数据结构之二叉树的超详细讲解(3)--(二叉树的遍历和操作)

C++忠实粉丝2024-06-27 13:48

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数据结构之二叉树的超详细讲解(3)--(二叉树的遍历和操作)

收录于专栏【数据结构初阶** 】
本专栏旨在分享学习数据结构学习的一点学习笔记，欢迎大家在评论区交流讨论💌**

目录

1.前置说明

2.二叉树的遍历

[2.1 前序、中序以及后序遍历](#2.1 前序、中序以及后序遍历)

代码实现:

2.1.1前序遍历:

2.1.2中序遍历:

2.1.3后序遍历:

力扣oj练习

[2.2 层序遍历](#2.2 层序遍历)

代码实现:

练习：

3.结点个数以及高度等

3.1二叉树节点个数

3.2二叉树叶子节点个数

3.3二叉树第k层节点个数

3.4二叉树查找值为x的节点

3.5二叉树的高度

4.二叉树的创建和销毁

4.1通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树

4.2二叉树销毁

4.3判断二叉树是否时完全二叉树

1.前置说明

如果没看树和二叉树的结构和概念建议先去看看

----数据结构之二叉树的超详细讲解(1)--(树和二叉树的概念和结构)-CSDN博客

---数据结构之二叉树的超详细讲解(2)--(堆的概念和结构的实现,堆排序和堆排序的应用)-CSDN博客

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树 操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

二叉树的结构表示:

cpp 复制代码 
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

手动创造一棵树:

cpp 复制代码 
BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);
	BTNode* node7 = BuyNode(7);


	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;
	node5->right = node7;

	return node1;
}

将创造树节点的方法封装成一个函数(BuyNode):

cpp 复制代码 
BTNode* BuyNode(int x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return NULL;
	}

	node->data = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}

这样我们就完成了一棵树的创建,如下图所示:

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

1. 空树

2. 非空：根结点，根结点的左子树、根结点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.二叉树的遍历

2.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal) 是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的结点进行相应的操作，并且每个结点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历(Inorder Traversal)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，**所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。**NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

示例:

假如我们的二叉树为:

前序遍历:

前序遍历即访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。也就是先访问根节点在访问左右子树,简称为根左右

所以前序遍历为: 1 2 3 NULL NULL NULL 4 5 NULL 6 NULL NULL

中序遍历:

中序遍历即访问左节点的操作发生在遍历其根节点和右节点之前,也就是先访问左节点在访问根右,简称左根右

所以中序遍历为:NULL 3 NULL 2 NULL 1 NULL 5 NULL 4 NULL 6 NULL

后序遍历:

后序遍历即先访问左节点,在访问右节点和根节点,简称左右根

所以后序遍历为:NULL NULL 3 NULL 2 NULL NULL 5 NULL NULL 6 4 1

代码实现:

我们之前已经手动创建了一棵树:

2.1.1前序遍历:

cpp 复制代码 
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

我们这里的逻辑为:首先判断节点是否为空,为空即返回NULL(这里N就代表为NULL),并return,注意:这里的return并不是直接退出,而是返回函数上一层,不为空即直接打印节点data值,然后递归左右子树,满足根左右的性质.

结果如下:

递归展开图:

这里怕宝子们还是不理解递归的原理,这里就展示前序的递归展开图,中序和后序是一样的

由于篇幅有限,没有完全展示,但是原理都是一样的

2.1.2中序遍历:

cpp 复制代码 
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

我们这里的逻辑和前序方法差不多,也是使用递归,满足左根右的性质进行后序遍历

结果如下:

2.1.3后序遍历:

cpp 复制代码 
void postorder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}
	postorder(root->left);
	postorder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}

结果如下:

力扣oj练习

--144. 二叉树的前序遍历 - 力扣（LeetCode）

--94. 二叉树的中序遍历 - 力扣（LeetCode）

--145. 二叉树的后序遍历 - 力扣（LeetCode）

只要能把上面的知识看懂弄明白,这三个题目能很轻松的做出来.大家去看二叉树经典OJ练习-CSDN博客,里面进行了详细的讲解.

2.2 层序遍历

**层序遍历：**除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根结点所在 层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第2层 上的结点，接着是第三层的结点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

上图层序遍历的结果为:A B C D E F G H I

代码实现:

cpp 复制代码 
void TreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
		QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		printf("%d ", front->data);

		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);

		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}

	QueueDestroy(&q);
}

具体步骤：

  1. 初始化队列：

    初始化一个队列并将根节点入队。如果根节点为空，则直接跳过。

  2. 层序遍历：

    使用队列进行层序遍历。每次取出队列中的节点，打印节点的值，并将该节点的左右子节点分别入队。

  3. 清理资源：

    销毁队列，释放资源。

这里需要用到队列的知识,使其能一层一层的遍历二叉树,对队列还不清楚的宝子们,可以看看下面的博客--数据结构之队列的超详细讲解-CSDN博客

练习：

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（A ）

A ABDHECFG

B ABCDEFGH

C HDBEAFCG

D HDEBFGCA

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK; 中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为（A）

A E

B F

C G

D H

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为__D__。

A adbce

B decab

C debac

D abcde

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列A

A FEDCBA

B CBAFED

C DEFCBA

D ABCDEF

解答:

1. 完全二叉树按层次输出的序列为 ABCDEFGH ，该完全二叉树的前序序列为（A）

根据完全二叉树的定义，给出的层次遍历序列 ABCDEFGH 可以直接构建出二叉树，其中：

  • 根节点是 A
  • 第二层是 B 和 C
  • 第三层是 D, E, F, G
  • 第四层是 H

从这个结构我们可以推导前序遍历：

  • 前序遍历是根 -> 左子树 -> 右子树
  • 根是 A
  • 左子树的前序遍历是 B -> D -> H -> E
  • 右子树的前序遍历是 C -> F -> G

因此，前序遍历是：ABDHECFG

答案是 A：ABDHECFG

2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：

先序遍历：EFHIGJK; 中序遍历：HFIEJKG

从先序遍历可以看出根结点是 E。根据中序遍历，E 左边的部分是左子树，右边的部分是右子树：

  • 中序遍历分割为: 左子树 HFI 和右子树 EJKG
  • 按照先序遍历的顺序，E 后面的字符分别属于左子树和右子树：
    • 左子树的先序遍历是 FHI
    • 右子树的先序遍历是 JKG

所以，根结点是 E。

答案是 A：E

3. 二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca

从后序遍历可以看出根结点是 a。根据中序遍历，a 左边的是左子树，右边的是右子树：

  • 中序遍历分割为: 左子树 b 和右子树 dce
  • 后序遍历的顺序，左子树的顺序是 b，右子树的顺序是 dec

前序遍历是根 -> 左子树 -> 右子树：abcde

答案是 D：abcde

4. 二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF

这意味着每个节点只有一个子节点，并且这些节点按顺序排列，如果它们按层次输出，那么最深的节点将排在最后。

如果后序遍历和中序遍历相同：

  • 最右边的节点（即最后一个节点）是树的根节点
  • 其余节点依次按照层次遍历的顺序向左添加

按层次遍历从根开始，从层次的最右边开始，因此应该是 F -> E -> D -> C -> B -> A

答案是 A：FEDCBA

3.结点个数以及高度等

3.1二叉树节点个数

这里大家很容易写出错误代码,比如:

cpp 复制代码 
int TreeSize(BTNode* root)
{
	int size = 0;
	if (root == NULL)
		return 0;
	else
		++size;

	TreeSize(root->left);
	TreeSize(root->right);

	return size;
}

这段代码看起来非常好理解,相当于进行了一次前序遍历,将遍历的节点进行返回.

在这个函数中，size 是一个局部变量，每次调用 TreeSize 时都会重新初始化为 0。让我们逐步分析一下这个函数的行为。

分析:

  1. 当 root == NULL 时，函数直接返回 0。这是树为空的情况。

  2. 如果 root 不为 NULL：

    • int size = 0; 初始化 size 为 0。
    • ++size; 将 size 增加 1，所以 size 现在为 1。

  3. 然后递归调用 TreeSize(root->left) 和 TreeSize(root->right)，但是这些调用的返回值并没有被使用或累加到 size 上。

  4. 因此，无论左右子树中有多少节点，这些递归调用的结果都不会影响当前函数中的 size 变量。每次递归调用都会在自己的栈帧中初始化一个新的 size 变量，并且最终返回 1 或 0。

函数递归展开图:

用static进行改进:

cpp 复制代码 
int TreeSize(BTNode* root)
{
	static int size = 0;
	if (root == NULL)
		return 0;
	else
		++size;

	TreeSize(root->left);
	TreeSize(root->right);

	return size;
}

static 变量在整个程序运行期间只会被初始化一次,这样就避免了局部变量一直的初始化

结果如下:

结果是没有问题的,可是当我们多次调用呢?

这里我重复调用三次:

结果如下:

正是因为 static 变量在整个程序运行期间只会被初始化一次,所以如果你多次用 TreeSize 函数，size 会一直累积之前的计算结果，而不会重新开始计算新的树的大小。

正确代码:

cpp 复制代码 
int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 :
		TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

为了修正这些问题，可以将递归调用的结果累加到 size 中，并将最终的 size 值作为函数的返回值。

函数递归展开图:

这段代码利用递归的方式计算二叉树的节点总数，通过递归遍历所有节点，实现了对整个二叉树的全面统计。递归的基准情况是遇到空节点返回 0，而在非空节点情况下，递归地计算左右子树的大小并进行累加，从而获得整棵树的节点总数。

3.2二叉树叶子节点个数

补充一下什么是叶子节点:

没有子树的节点叫做叶子节点,也称度为0的节点

代码展示:

cpp 复制代码 
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;

	return TreeLeafSize(root->left)
		+ TreeLeafSize(root->right);
}

分析

  1. 基准情况：

    • 如果 root 为 NULL，则树为空，没有叶节点。因此，返回 0。

  2. 叶节点情况：

    • 如果 root 的左子节点和右子节点都为 NULL，那么当前节点为叶节点。因此，返回 1。

  3. 递归情况：

    • 如果当前节点不是叶节点，则递归计算其左、右子树中的叶节点数量，并将它们加起来。
    • 通过递归调用 TreeLeafSize(root->left) 和 TreeLeafSize(root->right) 来分别计算左、右子树中的叶节点数量，并将结果相加。

递归展开图:

结果如下:

结果为3,没有问题

3.3二叉树第k层节点个数

代码展示:

cpp 复制代码 
int TreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	if (k == 1)
		return 1;

	// 子问题
	return TreeLevelKSize(root->left, k - 1)
		+ TreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

函数递归展开图:

分析

  1. 基础情况处理：

    • if (root == NULL) return 0;：如果当前节点 root 为空，则返回 0。这是递归的终止条件之一，表示空节点没有子节点，因此在任何层级上都没有节点。

    • if (k == 1) return 1;：当 k 等于 1 时，表示已经递归到目标层级。根据题设，每个节点自身被视为一个层级，因此返回 1。

  2. 递归调用：

    return TreeLevelKSize(root->left, k - 1) + TreeLevelKSize(root->right, k - 1);如果当前节点 root 不为空且 k > 1，则递归调用 TreeLevelKSize 函数来计算左子树和右子树中第 k-1 层级的节点数目。最终返回的是左子树第 k-1 层级节点数目和右子树第 k-1 层级节点数目的和。

3.4二叉树查找值为x的节点

代码展示:

cpp 复制代码 
BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	if (root->data == x)
		return root;

	BTNode* ret1 = TreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;

	BTNode* ret2 = TreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

函数递归展开图:

分析

  1. 基础情况处理：

    • if (root == NULL) return NULL;：如果当前节点 root 为空，则直接返回 NULL，表示未找到目标节点。

    • if (root->data == x) return root;：如果当前节点的值等于 x，则返回当前节点 root，表示已找到目标节点。

  2. 递归查找：

    • BTNode* ret1 = TreeFind(root->left, x);

      • 递归在左子树中查找值为 x 的节点。如果找到了（即 ret1 不为 NULL），直接返回 ret1。

    • BTNode* ret2 = TreeFind(root->right, x);

      • 如果左子树中未找到目标节点，继续递归在右子树中查找值为 x 的节点。如果找到了（即 ret2 不为 NULL），直接返回 ret2。

  3. 返回结果：

    • 如果在当前节点及其左右子树中都未找到值为 x 的节点，则返回 NULL，表示整棵树中没有该节点。

3.5二叉树的高度

代码一:

cpp 复制代码 
int TreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	return TreeHeight(root->left) > TreeHeight(root->right) ?
		TreeHeight(root->left) + 1 : TreeHeight(root->right) + 1;
}

分析

  1. 基准情况：

    • 如果 root 为 NULL，则树为空，高度为 0。因此，返回 0。

  2. 递归情况：

    • 如果当前节点不为空，则递归计算其左、右子树的高度，并返回较大的那个值加上 1。
    • 通过递归调用 TreeHeight(root->left) 和 TreeHeight(root->right) 来分别计算左、右子树的高度。
    • 使用条件运算符 ? : 来比较左、右子树的高度，并将较大的那个值加上 1 返回。

这个解法是没有问题的,但是它的时间效率不高,它在递归过程中有的值会重复计算多次

函数递归展开图:

我们可以看到,我们每次计算出左右子树的高度后,并不会进行记录,导致我们比较完成后还需要进行递归计算,导致效率不高

代码二:

cpp 复制代码 
int TreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	int leftHeight = TreeHeight(root->left);
	int rightHeight = TreeHeight(root->right);

	return leftHeight > rightHeight ?
		leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}

函数递归展开图:

可以发现我们用两个变量存储之后,每次我们都只需要一次,避免了重复计算,提高了时间效率

这里大家可以试一试,在力扣上面右一道计a算二叉树的深度,如果你使用第一种代码,只通过了35个例子,超时了,因为后面的例子数据庞大,如果你使用第一种方案,最低层的值会被重复计算很多次,导致超出时间限制

而我们用第二种方法,能很顺利的通过

下面是原题链接:

--LCR 175. 计算二叉树的深度 - 力扣（LeetCode）

4.二叉树的创建和销毁

4.1通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树

代码展示:

cpp 复制代码 
BTNode* CreateTree(char* a, int* pi)
{
	if (a[*pi] == '#')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	root->data = a[(*pi)++];
	root->left = CreateTree(a, pi);
	root->right = CreateTree(a, pi);
	return root;
}

函数递归展开图:

函数分析：

  1. 参数：

    • char* a：存储先序遍历序列的字符数组，包含节点的数据和 '#' 表示的空节点。
    • int* pi：指向当前处理的字符在数组 a 中的索引的指针。

  2. 返回值：

    • BTNode*：返回值是指向根节点 BTNode 结构体的指针。

  3. 递归过程：

    • 如果当前字符是 '#'，表示遇到空节点，函数会返回 NULL，并且将指针 pi 向后移动一位。
    • 如果当前字符不是 '#'，则创建一个新的节点，将当前字符作为节点的数据，并将指针 pi 向后移动一位。
    • 然后递归调用 CreateTree 函数来构建左子树和右子树，分别将它们赋给当前节点的 left 和 right 指针。

  4. 返回根节点：

    • 最后返回根节点的指针。

4.2二叉树销毁

代码展示:

cpp 复制代码 
// 二叉树销毁
void TreeDestory(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return;

	TreeDestory(root->left);
	TreeDestory(root->right);
	free(root);
}

函数递归展开图:

函数分析：

  1. 检查根节点是否为空：

    • 如果传入的根节点 root 为 NULL，说明树为空或者已经到达叶子节点的子节点（即空节点），直接返回，不进行任何操作。

  2. 递归销毁左子树：

    • 调用 TreeDestory(root->left) 递归地销毁左子树。此调用会一直递归到最左子节点，然后逐级返回并销毁每个节点。

  3. 递归销毁右子树：

    • 调用 TreeDestory(root->right) 递归地销毁右子树。此调用会一直递归到最右子节点，然后逐级返回并销毁每个节点。

  4. 释放当前节点的内存：

    • 在左右子树都被销毁后，最后释放当前节点的内存 free(root)。

4.3判断二叉树是否时完全二叉树

代码展示:

cpp 复制代码 
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool TreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
		QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		// 遇到第一个空，就可以开始判断，如果队列中还有非空，就不是完全二叉树
		if (front == NULL)
		{
			break;
		}

		QueuePush(&q, front->left);
		QueuePush(&q, front->right);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		// 如果有非空，就不是完全二叉树
		if (front)
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
	}

	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

具体步骤：

  1. 初始化队列：

    初始化一个队列并将根节点入队。如果根节点为空，则直接跳过。

  2. 层序遍历：

    使用队列进行层序遍历。每次取出队列中的节点，如果遇到空节点（NULL），则退出该循环。否则，将该节点的左右子节点分别入队。

  3. 检测后续节点：

    继续检查队列中剩余的节点。如果存在非空节点，则树不是完全二叉树，返回 false。否则，继续检查直到队列为空。

  4. 清理与返回：

    销毁队列，释放资源，并返回 true 表示该二叉树是完全二叉树。

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