算法题 — 接雨水

给定 n 给非负整数，表示每个宽度为 1 的柱子的高度图，计算按照此排列的柱子，下雨之后能能接到多少雨水。

输入：height = $0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1$

输出：6

解释：上面是由数组 $0, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 1$ 表示的高度图，在这种情况袭，可以接住 6 个单位雨水（蓝色部分表示雨水）。

就是用一个数组表示一个条形图，问这个条形图最多能接多少水。

1 暴力解法

具体来讲，对于位置 i 能装下多少水呢？

能装下 2 格。为什么呢？因为位置 i 处能达到的水柱的高度和其左边的最高柱子、右边的最高柱子有关。其左边最高柱子的高度是 2，其右边最高柱子的高度是 3，因为 height $i$ 的高度是 0，所以位置 i 处能装下 2 格的水。

这里我们假设左右两个最高柱子的高度分别为 leftMax 和 rightMax，位置 i 处的水柱高度就是 min(leftMax, rightMax) - height $i$ 。

根据以上的思路：

kotlin 复制代码

fun trap(height: Array<Int>): Int {
    val n = height.size
    var res = 0

    // 位置 0 和位置 n - 1 处无法存储水
    for (i in 1 until n - 1) {
        var leftMax = 0 // 位置 i 处左边最高的柱子
        var rightMax = 0 // 位置 i 处右边最高的柱子

        // 寻找左边最高的柱子，这里到 i 是因为后面要 -height[i]
        for (j in 0..i) {
            leftMax = leftMax.coerceAtLeast(height[j])
        }
        // 寻找右边最高的柱子，这里从 i 开始是因为后面要 -height[i]
        for (j in i until n) {
            rightMax = rightMax.coerceAtLeast(height[j])
        }

        res += leftMax.coerceAtMost(rightMax) - height[i]
    }

    return res
}

2 备忘录优化

在暴力算法中，需要计算每个位置的 leftMax 和 rightMax，我们可以直接先把结果计算出来，不需要每次都遍历。

定义两个数组 leftMax 和 rightMax 充当备忘录，leftMax $i$ 表示位置 i 左边最高的柱子高度，rightMax $i$ 表示位置 i 右边最高的柱子高度。预先把这两个数组准备好，避免重复计算：

kotlin 复制代码

fun trap(height: Array<Int>): Int {
    val n = height.size
    var res = 0

    // 数组备忘录
    val leftMax = IntArray(n)
    val rightMax = IntArray(n)

    // 初始化
    leftMax[0] = height[0]
    rightMax[n - 1] = height[n - 1]

    for (i in 1 until n) {
        leftMax[i] = height[i].coerceAtLeast(leftMax[i - 1])
    }

    for (i in n - 2 downTo 0) {
        rightMax[i] = height[i].coerceAtLeast(rightMax[i + 1])
    }

    for (i in 1 until n - 1) {
        res += leftMax[i].coerceAtMost(rightMax[i]) - height[i]
    }

    return res
}

备忘录算法和暴力算法的思路差不多，就是避免了重复计算。

4 双指针解法

kotlin 复制代码

fun trap(height: Array<Int>): Int {
    val n = height.size
    var res = 0

    var left = 0
    var right = n - 1

    // 左边最高柱子的高度和右边最高柱子的高度
    var leftMax = height[0]
    var rightMax = height[n - 1]

    while (left < right) {
        leftMax = leftMax.coerceAtLeast(height[left])
        rightMax = rightMax.coerceAtLeast(height[right])

        if (leftMax < rightMax) { // 左边的柱子低于右边柱子的高度，水的高度只和较低的柱子有关
            res += leftMax - height[left]
            left++
        } else { // 右边的柱子低于左边柱子的高度，水的高度只和较低的柱子有关
            res += rightMax - height[right]
            right--
        }
    }

    return res
}