前言

写这篇文章的时候，本蒟蒻正在挑战3个月达省一；

之前一直对模运算耿耿于怀十分好奇，遂决定，今天拿下；

最后在正文开始之前放一个搞笑的东西：

关于模运算的定义

我们先定义带余除法 （其实就是除法）：
$设两个数 a,m \in \symbb{Z}, m \not= 0,则a、m的带余除法定义为：$

存在唯一的整数q、r（r必须大于等于0），使得

\ $a = qm+r \\$

我们记a模m为： $a \bmod m$

我们把 $q$ 称做商，$r$ 称做余数（也称a模m的结果），记作：

\ $r = a \\bmod m \\$

关于114514 & 998244353

在 OI 中，模运算最直接的用处就是解决一些需要处理带模运算的题目；

而 $114514$ 和 $998244353$ 这两个神奇的模数就不得不提一下了：

$114514$ 请自行百度（主要是我也没查出来什么）， $998244353$ 有如下的几个特点：

1.它的二进制表达是：111011100000000000000000000001

2.它是一个质数。

3.它是一个奇数。

4.它可以表达为两个数的平方和：$998244353 = 3943^2 + 31348^2$

5.它是勾股数之一：$998244353^2 = 247210328^2 + 967149855^2$

6.它可以被表达为：$998244353 = 7 \times 17 \times 2^{23} + 1$

7.998244353最优美的性质莫过于它是个完美恶臭数：

\ $998244353=( 114514 \* ( 54-1+114 \* (1+14\*5+1+4) ) ) + ( 4+11451 \* (4-1-15+14) ) + ( 11+41\*54 + (141+541) ) + (4-1-15+14) \\$

之所以称为完美，因为每一个括号里114514都出现了正整数次；

Tips ：$998244353$ 最大的一个特点是：出题人 $99\%$ 的情况下是不会使用这个数的，取而代之的是 $998234353$ 、$998244553$ ，不过应该没人会栽在上面

模运算的两个等式

\ $\\S 1. (a+b) \\bmod m = ((a \\bmod m)+(b \\bmod m)) \\bmod m \\$

\ $\\S 2. (a \\times b) \\bmod m = ((a \\bmod m) \\times (b \\bmod m)) \\bmod m \\$

这两个是经常会用到的等式，大部分的OI题目都要求取模

但是通常情况下，这时的结果都远远超出了int型的范围，我们需要在运算过程中就直接取模，而这步的正确性就是依赖于上面的两个等式

下面我们来证明一下：

证明1:

依据带余除法，我们设 $a = q_1m + r_1,$ $b = q_2m + r_2$，那么带入等式左边，我们有：

\ $(a+b)\\bmod m = (q_1m+r_1+q_2m+r_2) \\bmod m \\$

更进一步，合并同类项：

\ $原式 = ((q_1+q_2)m+r_1+r_2) \\bmod m \\$

引入一个定理：

$a \bmod m$ 的结果与 $(a+k \times m) \bmod m$ 是一样的，通俗来说，就是一个数除以另一个数的余数，与这个数加上任意倍的除数之后除以除数的余数是一样的

显然，这里相当于有一个商为 $(q_1+q_2)$ ,余数为 $r_1+r_2$ 的数模 $m$ ,当然就等于直接对 $r_1+r_2$ 模 $m$ （不妨自己试一下，$9 \bmod 2$ 和 $1 \bmod 2$一不一样）

所以我们有：

\ $((q_1+q_2)m+r_1+r_2) \\bmod m = (r_1+r_2) \\bmod m \\$

而 $r_1,r_2$ 就是 $a \bmod m$ ,$b \bmod m$ ,带入得：

\ $(r_1+r_2) \\bmod m = ((a \\bmod m)+(b \\bmod m)) \\bmod m \\$

证毕

证明2:

仍然依据带余除法，我们设 $a = q_1m + r_1,$ $b = q_2m + r_2$，那么带入等式左边，我们有：

\ $(a \\times b)\\bmod m = ((q_1m+r1) \\times (q_2m + r_2)) \\bmod m \\$

展开：

\ $= (q_1q_2m\^2+(q_1r_2+q_2r_1)m+r_1r_2) \\bmod m \\$

这里括号内的前两项仍然是 $m$ 的倍数，所以可以和1一样进行替换

\ $= (r_1r_2) \\bmod m \\$

而 $r_1$ 、$r_2$ 分别是 $a \bmod m$ ,$b \bmod m$ ,带入得：

\ $= ((a \\bmod m) \\times (b \\bmod m)) \\bmod m \\$

证毕

同余

如果在计算过程中出现了负数，应该如何处理呢(也就是对负数取模，这里不能直接取，这样是负的)？

我们回归问题的本质：求出这个负数除以m的余数

也就是说，我们只要找到一个和这个负数除以m的余数一样的正数，就可以找到这个负数除以m的余数，而所谓的"和这个负数除以m的余数一样的正数"，简称和这个负数同余（具有同样的余数）

当然，仅说同余是没有意义的，我们需要指定模数（除数），才是有意义的；

具体而言：假如有两个整数 $x,y$ ，若 $(x-y) \bmod m = 0$ ,则称 $x,y$ 在模 $m$ 意义下同余（具有同样的余数）

为什么差是倍数就同余呢 ，仍然依据带余除法，我们设 $x = q_1m + r_1,$ $y = q_2m + r_2$，那么带入等式左边，我们有：

\ $原式 = ((q_1-q_2)m+(r_1-r_2)) \\bmod m \\$

而因为这玩意为0，所以 $(q_1-q_2)m+(r_1-r_2)$ 必然是 $m$ 的倍数，也就是能写成 $n \times m$的形式（ $n$ 是一个整数），显然，$n = q_1-q_2$ ,所以 $r_1 - r_2 = 0$，也就是说，$r_1 = r_2$ ，即 $x,y$ 同余;

现在给出定义：对于任意的两个数 $x,y$ ，若有 $(x-y) \bmod m = 0$ ,那么我们称 $x,y$ 在模 $m$ 意义下同余，记为：

\ $x \\equiv y\\pmod m \\$

那么回到最初的问题：如何找到和这个负数同余的正数；

我们假设这个数是 $-15$，根据同余的定义，我们有：$-15 \equiv 5 \pmod{10}$ ($-15-5 = -20 \bmod 10 = 0$ ，显然-20是10的-2倍)

那么怎样从 $-15$ 推出 $5$ 来呢？

我们使用 「模m加m」 的方法，即先模m得到一个负数，随后加上m，就得到了和m同余的正数：
$-15 \bmod 10 = -5$，$-5+10 = 5$,这样就得到了5，随后再对5模10即可（这里的负余数-5是大部分的编程语言的默认做法，但是不符合数学定义）；

对于对一个不知正负的数字 $x$ 取模，我们进行如下计算：
$x \bmod m = (x \bmod m + m) \bmod m$

最后

到这里这篇介绍模运算的文章就结束了（当然不包含对除法的取模，这个比较复杂，需要适当了解群论和乘法逆元），可能会有笔误，欢迎各位指正