2024.7.5 - 技术栈

组合

可能公式比较多

\\begin{pmatrix}n\\m\\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix}n-1\\m-1 \\end{pmatrix}+\\begin{pmatrix} n-1 \\m\\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} n\\m \\end{pmatrix} =\\frac {m!}{n!(m-n)!}

非常常见的递推式和计算式

递推式即加法恒等式

计算式即阶乘展开式

所以

\\begin{pmatrix} n \\m \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} n \\n-m \\end{pmatrix}

称之为对称

\\sum_{m=0}\^{n}m\\begin{pmatrix} n \\m \\end{pmatrix} = \\sum_{m=0}\^{n}\\begin{pmatrix} n \\m \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} m \\1 \\end{pmatrix} =\\sum_{m=0}\^{n}\\begin{pmatrix} n \\1 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} n-1 \\m-1 \\end{pmatrix}=n\\sum_{m=0}\^{n}\\begin{pmatrix} n-1 \\m-1 \\end{pmatrix}=n\\sum_{m=0}\^{n-1}\\begin{pmatrix} n-1 \\m \\end{pmatrix}=n2\^{n-1}

上面用到的这个

\\begin{pmatrix} n \\r \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} r \\m \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} n \\m \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} n-m \\r-m \\end{pmatrix}

的公式，叫做吸收恒等式

其意义为在n个中选择r，在r个中选择m个，

等价于在n个中选择m个，再在剩余的n-m个中选r-m个

\\sum_{0\\le k \\le n}\\begin{pmatrix} k \\ m \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} n+1 \\m+1 \\end{pmatrix}

这个叫做上指标求和

在形如
$\\begin{pmatrix} n \\m \\end{pmatrix}$
公式中，我们将n称作上指标 ，相应的，m为下指标

证明吗，考虑现实意义，

我们在m+1个数中，枚举第一个数选择第k+1个的时候，剩余的选择方案，

即

\\begin{pmatrix} k \\m \\end{pmatrix}

则，在总共m+1个数中，选取k+1个，即是枚举k的情况下，求解和值

至于下指标求和 吗

\\sum_{k=0}\^{n}\\begin{pmatrix} n \\k \\end{pmatrix} = 2\^{n}

还是挺简单的吧/le

至于平行求和式

即

\\sum_{k \\le n}\\begin{pmatrix} r+k\\r \\end{pmatrix}=\\begin{pmatrix} r+n+1\\n \\end{pmatrix} 证明： 证明： 证明： \\sum _{k=0}\^{n}\\begin{pmatrix} m+k\\n \\end{pmatrix}=\\sum_{k=0}\^{n}\\begin{pmatrix} m+k\\m \\end{pmatrix}+0=\\sum_{k=0}\^{n+m}\\begin{pmatrix} m+k\\m \\end{pmatrix}+\\sum_{k=0}\^{m-1}\\begin{pmatrix} m+k\\m \\end{pmatrix}=\\sum_{k=0}\^{n+m}\\begin{pmatrix} k\\m \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} m+n+1\\m+1 \\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} m+n+1\\n \\end{pmatrix}

还是依据上指标求和解出来的

以及上指标反转

\\begin{pmatrix} r\\k \\end{pmatrix} = (-1)\^{k}\\begin{pmatrix} k-r-1\\k \\end{pmatrix}

证明：

首先爆拆\\ \\begin{pmatrix} r\\k \\end{pmatrix} = \\frac{r\^{\\underline{k} }}{k!} \\ \\begin{pmatrix} k-r-1\\k \\end{pmatrix} = \\frac{(k-r-1)\^{\\underline{k}}}{k!} \\ r\^{\\underline{k}} = (-1)^k(k-r-1)^{\\underline{k}} \\ r\*(r-1)*...* (r-k+1) = (-1)\^k\*(k-r-1)*(k-r-2)* ...\*(-r) \\注意到\\ -r和r为相反数\\ r-k+1和k-r-1为相反数\\ 则k为奇数时前后刚好差一个负号， 则由(-1)\^k补上