leetcode-动态规划-01背包

一、二维数组

1、状态转移方程：

不放物品i：由dp $i - 1$ $j$ 推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp $i$ $j$ 就是dp $i - 1$ $j$ 。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i：由dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ]推出，dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] 为背包容量为j - weight $i$ 的时候不放物品i的最大价值，那么dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] + value $i$ （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp $i$ $j$ = max(dp $i - 1$ $j$ , dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] + value $i$ );

2、初始化

（1）从dp $i$ $j$ 的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp $i$ $0$ ，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

（2）状态转移方程 dp $i$ $j$ = max(dp $i - 1$ $j$ , dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] + value $i$ ); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp $0$ $j$ ，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。

那么很明显当 j < weight $0$ 的时候，dp $0$ $j$ 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight $0$ 时，dp $0$ $j$ 应该是value $0$ ，因为背包容量放足够放编号0物品。

java 复制代码

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

（3）其他下标初始化：

dp $i$ $j$ = max(dp $i - 1$ $j$ , dp $i - 1$ $j - weight\[i$ ] + value $i$ )

dp $1$ $1$ = max(dp $0$ $1$ , dp $0$ $1- weight\[i$ ] + value $i$ ) 一定在其左方且上方，

故一定初始化过了，可以设置为任何值，为了方便，现默认初始化为0。

二、一维（滚动数组）

1、一维dp数组中，dp $j$ 表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp $j$

java 复制代码

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

2、初始化

（1）dp $0$ =0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

（2）假设物品价值都是大于0的，为了不被初始值覆盖，所以dp数组初始化的时候，都初始为0

3、遍历顺序

倒序遍历

解释1：列表后面的值需要通过与上一层遍历得到的前面的值比较确定

解释2：01背包每个背包都只有一个，这个包放于不放与上一个包的状态有关，而左边的数组是描述上一个包状态的量，右边的数是当前包状态的一个待定，代码里是右边数组的确定需要左边的数，所以在计算出右边的数之前不能破坏左边的数。

解释3：对于二维，我每个新的dp数字的结果，都来源于上面和左边；其实一维也本该是这样，但一维的时候，如果还是从左到右，那么我其实左边的数字已经更新过了（左边已经不是"原来的"左边了！这会造成某些重复计算 ），即使上面还是原来的上面，得到的数字也是不正确的。而如果我们在背包层（里层）从右到左地遍历，那么左边的元素永远不会因为我前一次的操作被覆盖上新的值，这样可以得到正确的值。

三、应用

1、给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: $1, 5, 11, 5$
输出: true
解释: 数组可以分割成 $1, 5, 5$ 和 $11$

分析：

物品是i，

重量是nums $i$ ，价值也是nums $i$ ，背包体积是sum/2。

类似于01背包

状态转移方程：

java 复制代码

dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])

java 复制代码

// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
    for(int j = target; j >= nums[i]; j--) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
    }
}
// 集合中的元素正好可以凑成总和target
if (dp[target] == target) return true;

2、有一堆石头，每块石头的重量都是正整数。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；

如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块石头。返回此石头最小的可能重量。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例：

输入： $2,7,4,1,8,1$
输出：1

分析:

尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小

那么分成两堆石头，一堆石头的总重量是dp $target$ ，另一堆就是sum - dp $target$

在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp $target$ 一定是大于等于dp $target$ 的

那么相撞之后剩下的最小石头重量就是 (sum - dp $target$ ) - dp $target$

java 复制代码

for (int i = 0; i < stones.length; i++) {
//采用倒序
    for (int j = target; j >= stones[i]; j--) {
        dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
    }
}
//结果
sum - 2 * dp[target];

引自：代码随想录