关于模运算

前言

写这篇文章的时候，本蒟蒻正在挑战3个月达省一；

之前一直对模运算耿耿于怀十分好奇，遂决定，今天拿下；

最后在正文开始之前放一个搞笑的东西：

关于模运算的定义

我们先定义带余除法 （其实就是除法）：
\(设两个数 a,m \in \symbb{Z}, m \not= 0,则a、m的带余除法定义为：\)

存在唯一的整数q、r（r必须大于等于0），使得

\[a = qm+r \]

我们记a模m为： \(a \bmod m\)

我们把 \(q\) 称做商，\(r\) 称做余数（也称a模m的结果），记作：

\[r = a \bmod m \]

关于114514 & 998244353

在 OI 中，模运算最直接的用处就是解决一些需要处理带模运算的题目；

而 \(114514\) 和 \(998244353\) 这两个神奇的模数就不得不提一下了：

\(114514\) 请自行百度（主要是我也没查出来什么）， \(998244353\) 有如下的几个特点：

1.它的二进制表达是：111011100000000000000000000001

2.它是一个质数。

3.它是一个奇数。

4.它可以表达为两个数的平方和：\(998244353 = 3943^2 + 31348^2\)

5.它是勾股数之一：\(998244353^2 = 247210328^2 + 967149855^2\)

6.它可以被表达为：\(998244353 = 7 \times 17 \times 2^{23} + 1\)

7.998244353最优美的性质莫过于它是个完美恶臭数：

\[998244353=( 114514 * ( 54-1+114 * (1+14*5+1+4) ) ) + ( 4+11451 * (4-1-15+14) ) + ( 11+41*54 + (141+541) ) + (4-1-15+14) \]

之所以称为完美，因为每一个括号里114514都出现了正整数次；

Tips ：\(998244353\) 最大的一个特点是：出题人 \(99\%\) 的情况下是不会使用这个数的，取而代之的是 \(998234353\) 、\(998244553\) ，不过应该没人会栽在上面

模运算的两个等式

\[\S 1. (a+b) \bmod m = ((a \bmod m)+(b \bmod m)) \bmod m \]

\[\S 2. (a \times b) \bmod m = ((a \bmod m) \times (b \bmod m)) \bmod m \]

这两个是经常会用到的等式，大部分的OI题目都要求取模

但是通常情况下，这时的结果都远远超出了int型的范围，我们需要在运算过程中就直接取模，而这步的正确性就是依赖于上面的两个等式

下面我们来证明一下：

证明1:

依据带余除法，我们设 \(a = q_1m + r_1,\) \(b = q_2m + r_2\)，那么带入等式左边，我们有：

\[(a+b)\bmod m = (q_1m+r_1+q_2m+r_2) \bmod m \]

更进一步，合并同类项：

\[原式 = ((q_1+q_2)m+r_1+r_2) \bmod m \]

引入一个定理：

\(a \bmod m\) 的结果与 \((a+k \times m) \bmod m\) 是一样的，通俗来说，就是一个数除以另一个数的余数，与这个数加上任意倍的除数之后除以除数的余数是一样的

显然，这里相当于有一个商为 \((q_1+q_2)\) ,余数为 \(r_1+r_2\) 的数模 \(m\) ,当然就等于直接对 \(r_1+r_2\) 模 \(m\) （不妨自己试一下，\(9 \bmod 2\) 和 \(1 \bmod 2\)一不一样）

所以我们有：

\[((q_1+q_2)m+r_1+r_2) \bmod m = (r_1+r_2) \bmod m \]

而 \(r_1,r_2\) 就是 \(a \bmod m\) ,\(b \bmod m\) ,带入得：

\[(r_1+r_2) \bmod m = ((a \bmod m)+(b \bmod m)) \bmod m \]

证毕

证明2:

仍然依据带余除法，我们设 \(a = q_1m + r_1,\) \(b = q_2m + r_2\)，那么带入等式左边，我们有：

\[(a \times b)\bmod m = ((q_1m+r1) \times (q_2m + r_2)) \bmod m \]

展开：

\[= (q_1q_2m^2+(q_1r_2+q_2r_1)m+r_1r_2) \bmod m \]

这里括号内的前两项仍然是 \(m\) 的倍数，所以可以和1一样进行替换

\[= (r_1r_2) \bmod m \]

而 \(r_1\) 、\(r_2\) 分别是 \(a \bmod m\) ,\(b \bmod m\) ,带入得：

\[= ((a \bmod m) \times (b \bmod m)) \bmod m \]

证毕

同余

如果在计算过程中出现了负数，应该如何处理呢(也就是对负数取模，这里不能直接取，这样是负的)？

我们回归问题的本质：求出这个负数除以m的余数

也就是说，我们只要找到一个和这个负数除以m的余数一样的正数，就可以找到这个负数除以m的余数，而所谓的"和这个负数除以m的余数一样的正数"，简称和这个负数同余（具有同样的余数）

当然，仅说同余是没有意义的，我们需要指定模数（除数），才是有意义的；

具体而言：假如有两个整数 \(x,y\) ，若 \((x-y) \bmod m = 0\) ,则称 \(x,y\) 在模 \(m\) 意义下同余（具有同样的余数）

为什么差是倍数就同余呢 ，仍然依据带余除法，我们设 \(x = q_1m + r_1,\) \(y = q_2m + r_2\)，那么带入等式左边，我们有：

\[原式 = ((q_1-q_2)m+(r_1-r_2)) \bmod m \]

而因为这玩意为0，所以 \((q_1-q_2)m+(r_1-r_2)\) 必然是 \(m\) 的倍数，也就是能写成 \(n \times m\)的形式（ \(n\) 是一个整数），显然，\(n = q_1-q_2\) ,所以 \(r_1 - r_2 = 0\)，也就是说，\(r_1 = r_2\) ，即 \(x,y\) 同余;

现在给出定义：对于任意的两个数 \(x,y\) ，若有 \((x-y) \bmod m = 0\) ,那么我们称 \(x,y\) 在模 \(m\) 意义下同余，记为：

\[x \equiv y\pmod m \]

那么回到最初的问题：如何找到和这个负数同余的正数；

我们假设这个数是 \(-15\)，根据同余的定义，我们有：\(-15 \equiv 5 \pmod{10}\) (\(-15-5 = -20 \bmod 10 = 0\) ，显然-20是10的-2倍)

那么怎样从 \(-15\) 推出 \(5\) 来呢？

我们使用 「模m加m」 的方法，即先模m得到一个负数，随后加上m，就得到了和m同余的正数：
\(-15 \bmod 10 = -5\)，\(-5+10 = 5\),这样就得到了5，随后再对5模10即可（这里的负余数-5是大部分的编程语言的默认做法，但是不符合数学定义）；

对于对一个不知正负的数字 \(x\) 取模，我们进行如下计算：
\(x \bmod m = (x \bmod m + m) \bmod m\)

最后

到这里这篇介绍模运算的文章就结束了（当然不包含对除法的取模，这个比较复杂，需要适当了解群论和乘法逆元），可能会有笔误，欢迎各位指正