题目
观测到数据:, 假定未知参数A具有先验 PDF
其中,, 是方差为的WGN,且与A独立,求A的MAP估计量。
解答
根据题目条件,得到条件概率:
那么对于N个观察的独立数据,有:
因此,得到
根据函数形式,和具有相同的极值点,因此对,存在:
令上式等于零,得到此时A的MAP估计量为:
实际过程中,如果,那么可以取到MAP估计量的值,如下图所示。
但如,概率密度如下图。
那么概率密度只能保留的部分,此时概率密度的最大值就发生在A=0处,因此,综合来看,A的MAP估计为:
上图仿真代码:
Matlab
clc, clear, close all;
N=10;
mu=0.3;
sigma=1;
x=normrnd(mu,sigma,N,1)';
lamda=1;
A_Value=-3:0.01:3;
p=zeros(1,length(A_Value));
for index=1:length(A_Value)
A=A_Value(index);
p(1,index)=((2*pi*sigma)^(-N/2))*exp(-1/(2*sigma)*sum((x-A).^2))*lamda.*exp(-lamda*A);
end
figure(1)
plot(A_Value,p)
hold on
xline(mean(x)-sigma*lamda/N);
xline(0,"--");
hold off