P3469 : Tarjan 求割点以及割点的一些性质

题目

给你无向连通图，问你去掉一个点的所有关联边之后，满足 (x, y) 不连通有多少个有序点 ?

思路

tarjan() 求割点，如果当前点不是割点，去掉这个点之后是一个 n-1 连通图，但注意题目中不去掉这个点，那么当前点的答案就是 2 * (n - 1) ；

如果当前点是割点，假设割点切割出来 c 个连通块，思考如何 O(n) 算有序点对

首先是 O(n^2) 算，就是 c i c_i ci 去乘以所有非 i 连通块，手列一下式子很好化简，大概就是 ∑ i = 1 c C i ∗ ( n − C i ) \sum_{i=1}^cC_i*(n-C_i) ∑i=1cCi∗(n−Ci)

现在就是思考怎么求割出去的连通块大小 ?

在 tarjan() 过程中，如果 lowv>=dfnu，那么去掉 u 之后，v 会被分割出来一个 szv 的连通块 ; 对于每一个 v 都是如此，去掉这些能被分割出来的连通块之后，剩下的图还是一个连通块

根据这个性质就好做了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long

int const N = 1e5 + 10;


int n, m;
vector<int> e[N];
int dfn[N], low[N], tot = 0;
bool is_Cut[N];
int ans[N], sz[N]; // 以 i 为根子树的大小

void tarjan(int u, bool isRoot){
    dfn[u] = low[u] = ++ tot;
    int sum = 0;
    sz[u] = 1;
    int childCount = 0;
    for(int v : e[u]){
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v, false);
            sz[u] += sz[v];
            low[u] = min(low[u], low[v]);
            if(low[v] >= dfn[u]){
            	childCount ++;
            	sum += sz[v];
            	ans[u] += sz[v] * (n - sz[v]);
            }
        }
        else{
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
        }
    }
    if(childCount > isRoot){
        is_Cut[u] = true;
        ans[u] += n - 1;
        ans[u] += (n - sum - 1) * (sum + 1);
    }
    else{
    	ans[u] = 2 * (n - 1);
    }
}
void tarjan(){
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        if(!dfn[i]){
            tarjan(i, true);
        }
    }
}

void solve(){
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i ++){
		int u, v;
		cin >> u >> v;
		e[u].push_back(v);
		e[v].push_back(u);
	}
	tarjan();
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
		cout << ans[i] << '\n';
    }
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0); 
	solve();
	return 0;
}