树形DP——AcWing 323. 战略游戏

树形DP

定义

树形动态规划（Tree Dynamic Programming，简称树形DP）是一种在树形结构上应用动态规划算法的技术。它利用树的递归结构，通过定义状态和状态转移方程，来求解与树相关的最优化问题，如树上的最长路径、最小路径覆盖、最大独立集等。与传统的线性动态规划相比，树形DP更侧重于利用树的子结构特性，递归地解决问题，从叶子节点到根节点或反之进行状态的累积和更新。

运用情况

1. 树的最长路径问题：给定一个树，找出一条路径，使得该路径上所有边的权值之和最大。
2. 数字转换问题：在不超过 n 的正整数范围内进行数字变换，求不断进行数字变换且不出现重复数字的最多变换步数。
3. 树的中心问题：给定一棵树，找到一个点，使得该点到树中其他结点的最远距离最近。
4. 没有上司的舞会问题：在一棵以校长为根的树中，每个职员有一个快乐指数，且没有职员愿意和直接上司一起参会，求邀请一部分职员参会使得所有参会职员的快乐指数总和最大。
5. 路径问题：如求解树中两个节点间的最大距离、树的直径等。
6. 子树问题：找出具有特定性质的子树，如最大权独立集、最小割集等。
7. 计数问题：统计满足特定条件的子树数量，如完美子树的数量、具有特定性质的路径数量等。
8. 优化问题：在树上分配资源，使得某个指标最大化或最小化，如最小化涂色成本、最大化收集的资源等。

注意事项

1. 树形 DP 的 for 循环能优化就优化，比如取 j=min(size(x),m)，k<=min(size(x),m) 之类的，否则很容易 TLE。
2. 要考虑清楚不合法状态是否会对答案产生影响，如果有就要 memset(dp,-1,sizeof(dp)) 和初始化，树形 DP 中跳过 dp(x)(j)=-1 和 dp(x)(k-j)=-1 之类情况。
3. 状态定义：正确定义状态是关键，通常包括节点的选择状态（是否包含当前节点）和其他与问题相关的附加信息。
4. 状态转移：明确状态之间的依赖关系，设计合理的状态转移方程，通常从子节点到父节点进行信息传递。
5. 边界条件：处理好边界情况，如树的叶子节点或只有一个节点的子树。
6. 记忆化搜索：由于树形DP往往涉及大量的重复计算，使用记忆化搜索可以避免重复计算，提高效率。
7. 递归/迭代实现：根据具体情况选择合适的实现方式，递归通常更直观，迭代则可能在空间复杂度上有优势。

解题思路

1. 确定状态表示：需要根据具体问题确定状态表示，通常是以节点为基本单位，记录每个节点的相关信息。
2. 定义状态转移方程：根据问题的要求，确定状态之间的转移关系，即如何从一个状态转移到另一个状态。
3. 确定边界条件：明确问题的边界情况，例如根节点的状态或者叶子节点的状态。
4. 进行递归计算：根据状态转移方程，从根节点开始递归地计算每个节点的状态。
5. 求解最优解：根据计算得到的状态值，求解问题的最优解。
6. 分析问题：首先明确问题的求解目标，识别出问题中的"最优子结构"，即问题的解可以由其子问题的解组合得出。
7. 定义状态：基于问题特点，定义状态表示每个节点或子树在求解过程中的信息，通常包括是否选择该节点、子树的某些属性等。
8. 设计状态转移方程：根据问题性质，确定状态如何从子树转移到父节点，即如何通过子节点的信息计算出父节点的信息。
9. 初始化：确定基础情况，如叶子节点的初始状态。
10. 实现：使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）遍历树，并根据状态转移方程计算每个状态的值，通常使用记忆化或递推实现。
11. 回溯获取答案：根据最终状态，回溯获得问题的最优解。

AcWing 323. 战略游戏

题目描述

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运行代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2000, M = 4000;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int n;
int f[N][2];
int st[N];
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b; ne[idx] = h[a]; h[a] = idx ++;
}
void dfs(int u)
{
    f[u][1] = 1, f[u][0] = 0;
    for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        dfs(j);
        f[u][0] += f[j][1];
        f[u][1] += min(f[j][0], f[j][1]);
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d", &n) == 1)
    {
        memset(h, -1, sizeof h);
        memset(st, 0, sizeof st);
        idx = 0;
        for(int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            int id, cnt;
            scanf("%d:(%d)", &id, &cnt);
            while(cnt --)
            {
                int ver;
                scanf("%d", &ver);
                add(id, ver);
                st[ver] = true;
            }
        }
        int root = 0;
        while(st[root]) root ++;
        dfs(root);
        printf("%d\n", min(f[root][0], f[root][1]));
    }
    return 0;
}

代码思路

1. 数据结构定义:

   • 使用邻接表表示树结构，其中h[N]是头节点数组，e[M]是边的终点数组，ne[M]是下一个兄弟节点的索引数组，idx用于记录当前使用的边的索引。
   • f[N][2]是一个二维状态数组，其中f[u][0]表示以节点u为根的子树中选择不包含该节点的方案数，f[u][1]表示包含该节点的方案数。
   • st[N]标记数组，用来记录某个节点是否已被其他节点直接连接过，辅助找到树的根节点。

2. 输入处理:

   • 读取整数n表示节点数量。
   • 接收每行输入，格式为"节点ID:(直接子节点数量) 子节点1 子节点2 ..."，并构建邻接表表示的树结构。

3. 寻找根节点 :通过遍历st[]数组找到没有直接父节点的节点作为树的根，初始化为0。

4. 深度优先搜索（DFS）:

   • 从根节点开始进行深度优先搜索，递归遍历整棵树。
   • 对于每个节点u，先假设自己不被选中（f[u][1]=1，表示以自己为根的子树至少有一种情况是选中自己的），不选中父节点的方案数默认为0（f[u][0]=0）。
   • 遍历所有子节点，递归调用DFS更新f[u][0]和f[u][1]的值。f[u][0] += f[j][1]意味着考虑不选当前节点时，子节点可选择不包含自己的方案数累加；f[u][1] += min(f[j][0], f[j][1])则是考虑选当前节点时，子节点可以自由选择是否包含自己，取最小值是因为我们要找的是最小方案数。

5. 输出结果 :最终，输出根节点的f[root][0]和f[root][1]中的最小值，即为满足条件的最小方案数。

改进思路

1. 增加注释：提高代码的可读性，特别是对于复杂逻辑的部分，通过注释说明每段代码的目的。
2. 变量命名清晰：使变量名更具描述性，便于理解每个变量的用途。
3. 常量分离：将数组大小等硬编码的常量提取为定义在顶部的常量，便于维护和修改。
4. 函数封装：将部分功能（如读取树的构建）封装成独立的函数，提高代码模块化。
5. 去除全局变量的过度依赖：尽量减少全局变量的使用，使用函数参数传递必要信息。62.