专栏导读
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题目描述
一条名叫Mango的街上有 N 站灯。起始时,所有的灯都是关的 。每盏灯上都有着一个按钮,每按一次按钮灯将会进行一次相反操作,即开着变关着,关着变开着。这时,编号为 1 的人走过来,把是1的倍数的灯全部按一次按钮,编号为 2 的人把是 2 的倍数的灯全部按一次按钮,即编号为 k 的人把是 k 的倍数的灯都按一次按钮,直到第 N 个人为止。
问题:给定 N,求 N 轮之后,还有哪几盏是开着的,每两个答案之间用空格隔开。
保证:N≤30000000,时间限制:1s
初步思路
看到这一题是不是很想直接暴力枚举,即从1-N每个人都遍历一遍。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=30000000;
int n;
bool a[maxn+5];
int main()
{
for(int i=1;i<=maxn;i++) a[i]=0;//初始化一下
cin>>n;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int j=k;j<=n;j+=k)
{
a[j]=!a[j];
}
}
for(int i=1;i<=maxn;i++)
{
if(a[i]==1) cout<<i<<" ";
}
return 0;
}
可惜,当我们运行代码时,用了远远不止1s,严重超时了。
找规律
☆方法☆:像这种N轮后那些灯还亮着的问题,包括类似约瑟夫的问题,都应该从小数入手。
我们可以从N=3时入手(这里用1表示开,0表示关):
|---------|----|----|----|
| 轮数/灯的编号 | 1号 | 2号 | 3号 |
| 第一轮 | 1 | 1 | 1 |
| 第二轮 | 1 | 0 | 1 |
| 第三轮 | 1 | 0 | 0 |
当N=4时:
|---------|----|----|----|----|
| 轮数/灯的编号 | 1号 | 2号 | 3号 | 4号 |
| 第一轮 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 第二轮 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 第三轮 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 第四轮 | 1 | 0 | 0 | 1 |
当你继续往后列举时,你会惊讶的发现,这些数都是平方数,好Amazing!
小Tip:如果你不想手动列举的话,你可以用暴力的那个程序,让程序去算。
AC代码
于是,代码就变得很短很短啦!
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(sqrt(i)*sqrt(i)==i) cout<<i<<" ";
}
return 0;
}
小结尾
🏆今天带你学习了一道很有趣的思维题,也学会了一个小技巧:交给程序算。
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