图论：图的相关定义

图

图(graph) 是最底层的数据结构，其他所有数据结构的本质都是一张图，都是由节点和节点之间的位置关系决定的数据结构的性质。

1. 定义

1.1 节点

节点也被称为顶点(Vertex) 是图的基本单位，通常会存储一个对象或者实体，图中的节点通过边连接起来构成一张图

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class Node{
    /*
     *这里的obj对象可以是任意对象或者数据
     *比如存储一个Student类，或者存储一个int型整数
     */
    Object obj;
    /*
     *每个节点都通过边的关系与其他节点连接起来
     */
    vector<Edge> edges;
}

1.2 边

边(Edge) 是用来表示图中的点直接的关系的对象，通常会存储 出发节点和目标节点以及边的权重 。

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class Edge{
    /*
     *用来储存边的权重
     */
    double weight;
    /*
     *表示边的出发节点
     */
    Node start;
    /*
     *表示边的终点
     */
    Node end;
}

1.3 图的分类

图可以根据边的属性分成不同种类的图，但本质上，边和节点的属性是相同的，只是由于不同的定义和使用场景而有所区分。

1.3.1 无权图

无权图 是指边没有权重或者所有边的权重被视为等同。无权图通常用于表示纯连接关系，而不涉及任何与边相关的数值信息。

如果图中每条边的权重都相同，那么这个图可以被看成是一个无权图

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class Edge{
    /*
     *每条边的权重都相同
     */
    static const double EDGE_WIGHT;
     /*
     *表示边的出发节点
     */
    Node* start;
    /*
     *表示边的终点
     */
    Node* end;
}

1.3.2 有权图

有权图 是指存在不同权重的边的图。有权图通常可以用于表示非纯连接关系 ，会涉及与边相关的数值信息

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class Edge{
    /*
     *存在不同权重的边
     */
    double weight;
     /*
     *表示边的出发节点
     */
    Node* start;
    /*
     *表示边的终点
     */
    Node* end;
}

1.3.3 无向图

无向图 是指图中每对有连接关系的节点都互为终点

数学表示
∀ E d g e ( u , v , w ) ∈ G r a p h → E d g e ( v , u , w ) ∈ G r a p h \forall Edge_{(u,v,w)} \in Graph \to Edge_{(v,u,w)} \in Graph ∀Edge(u,v,w)∈Graph→Edge(v,u,w)∈Graph

无向图的示例

a<---->b<---->c (每个双向链表都可以看成一个无权无向图)

等效

a ----- b ----- c

1.3.4 有向图

有向图 是指图中不是每对有连接关系的节点都互为终点

数学表示
∃ E d g e ( u , v , w ) ∈ G r a p h → E d g e ( v , u , w ) ∉ G r a p h \exists Edge_{(u,v,w)} \in Graph \to Edge_{(v,u,w)} \notin Graph ∃Edge(u,v,w)∈Graph→Edge(v,u,w)∈/Graph
有向图的示例

a---->b---->c (每个单向链表都可以看成一个无权有向图)

对于这个有向图
∃ ( a , b ) ∈ G r a p h → ( b , a ) ∉ G r a p h \exists (a,b) \in Graph \to (b,a) \notin Graph ∃(a,b)∈Graph→(b,a)∈/Graph

1.4 度(Degree)

度(Degree) 指的是某个节点直接相连的边数

示例

考虑一个 无向图 G

A    B
|    |
C ------ D

这里A的度就是 1，C的度就是 2

1.4.1 出度(Out-Degree)

出度指的是有向图中的从某一个节点出发的边的个数

示例

考虑一个 无向图 G

A     B
^     ^
|     |
v     |
C ------ >D

这里C的出度是1

1.4.2 入度(In-Degree)

入度指的是有向图中指向某个节点的边的个数

示例

考虑一个 无向图 G

A     B
^     ^
|     |
v     |
C ------ >D

这里C的入度是1

1.5 边数

边数 指的是图中的边的个数和

对于无向图，所有顶点的度之和等于边数的两倍。

∑ v ∈ G d e g ( v ) = 2 ∣ E ∣ \sum_{v \in G}deg(v)=2 |E| v∈G∑deg(v)=2∣E∣

对于一个有向图，所有顶点的出度之和等于所有顶点的入度之和，且都等于边的数量。

∑ v ∈ G d e g + ( v ) = ∑ v ∈ G d e g − ( v ) = ∣ E ∣ \sum_{v \in G}deg^+(v)=\sum_{v \in G}deg^-(v)= |E| v∈G∑deg+(v)=v∈G∑deg−(v)=∣E∣