示例): \\\[ \\mathbf{x}_t = \\begin{bmatrix} \[255, 128, 64\] \& \[128, 64, 32\] \& \[64, 32, 16\] \\\\ \[128, 64, 32\] \& \[64, 32, 16\] \& \[32, 16, 8\] \\\\ \[64, 32, 16\] \& \[32, 16, 8\] \& \[16, 8, 4\] \\end{bmatrix} \\\] \*\*假设\*\*:为了简化计算,我们假设在时间步\\(t\\),\\(\\alpha_t = 0.9\\),\\(\\beta_t = 0.1\\),因此\\(\\bar{\\alpha}_t = 0.9\^t\\)。并且,我们假定神经网络预测的噪声\\(\\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t)\\)与原图\\(\\mathbf{x}_t\\)形状相同,但实际应用中它会基于输入\\(\\mathbf{x}_t\\)和时间步\\(t\\)计算得出。 \*\*均值计算步骤\*\*: 1. \*\*计算信号保留比例和噪声比例的平方根\*\*:\\(\\sqrt{\\alpha_t} = \\sqrt{0.9} = 0.9487\\),\\(\\sqrt{1-\\bar{\\alpha}_t} = \\sqrt{1-(0.9)\^t}\\)(具体数值取决于\\(t\\),这里不具体计算,因为我们未指定\\(t\\)的具体值)。 2. \*\*计算预测噪声\*\*:为了说明,我们假设\\(\\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t)\\)是根据某些规则或简单算法生成的噪声矩阵,与原图大小相同,但实际上应由神经网络提供。 3. \*\*应用均值公式\*\*:对于每个像素,应用上述公式计算均值。以一个像素为例,如果\\(\\mathbf{x}_t\\)中一个像素为\\(\[255, 128, 64\]\\),并且\\(\\mathbf{\\epsilon}_\\theta\\)对于该像素预测的噪声为\\(\[10, 5, 2\]\\),则计算该像素的去噪均值如下: \\\[ \\begin{align\*} \\mathbf{\\mu}_\\theta \&= \\frac{1}{\\sqrt{\\alpha_t}} \\left( \\mathbf{x}_t - \\frac{\\beta_t}{\\sqrt{1- \\bar{\\alpha}_t}} \\mathbf{\\epsilon}_\\theta \\right) \\\\ \&= \\frac{1}{0.9487} \\left( \[255, 128, 64\] - \\frac{0.1}{\\sqrt{1-(0.9)\^t}} \[10, 5, 2\] \\right) \\end{align\*} \\\] 具体数值计算需要知道\\(\\sqrt{1-(0.9)\^t}\\)的确切值,但这里的关键是理解这个过程如何通过结合当前像素值、噪声比例和神经网络预测的噪声来估计去噪后的像素值。 ### 结论 通过上述步骤,我们展示了如何使用神经网络预测的噪声和给定的公式来计算一个像素点的去噪均值。这个过程在实际应用中对整个图像的所有像素重复进行,逐步从噪声图像\\(\\mathbf{x}_t\\)逆向恢复到较清晰的图像\\(\\mathbf{x}_{t-1}\\)。值得注意的是,实际应用中\\(\\mathbf{\\epsilon}_\\theta\\)是神经网络根据输入图像和时间步学习到的,而不仅仅是一个假设值。 所以上面计算结果得到的是每个像素点 的均值 是的,按照上述公式和步骤,我们为每个像素点计算其去噪后的"均值"值,这里的均值是对像素颜色值的一种调整,旨在逐步去除添加在图像上的噪声并恢复原始信号。在 diffusion model 的上下文中,这个过程是逐步进行的,每一步都会根据当前时刻的图像\\(\\mathbf{x}_t\\)和模型预测的噪声\\(\\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t)\\)来更新图像,从而向原图靠近。 具体到每个像素的计算上,我们实际上是在利用已知的信号保留和噪声添加参数(\\(\\alpha_t\\), \\(\\beta_t\\), 和 \\(\\bar{\\alpha}_t\\)),以及神经网络对当前时刻噪声的估计,来逆推并修正该像素的颜色值,使其更接近于没有噪声的状态。因此,最终计算出的"均值"\\(\\mathbf{\\mu}_\\theta\\)反映了这一像素在去噪过程中的预期真实颜色值。 简而言之,上述公式不仅涉及简单的均值计算,而是结合了模型学习到的信息和扩散过程参数,对每个像素点的颜色值进行了校正,是图像恢复过程的核心部分。 为了导出一个目标函数来学习反向过程的平均值,作者观察到 𝑞 q 和 𝑝 𝜃 p θ ​ 的组合可以被视为变分自动编码器(VAE)。因此,变分下界(也称为ELBO)可用于最小化真值数据样本 𝑥 0 x 0 ​ 的似然负对数(有关ELBO的详细信息,请参阅VAE论文\[(Kingma等人,2013年)\]( https://arxiv.org/abs/1312.6114 )),该过程的ELBO是每个时间步长的损失之和 𝐿 = 𝐿 0 + 𝐿 1 + . . . + 𝐿 𝑇 L=L 0 ​ +L 1 ​ +...+L T ​ ,其中,每项的损失 𝐿 𝑡 L t ​ (除了 𝐿 0 L 0 ​ )实际上是2个高斯分布之间的KL发散,可以明确地写为相对于均值的L2-loss! 如Sohl-Dickstein等人所示,构建Diffusion正向过程的直接结果是我们可以在条件是 𝑥 0 x 0 ​ (因为高斯和也是高斯)的情况下,在任意噪声水平上采样 𝑥 𝑡 x t ​ ,而不需要重复应用 𝑞 q 去采样 𝑥 𝑡 x t ​ ,这非常方便。使用 𝛼 𝑡 : = 1 − 𝛽 𝑡 𝛼 ˉ 𝑡 : = Π 𝑠 = 1 𝑡 𝛼 𝑠 α t ​ :=1−β t ​ α ˉ t:=Π s=1 t ​ α s ​ 我们就有 𝑞 ( 𝑥 𝑡 ∣ 𝑥 0 ) = 𝑁 ( 𝑥 𝑡 ; 𝛼 ˉ 𝑡 𝑥 0 , ( 1 − 𝛼 ˉ 𝑡 ) 𝐼 ) q(x t ​ ∣x 0 ​ )=N(x t ​ ; α ˉ t ​ ​ x 0 ​ ,(1− α ˉ t ​ )I) 这意味着我们可以采样高斯噪声并适当地缩放它,然后将其添加到 𝑥 0 x 0 ​ 中,直接获得 𝑥 𝑡 x t ​ 。 请注意, 𝛼 ˉ 𝑡 α ˉ t ​ 是已知 𝛽 𝑡 β t ​ 方差计划的函数,因此也是已知的,可以预先计算。这允许我们在训练期间优化损失函数 𝐿 L 的随机项。或者换句话说,在训练期间随机采样 𝑡 t 并优化 𝐿 𝑡 L t ​ 。 请详细解析所涉及到的公式应该怎么理解 在Diffusion Model的框架中,目标是通过学习一个逆向过程来从含有噪声的图像逐步恢复原始图像。为了实现这一点,作者借鉴了变分自编码器(VAE)的思想,并定义了一个损失函数(变分下界,ELBO)来指导模型学习。下面是对所涉及公式的详细解析: ### 变分下界(ELBO)与训练目标 - \*\*变分下界(Evidence Lower Bound)\*\*:在VAE框架下,ELBO是观测数据(在这里是真实图像\\(\\mathbf{x}_0\\))的对数似然的下界。通过最大化ELBO,我们间接最大化了数据的似然,从而使得模型能够学习到生成数据的有效分布。 - \*\*损失函数 \\(L\\) 的构成\*\*:总损失 \\(L\\) 是各个时间步长 \\(t\\) 损失的总和,即 \\(L = L_0 + L_1 + ... + L_T\\)。每个 \\(L_t\\) 项实际上代表了当前时间步的KL散度损失,衡量了模型预测的分布与实际的扩散过程分布之间的差异。然而,需要注意的是,通常 \\(L_0\\) 的处理方式可能与其他时间步不同,因为它涉及到直接从数据分布中采样。 ### 正向扩散过程的公式解释 - \*\*参数定义\*\*:\\(\\alpha_t = 1 - \\beta_t\\) 代表在时间步 \\(t\\) 保留的信号比例,而 \\(\\bar{\\alpha}_t = \\prod_{s=1}\^{t} \\alpha_s\\) 是从初始到时间步 \\(t\\) 累积的信号保留比例。 - \*\*正向扩散公式\*\*:\\(q(\\mathbf{x}_t \| \\mathbf{x}_0) = \\mathcal{N}(\\mathbf{x}_t; \\sqrt{\\bar{\\alpha}_t} \\mathbf{x}_0, (1- \\bar{\\alpha}_t) \\mathbf{I})\\) 描述了从原始图像 \\(\\mathbf{x}_0\\) 扩散到时间步 \\(t\\) 的图像 \\(\\mathbf{x}_t\\) 的过程。这个公式说明了如何直接从 \\(\\mathbf{x}_0\\) 生成任何时间步的 \\(\\mathbf{x}_t\\):通过将原始图像乘以 \\(\\sqrt{\\bar{\\alpha}_t}\\) 缩放,然后加上由 \\((1-\\bar{\\alpha}_t)\\) 控制方差的高斯噪声。 ### 训练过程的随机性 - \*\*时间步 \\(t\\) 的随机采样\*\*:在训练期间,模型会随机选择一个时间步 \\(t\\),然后优化对应的 \\(L_t\\)。这种随机性有助于模型在不同的去噪阶段都能表现良好,因为每个时间步的优化都促进了模型整体去噪能力的提升。 - \*\*便利性与效率\*\*:直接采样 \\(\\mathbf{x}_t\\) 而不需要递归应用扩散步骤大大提高了训练效率,同时也简化了计算流程。通过预先计算 \\(\\bar{\\alpha}_t\\),我们可以快速地生成不同噪声水平下的图像样本,进而训练神经网络学习如何逆向去噪,即从高噪声的 \\(\\mathbf{x}_T\\) 恢复到原始的 \\(\\mathbf{x}_0\\)。 综上所述,通过利用变分下界(ELBO)作为训练目标,并结合高效且直接的正向扩散采样策略,Diffusion Models能够有效地学习逆向去噪过程,逐步从噪声图像中恢复出清晰的原始图像。这种框架既考虑了模型的表达能力,也确保了训练过程的高效性和可行性。 变分下界(Evidence Lower Bound):在VAE框架下,ELBO是观测数据(在这里是真实图像x0的对数似然的下界。通过最大化ELBO,我们间接最大化了数据的似然, 请举例说明 一个推导的过程 变分下界(ELBO)是变分推理中的一个核心概念,常用于变分自编码器(VAE)等模型中。下面,我将以VAE为例,简要介绍如何通过最大化ELBO来间接最大化数据的似然,并给出推导过程的示例。 ### VAE的基本结构 变分自编码器(VAE)由两部分组成:编码器和解码器。编码器的任务是将输入数据 \\(\\mathbf{x}\\) 映射到一个潜在变量空间中的向量 \\(\\mathbf{z}\\),潜在变量 \\(\\mathbf{z}\\) 通常假设服从某种先验分布,如标准正态分布 \\(\\mathcal{N}(0, \\mathbf{I})\\)。解码器则负责将潜在变量 \\(\\mathbf{z}\\) 解码回数据空间,尝试重构原始输入 \\(\\mathbf{x}\\)。 ### ELBO的推导 我们的目标是最大化数据点 \\(\\mathbf{x}\\) 的对数似然 \\(\\log p(\\mathbf{x})\\),但由于后验分布 \\(p(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x})\\) 在复杂模型中往往难以直接求解,我们引入一个近似分布 \\(q(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x})\\)(通常由编码器给出),并使用变分推断来最小化 \\(q(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x})\\) 和真实后验 \\(p(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x})\\) 之间的差异,这通常通过Kullback-Leibler(KL)散度来度量。 ELBO可以通过以下方式构建: \\\[ \\mathcal{L}(\\mathbf{x}; \\theta, \\phi) = \\mathbb{E}_{q_{\\phi}(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x})}\[\\log p_{\\theta}(\\mathbf{x}\|\\mathbf{z})\] - \\text{KL}\[q_{\\phi}(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x}) \|\| p(\\mathbf{z})\] \\\] 这里,\\(\\theta\\) 和 \\(\\phi\\) 分别代表解码器和编码器的参数,\\(\\mathcal{L}\\) 是ELBO,第一项是重构误差的期望,第二项是两个概率分布的KL散度。 ### ELBO最大化与数据似然的关系 ELBO的定义实际上可以看作是数据似然的一个下界,这是基于Jensen不等式的一个结果。具体来说,通过对数据似然 \\(\\log p(\\mathbf{x})\\) 进行一些代数操作,可以得到以下关系: \\\[ \\log p(\\mathbf{x}) \\geq \\mathcal{L}(\\mathbf{x}; \\theta, \\phi) \\\] 因此,通过最大化ELBO,我们实际上是在间接最大化数据的对数似然。这是因为在优化过程中,ELBO的增加意味着对数似然的下界被提高,进而意味着数据的似然也在理论上被提高。 ### 示例推导 假设有一个简单的VAE,其似然函数 \\(p(\\mathbf{x}\|\\mathbf{z})\\) 是高斯分布,且先验 \\(p(\\mathbf{z})\\) 也是标准高斯分布。编码器 \\(q_{\\phi}(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x})\\) 输出的也是高斯分布参数。 1. \*\*重构项\*\*:第一项 \\(\\mathbb{E}_{q_{\\phi}(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x})}\[\\log p_{\\theta}(\\mathbf{x}\|\\mathbf{z})\]\\) 表示通过解码器重构数据的期望对数概率。如果解码器工作得好,它能从潜在变量 \\(\\mathbf{z}\\) 有效重构 \\(\\mathbf{x}\\),这项就会大。 2. \*\*KL散度项\*\*:第二项 \\(-\\text{KL}\[q_{\\phi}(\\mathbf{z}\|\\mathbf{x}) \|\| p(\\mathbf{z})\]\\) 促使编码器输出的分布接近于先验分布,这有助于学习到简洁、有代表性的潜在表示。 在训练过程中,通过梯度上升方法(如SGD)最大化 \\(\\mathcal{L}(\\mathbf{x}; \\theta, \\phi)\\),实质上就是在最小化 \\(\\mathbf{x}\\) 的重构误差的同时,保持潜在空间的分布与先验一致,从而优化模型的生成能力和编码效率。 我们引入一个近似分布 q(z∣x)(通常由编码器给出),并使用变分推断来最小化 𝑞和真实后验 之间的差异 这个过程的数据证明是不是变分推断用了隐马尔可夫的公式 变分推断(Variational Inference, VI)与隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)所采用的方法并不相同,尽管两者都处理隐藏变量问题,但它们的应用场景、目标以及采用的数学工具存在差异。 \*\*变分推断\*\*是一种在概率模型中进行近似推断的方法,特别是在面对具有复杂后验分布的问题时。它通过引入一个可调整的近似分布 \\(q(z\|x)\\) 来逼近真实的后验分布 \\(p(z\|x)\\),目的是最小化这个近似分布与真实后验之间的距离,常用距离度量是Kullback-Leibler(KL)散度。变分推断的核心思想是将推断问题转换成一个优化问题,即找到使得KL散度最小化的 \\(q(z\|x)\\) 参数。在变分自编码器(VAE)中,这一过程用于学习一个能够高效编码和解码数据的模型。 \*\*隐马尔可夫模型\*\*则是一种特定类型的统计模型,主要用于时间序列数据分析,其中每个观测值依赖于一个未观测的(隐藏)状态。HMM利用动态规划算法(如前向-后向算法或维特比算法)来进行推断,比如计算给定观察序列下最有可能的状态序列。虽然HMM也涉及隐藏变量的推断,但它并没有直接使用变分推断中的优化技术来逼近后验分布。 \*\*关系与区别\*\*: - \*\*目的不同\*\*:变分推断是为了简化复杂后验分布的推断,而HMM主要是解决状态序列的估计问题。 - \*\*方法论不同\*\*:变分推断通过优化一个目标函数(通常是ELBO)来近似后验分布;HMM则通过定义状态转移概率和观测概率,利用算法寻找最可能的状态路径。 - \*\*应用场景不同\*\*:变分推断广泛应用于各种概率图模型和深度学习模型中,而HMM主要应用于序列数据建模,如语音识别、自然语言处理等领域。 因此,变分推断并没有直接使用隐马尔可夫模型的公式,而是通过自己的理论框架(如变分贝叶斯方法)来处理含有隐变量的概率模型推断问题。 变分推断并没有直接使用隐马尔可夫模型的公式 隐马尔可夫不是矩阵转移概率通过燃烧步骤后达到一种转移平衡,这与KL是不一样的吗 确实,变分推断和隐马尔可夫模型(HMM)在方法和目的上有本质的不同,尽管它们都处理含有隐变量的问题。 \*\*隐马尔可夫模型(HMM)\*\*主要关注状态序列的推断和学习。在HMM中,我们有隐藏状态和可观测状态,模型通过定义状态间的转移概率矩阵和状态到观测的发射概率矩阵来工作。HMM的典型推断任务包括计算给定观测序列下最可能的状态序列(维特比算法)、计算给定模型和观测序列的联合概率(前向算法)或计算给定状态序列的观测概率(后向算法)。HMM的这些算法确实涉及到了状态转移的计算,但这些转移是在模型定义的矩阵框架内进行的,并没有直接涉及到KL散度最小化或变分推断的概念。 \*\*变分推断(Variational Inference)\*\*是一种在概率模型中进行近似推断的方法,特别适用于处理具有复杂后验分布的问题。它不依赖于燃烧步骤或转移平衡的概念。在变分推断中,我们通过构造一个易于处理的近似分布(如高斯分布)来逼近真实但复杂的后验分布。这个过程涉及到最大化变分下界(ELBO),本质上是通过最小化这个近似分布与真实后验分布之间的KL散度来实现的。变分推断的核心是优化技巧,通常使用梯度下降等方法来调整近似分布的参数,使之尽可能接近真实的后验分布。 总结来说,HMM处理的是状态序列的推断,利用动态规划算法来解决特定的最优化问题;而变分推断是一种概率模型推断的通用框架,通过优化技巧找到最佳的近似分布。两者解决问题的方法和目标显著不同,HMM并不直接涉及变分推断中使用的KL散度最小化策略。 正如Ho等人所展示的那样,这种性质的另一个优点是可以重新参数化平均值,使神经网络学习(预测)构成损失的KL项中噪声的附加噪声。这意味着我们的神经网络变成了噪声预测器,而不是(直接)均值预测器。其中,平均值可以按如下方式计算: $$ \\mathbf{\\mu}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t) = \\frac{1}{\\sqrt{\\alpha_t}} \\left( \\mathbf{x}_t - \\frac{\\beta_t}{\\sqrt{1- \\bar{\\alpha}_t}} \\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t) \\right)

最终的目标函数 {L}_{t} 如下 (随机步长 t 由 ({\\epsilon} \\sim N(\\mathbf{0}, \\mathbf{I})) 给定):

\\\| \\mathbf{\\epsilon} - \\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t) \\\|\^2 = \\\| \\mathbf{\\epsilon} - \\mathbf{\\epsilon}_\\theta( \\sqrt{\\bar{\\alpha}_t} \\mathbf{x}_0 + \\sqrt{(1- \\bar{\\alpha}_t) } \\mathbf{\\epsilon}, t) \\\|\^2$$ 请详细解析所涉及到的公式应该怎么理解 在Diffusion Models中,Ho等人提出的这种重参数化技巧,实际上是为了更好地优化神经网络,使得它能够更有效地学习如何从噪声图像中恢复原始数据。下面我将逐一解析这两个关键公式: ### 1. 均值的计算公式 $$ \\mathbf{\\mu}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t) = \\frac{1}{\\sqrt{\\alpha_t}} \\left( \\mathbf{x}_t - \\frac{\\beta_t}{\\sqrt{1- \\bar{\\alpha}_t}} \\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t) \\right)

  • **解释**:这个公式是用来计算在时间步 \(t\) 时,给定当前含噪图像 \(\mathbf{x}t\) 和时间步索引 \(t\),我们想要逆向推断的无噪图像 \(\mathbf{x}{t-1}\) 的预测均值 \(\mathbf{\mu}_\theta\)。其中,\(\alpha_t = 1 - \beta_t\) 代表信号保留的比例,\(\bar{\alpha}t\) 是从开始到时间步 \(t\) 的信号保留比例的乘积,\(\beta_t\) 是在时间步 \(t\) 添加的噪声比例,而 \(\mathbf{\epsilon}\theta(\mathbf{x}_t, t)\) 是神经网络预测的噪声(即残差),它反映了从 \(\mathbf{x}t\) 到 \(\mathbf{x}{t-1}\) 去噪所需的改变量。

  • **重参数化**:这个公式的关键在于它通过重参数化,将均值的计算转化为对噪声项 \(\mathbf{\epsilon}_\theta\) 的直接优化,而不是直接优化图像像素值本身。这样做使得我们可以通过标准的梯度下降方法来优化神经网络,因为它使优化目标变得平滑且易于计算梯度。

2. 目标函数 \(L_t\) 的定义

\\\| \\mathbf{\\epsilon} - \\mathbf{\\epsilon}_\\theta(\\mathbf{x}_t, t) \\\|\^2 = \\\| \\mathbf{\\epsilon} - \\mathbf{\\epsilon}_\\theta( \\sqrt{\\bar{\\alpha}_t} \\mathbf{x}_0 + \\sqrt{(1- \\bar{\\alpha}_t) } \\mathbf{\\epsilon}, t) \\\|\^2

  • **解释**:这是神经网络优化的目标函数,它衡量了真实噪声 \(\mathbf{\epsilon}\)(从标准正态分布 \(N(\mathbf{0}, \mathbf{I})\) 中抽取)与神经网络预测的噪声 \(\mathbf{\epsilon}_\theta(\mathbf{x}_t, t)\) 之间的差距。目标是最小化这个差距,意味着让神经网络尽可能准确地预测出加在原始数据上的噪声。

  • **重参数化视角**:右侧的表达式通过重参数化展示了如何从初始数据 \(\mathbf{x}_0\) 和已知的噪声分布出发,通过调整信号保留比例和噪声比例,直接构建出含噪图像 \(\mathbf{x}_t\)。这一步骤是理论上的推导,实际上我们不会用这种方式生成 \(\mathbf{x}t\),但这个等式帮助我们理解 \(\mathbf{\epsilon}\theta\) 的作用------它应该能够从 \(\mathbf{x}_t\) 推断出与真实噪声 \(\mathbf{\epsilon}\) 相匹配的噪声预测。通过优化这个损失函数,神经网络学习到了去噪的能力,即从含噪图像中逆向预测出无噪图像的特征。

综上,这些公式共同揭示了Diffusion Models中逆向过程的优化策略:通过重参数化,将复杂的图像去噪问题转换为一个相对简单的噪声预测问题,从而使得神经网络能够有效地学习并执行去噪任务。

具体反向计算中每个时间步t的X0都是通过公式算出来的吗 比如x0_recon

def p_mean_variance(self, x, t, s):

pred_noise = self.model(x, t, s)

x_recon = self.predict_start_from_noise(x, t, pred_noise)

x_recon.clamp_(-1, 1)

model_mean, posterior_variance, posterior_log_variance = self.q_posterior(

x_recon, x, t

)

return model_mean, posterior_log_variance

于下面的代码在计算均值有什么不同

def p_sample(model, x, t, t_index):

betas_t = extract(betas, t, x.shape)

sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t = extract(

sqrt_one_minus_alphas_cumprod, t, x.shape

)

sqrt_recip_alphas_t = extract(sqrt_recip_alphas, t, x.shape)

model_mean = sqrt_recip_alphas_t * (x - betas_t * model(x, t) / sqrt_one_minus_alphas_cumprod_t)

if t_index == 0:

return model_mean

posterior_variance_t = extract(posterior_variance, t, x.shape)

noise = randn_like(x)

return model_mean + ops.sqrt(posterior_variance_t) * noise

这两个代码片段分别来自不同的实现细节,但它们都服务于同一个目的:根据给定的当前噪声图像 \(x\) 和时间步 \(t\),反向采样(或预测)接近原数据分布的无噪图像 \(x_0\)。尽管两者的核心思想一致,但在具体的实现细节上有所不同,主要体现在以下几个方面:

1. `p_mean_variance` 函数:

  • **功能**:此函数首先使用模型 `self.model` 预测当前噪声图像 \(x\) 在时间步 \(t\) 下的噪声分量 `pred_noise`。接着,它利用一个特定的函数 `self.predict_start_from_noise` 从预测的噪声和当前时间步信息反推出无噪图像的估计 \(x_{recon}\),并确保其值域在 [-1, 1] 内。之后,该函数进一步计算了关于 \(x_{recon}\) 的模型均值 `model_mean` 以及后验方差和对数方差。这里,`self.q_posterior` 可能用于进一步细化或校正 \(x_{recon}\) 以得到更精确的 \(x_0\) 估计。

2. `p_sample` 函数:

  • **功能**:该函数直接计算了在时间步 \(t\) 下,如何从当前噪声图像 \(x\) 向前一步(或反向采样)以逼近原数据分布。它首先提取了对应时间步的超参数(如 \(\beta_t\) 的平方根的倒数等),然后基于这些超参数和模型预测的噪声分量 `model(x, t)` 计算了 `model_mean`,即无噪图像的一个估计。如果到达最终时间步 \(t=0\),则直接返回这个均值作为估计。否则,还会加上一个根据后验方差缩放的随机噪声项,以反映反向扩散过程中固有的不确定性。

不同点:

  • **计算流程**:`p_mean_variance` 包含了一个显式的噪声到图像的预测步骤(通过 `self.predict_start_from_noise`),然后可能进行了额外的后验处理。而 `p_sample` 直接利用模型预测的噪声和时间步信息来估计无噪图像的均值,若非最终时间步,则加入噪声进行采样。

  • **后处理**:`p_mean_variance` 使用 `self.q_posterior` 对初步预测的 \(x_{recon}\) 进行了进一步处理,可能涉及更复杂的后验概率分布考虑。而 `p_sample` 中的噪声添加是基于简单的高斯分布假设,反映了采样的随机性。

综上所述,两者虽然在目标上相似,但在具体实现上各有侧重,`p_mean_variance` 更倾向于提供一个包含后验分析的详细反向传播过程,而 `p_sample` 则直接聚焦于采样过程中的均值计算及噪声添加。

为什么方法一这里要在时间步t这里先计算x_recon 而下面方法二的代码没有计算x_recon?

方法一和方法二虽然都旨在通过反向过程采样生成高质量的图像,但它们在实现细节上有所差异,主要体现在对去噪过程的处理上。

方法一的逻辑:

  1. **q_posterior**: 此函数计算了后验分布的均值、方差和对数方差,其中均值结合了原始图像信号\(x_{start}\)和当前噪声图像\(x\),这是基于Diffusion模型的理论推导,旨在反映当前时刻图像和初始图像之间的关系。

  2. **predict_start_from_noise**: 这个函数通过模型预测的噪声和当前时刻的图像来估计去噪后的图像\(x_{recon}\)。这一步是基于噪声预测模型(\(\mathbf{\epsilon}_\theta\))来反推无噪图像的一个中间步骤,它通过将当前图像减去预测的噪声,再根据当前时刻的时间步缩放,来近似原始图像。

  3. **p_mean_variance**: 结合模型预测的噪声和上述去噪估计,进一步计算模型均值和后验方差,这是为了优化去噪过程,使得模型的输出更加贴近真实的图像分布。

  4. **p_sample**: 最终的采样函数,结合了均值和方差信息,通过添加随机噪声来实现采样多样性,同时考虑了时间步为0的特殊情况。

方法二的逻辑:

  1. **p_sample**: 方法二直接在模型预测的基础上计算去噪图像的均值,没有明确分离出一个独立的\(x_{recon}\)计算步骤。它通过当前图像\(x\)减去基于模型预测的噪声贡献(乘以相应比例)来直接获得均值,这实质上也是在估计去噪图像,只是没有明确定义为一个单独的变量。

  2. **p_sample_loop**: 实现了整个采样循环,从纯噪声开始,逐步反向至清晰图像。这个方法更加直接地应用了时间步的超参数(如\(\beta_t\)、\(\sqrt{1-\bar{\alpha}_t}\)等)来计算模型均值,并在非最终时间步添加了后验方差所决定的噪声。

为何方法一计算\(x_{recon}\):

方法一通过引入`predict_start_from_noise`步骤,明确分离出了一个去噪的中间估计\(x_{recon}\),这一步骤可能有助于模型更精细地控制和优化去噪过程,尤其是在涉及到更复杂的后验处理(如通过`q_posterior`)时。这个中间步骤可能是为了更好地控制噪声的减少过程,确保模型能够逐步、精确地逆向去除噪声,从而提高最终生成图像的质量。

总之,两种方法的核心目标一致,即通过反向扩散过程从噪声图像中采样得到清晰图像,但方法一通过额外的\(x_{recon}\)计算步骤,可能为模型提供了一种更灵活和精细的控制机制来处理去噪过程,而方法二采取了更为直接的计算方式,直接在当前图像和模型预测基础上计算均值。

它们都是基于平均值可以按如下方式计算:

𝜇

𝜃

(

𝑥

𝑡

,

𝑡

)

=

1

𝛼

𝑡

(

𝑥

𝑡

𝛽

𝑡

1

𝛼

ˉ

𝑡

𝜖

𝜃

(

𝑥

𝑡

,

𝑡

)

)

μ

θ

(x

t

,t)=

α

t

1

(x

t

1−

α

ˉ

t

β

t

ϵ

θ

(x

t

,t)) 公式来推导的?

实际上,您提供的公式与方法一和方法二所采用的策略紧密相关,它反映了在分数阶时间扩散模型(如DDPM,Diffusion Models)中,预测去噪图像的平均值(mean)的一种常见做法。该公式展示的是如何基于当前时刻的带噪图像 \(\mathbf{x}t\) 和模型预测的噪声 \(\mathbf{\epsilon}\theta(\mathbf{x}_t, t)\) 来估计原始图像(或称为"去噪图像")的表示。让我们逐步解析这个公式与两个方法的关联:

公式解释

  • \(\mathbf{\mu}_\theta(\mathbf{x}_t, t)\) 表示根据模型 \(\theta\) 在时间步 \(t\) 估计的去噪图像的条件平均值。

  • \(\mathbf{x}_t\) 是在时间步 \(t\) 处被噪声污染的图像。

  • \(\alpha_t\) 和 \(\bar{\alpha}t = \prod{s=1}^{t} \alpha_s\) 分别代表了在时间步 \(t\) 的扩散过程中的信号保持系数及其累积版本,通常随着 \(t\) 增加而减小,意味着更多的噪声被添加到图像中。

  • \(\beta_t\) 表示在时间步 \(t\) 添加到图像上的噪声的比例。

  • \(\mathbf{\epsilon}_\theta(\mathbf{x}_t, t)\) 是模型预测的关于当前带噪图像 \(\mathbf{x}_t\) 在时间步 \(t\) 下的噪声分量。

与方法一的关联

方法一中,尽管没有直接展示该公式的使用,但其核心思想与该公式是一致的。特别是 `predict_start_from_noise` 函数,它间接实现了类似的功能。在这个函数中,通过将当前带噪图像 \(x\) 减去由模型预测的噪声(乘以相应的系数),然后乘以 \(\sqrt{\alpha_t}\) 的逆操作,实质上是在按照该公式进行操作,以估计原始图像(或其去噪版本)。

与方法二的关联

方法二的 `p_sample` 函数中,直接应用了类似的计算逻辑。虽然表达形式可能有所不同,但其核心也是依据当前带噪图像和模型预测的噪声来估计去噪图像的均值。公式中的 \(\frac{\beta_t}{\sqrt{1- \bar{\alpha}_t}}\) 被转换为其他等效形式以适应特定的实现细节,但基本原理保持不变,即利用模型预测的噪声去调整当前图像,从而向原始数据点靠拢。

因此,尽管两个方法在具体实现细节上有所区别(比如是否明确分离出 \(x_{recon}\) 或直接在计算中应用),它们背后的数学原理与您提到的公式紧密相连,都是利用扩散模型框架下的去噪理论来逐步从噪声图像中恢复清晰图像。

写出方法一和方法二的数学公式和步骤

方法一的数学公式和步骤:

**1. 后验分布均值和方差计算 (`q_posterior`):**

  • 假设 \(x_{start}\) 是初始图像,\(x\) 是当前时间步 \(t\) 的图像,后验均值 \(posterior\_mean\) 由两部分组成:

\[posterior\_mean = \color{blue}{\underbrace{\text{extract}(\text{posterior\mean\coef1}, t, x.shape)}{\text{与}x{start}\text{相关}}} + \color{red}{\underbrace{\text{extract}(\text{posterior\_mean\coef2}, t, x.shape)}{\text{与}x\text{相关}}}\cdot x\]

  • 后验方差 \(posterior\_variance\) 和对数方差 \(posterior\_log\_variance\) 也通过类似方式从预定义的参数中提取。

**2. 从噪声预测起始图像 (`predict_start_from_noise`):**

  • 依据给定的噪声预测 \(\mathbf{\epsilon}\theta\),计算去噪图像 \(x{recon}\):

\[x_{recon} = \color{green}{\underbrace{\text{extract}(\sqrt{\text{recip_alphas\cumprod}}, t, x.shape)}{\text{缩放因子}}} \cdot x - \color{purple}{\underbrace{\text{extract}(\sqrt{\text{recipm\alphas\cumprod}}, t, x.shape)}{\text{与}\mathbf{\epsilon}\theta\text{相乘的因子}}}\cdot \mathbf{\epsilon}_\theta\]

**3. 计算均值和方差 (`p_mean_variance`):**

  • 通过模型预测噪声 \(\mathbf{\epsilon}\theta\),得到 \(x{recon}\),进一步通过 `q_posterior` 计算模型均值 \(model\_mean\) 和对数方差 \(model\_log\_variance\)。

**4. 样本采样 (`p_sample`):**

  • 使用均值 \(model\_mean\) 和对数方差 \(model\_log\_variance\) 生成样本,当 \(t=0\) 时直接返回均值,否则加上根据后验方差缩放的随机噪声。

**5. 采样循环 (`p_sample_loop`):**

  • 从纯噪声开始,逐步应用 `p_sample` 逆向采样直到时间步 \(t=0\),生成最终的图像。

**6. 采样函数 (`sample`):**

  • 定义采样入口,设置图像尺寸、批次大小和通道数,调用 `p_sample_loop` 生成图像,并限制在 [-1, 1] 之间。

方法二的数学公式和步骤:

**1. 样本采样 (`p_sample`):**

  • 提取超参数 \(\beta_t\)、\(\sqrt{1-\bar{\alpha}_t}\) 和 \(\sqrt{\alpha_t}\)。

  • 计算模型均值 \(model\_mean\):

\[model\_mean = \sqrt{\alpha_t} \left(x - \frac{\beta_t}{\sqrt{1-\bar{\alpha}_t}} \cdot model(x, t)\right)\]

  • 如果 \(t=0\),直接返回 \(model\_mean\);否则,加上由后验方差缩放的随机噪声。

**2. 采样循环 (`p_sample_loop`):**

  • 通过进度条遍历所有时间步,从纯噪声图像开始,逐步应用 `p_sample` 直至 \(t=0\),收集所有中间图像。

**3. 采样函数 (`sample`):**

  • 设置图像尺寸、批次大小和通道数,调用 `p_sample_loop` 进行采样。

总结而言,两种方法都遵循了扩散模型的基本原理,即通过逆向过程逐步从噪声中恢复图像。方法一更详细地划分了计算步骤,包括后验分布的详细处理,而方法二则较为直接,直接应用公式进行均值和噪声的计算。两者都利用了时间步 \(t\) 的超参数和模型预测的噪声,以不同方式实现去噪和采样过程。

结合提供的文本和图像信息,我们可以深入理解如何在Diffusion Models框架下使用神经网络(特别是U-Net架构)进行图像去噪和生成过程。以下是详细的解读:

神经网络预测噪声的机制

  1. **问题设定**:在Diffusion Models中,目标是通过一系列逐步添加噪声的步骤(正向扩散过程),将原始图像(\(\mathbf{x}_0\))转换为完全噪声的图像,然后通过学习一个神经网络来逆向这一过程,逐步去除噪声,最终恢复原始图像。这个过程中的关键在于如何训练神经网络来预测每个时间步上添加的噪声。

  2. **神经网络训练**:神经网络(如U-Net)通过最小化真实噪声和预测噪声之间的均方误差(MSE)来学习。具体来说,给定一个在时间步\(t\)上加噪的图像\(\mathbf{x}_t\),网络需要预测在这个时间步上添加的噪声\(\mathbf{\epsilon}\)。训练数据通过先采样真实图像\(\mathbf{x}_0\),然后按照扩散过程公式逐步添加噪声得到\(\mathbf{x}_t\)和对应的真实噪声,以此作为监督信号训练网络。

  3. **U-Net架构的作用**:

  • **结构特点**:U-Net是一种特殊的自动编码器结构,以其在医学图像分割任务中的出色表现著称。它包含一个编码器路径(下采样层)和一个解码器路径(上采样层),并且在解码阶段通过跳跃连接(skip connections)整合了编码器的特征图,这样可以有效传递早期层的精细信息到重建阶段,有助于保持空间细节。

  • **残差连接的优势**:受到ResNet(He等人,2015年)的启发,U-Net在编码器和解码器之间引入了残差连接,这极大地改善了梯度流动,使得网络能够更容易地训练更深的模型,同时减少了训练过程中的梯度消失问题,有利于捕获更复杂的图像特征。

  • **应用在Diffusion Models中的优势**:U-Net的结构特别适合于图像去噪任务,因为它能够在去除噪声的同时保持图像的细节和结构信息。通过在多个尺度上学习特征并利用跳跃连接,网络能够更精确地预测每个像素点上的噪声,从而逐步从噪声图像中恢复出清晰的原始图像。

总结

在Diffusion Models中,U-Net作为一种强大的图像处理工具,通过预测每个时间步的噪声分布,参与实现图像从噪声到清晰的逆向扩散过程。其特有的编码器-解码器结构和残差连接设计,不仅有助于网络捕捉和保留图像中的关键细节,还提高了模型训练的效率和性能。通过不断地迭代和优化,最终能够从完全噪声的图像中生成高质量的真实图像。

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