统计信号处理基础 习题解答11-4

题目

观测到数据:, 假定未知参数A具有先验 PDF

其中,, 是方差为的WGN,且与A独立,求A的MAP估计量。


解答

根据题目条件,得到条件概率:

那么对于N个观察的独立数据,有:

因此,得到

根据函数形式,具有相同的极值点,因此对,存在:

令上式等于零,得到此时A的MAP估计量为:

实际过程中,如果,那么可以取到MAP估计量的值,如下图所示。

但如,概率密度如下图。

那么概率密度只能保留的部分,此时概率密度的最大值就发生在A=0处,因此,综合来看,A的MAP估计为:

上图仿真代码:

Matlab 复制代码
clc, clear, close all;
N=10;
mu=0.3;
sigma=1;
x=normrnd(mu,sigma,N,1)';
lamda=1;
A_Value=-3:0.01:3;
p=zeros(1,length(A_Value));
for index=1:length(A_Value)
    A=A_Value(index);
    p(1,index)=((2*pi*sigma)^(-N/2))*exp(-1/(2*sigma)*sum((x-A).^2))*lamda.*exp(-lamda*A);
end
figure(1)
plot(A_Value,p)
hold on
xline(mean(x)-sigma*lamda/N);
xline(0,"--");
hold off
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