4.1卷积神经网络
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卷积神经网络是目前计算机视觉中使用最普遍的模型结构。本章节主要向读者介绍卷积神经网络的一些基础模块，包括：
- 卷积（Convolution）
- 池化（Pooling）
- ReLU激活函数
- 批归一化（Batch Normalization）
- 丢弃法（Dropout）
回顾一下，在上一章"一个案例带你吃透深度学习"中，我们介绍了手写数字识别任务，应用的是全连接网络进行特征提取，即将一张图片上的所有像素点展开成一个1维向量输入网络，存在如下两个问题：
1. 输入数据的 空间信息被 丢失****。****空间上相邻的像素点往往具有相似的RGB值，RGB的各个通道之间的数据通常密切相关，但是转化成1维向量时，这些信息被丢失。同时，图像数据的形状信息中，可能隐藏着某种本质的模式，但是转变成1维向量输入全连接神经网络时，这些模式也会被忽略。
2. 模型 参数过多****，容易发生**** 过拟合****。****在手写数字识别案例中，每个像素点都要跟所有输出的神经元相连接。当图片尺寸变大时，输入神经元的个数会按图片尺寸的平方增大，导致模型参数过多，容易发生过拟合。
为了解决上述问题，我们引入卷积神经网络进行特征提取，既能提取到相邻像素点之间的特征模式，又能保证参数的个数不随图片尺寸变化。图6是一个典型的卷积神经网络结构，多层卷积和池化层组合作用在输入图片上，在网络的最后通常会加入一系列全连接层，ReLU激活函数一般加在卷积或者全连接层的输出上，网络中通常还会加入Dropout来防止过拟合。
图6：卷积神经网络经典结构
说明：
在卷积神经网络中，计算范围是在像素点的空间邻域内进行的，卷积核参数的数目也远小于全连接层。卷积核本身与输入图片大小无关，它代表了对空间邻域内某种特征模式的提取。比如，有些卷积核提取物体边缘特征，有些卷积核提取物体拐角处的特征，图像上不同区域共享同一个卷积核。当输入图片大小不一样时，仍然可以使用同一个卷积核进行操作。
卷积（Convolution）
这一小节将为读者介绍卷积算法的原理和实现方案，并通过具体的案例展示如何使用卷积对图片进行操作，主要涵盖如下内容：
- 卷积计算
- 填充（padding）
- 步幅（stride）
- 感受野（Receptive Field）
- 多输入通道、多输出通道和批量操作
- 飞桨卷积API介绍
- 卷积算子应用举例
卷积计算
卷积是数学分析中的一种积分变换的方法，在图像处理中采用的是卷积的离散形式。这里需要说明的是，在卷积神经网络中，卷积层的实现方式实际上是数学中定义的互相关 （cross-correlation）运算，与数学分析中的卷积定义有所不同，这里跟其他框架和卷积神经网络的教程保持一致，都使用互相关运算作为卷积的定义，具体的计算过程如图7所示。
图7：卷积计算过程
说明：
卷积核（kernel）也被叫做滤波器（filter），假设卷积核的高和宽分别为k_h和k_w，则将称为k_h* k_w卷积，比如3×5卷积，就是指卷积核的高为3, 宽为5。
- 如图7（a）所示：左边的图大小是 3 × 3 ，表示输入数据是一个维度为 3 × 3的二维数组；中间的图大小是 2 × 2 ，表示一个维度为 2 × 2的二维数组，我们将这个二维数组称为卷积核。先将卷积核的左上角与输入数据的左上角（即：输入数据的(0, 0)位置）对齐，把卷积核的每个元素跟其位置对应的输入数据中的元素相乘，再把所有乘积相加，得到卷积输出的第一个结果：
0×1+1×2+2×4+3×5=25(a)
- 如图7（b）所示：将卷积核向右滑动，让卷积核左上角与输入数据中的(0,1)位置对齐，同样将卷积核的每个元素跟其位置对应的输入数据中的元素相乘，再把这4个乘积相加，得到卷积输出的第二个结果：
0×2+1×3+2×5+3×6=31(b)
- 如图7（c）所示：将卷积核向下滑动，让卷积核左上角与输入数据中的(1, 0)位置对齐，可以计算得到卷积输出的第三个结果：
0×4+1×5+2×7+3×8=43(c)
- 如图7（d）所示：将卷积核向右滑动，让卷积核左上角与输入数据中的(1, 1)位置对齐，可以计算得到卷积输出的第四个结果：
0×5+1×6+2×8+3×9=49(d)
卷积核的计算过程可以用下面的数学公式表示，其中a代表输入图片，b代表输出特征图，w是卷积核参数，它们都是二维数组，∑u,v\sum{u,v}{\ }表示对卷积核参数进行遍历并求和。
b[i,j]=∑u,va[i+u,j+v]⋅w[u,v]
举例说明，假如上图中卷积核大小是2×2，则u可以取0和1，v也可以取0和1，也就是说：
b[i,j]=a[i+0,j+0]⋅w[0,0]+a[i+0,j+1]⋅w[0,1]+a[i+1,j+0]⋅w[1,0]+a[i+1,j+1]⋅w[1,1]
读者可以自行验证，当[i,j][i, j]取不同值时，根据此公式计算的结果与上图中的例子是否一致。
- 【思考】 当卷积核大小为 3 × 3 时， b和 a之间的对应关系应该是怎样的？
其它说明：
在卷积神经网络中，一个卷积算子除了上面描述的卷积过程之外，还包括加上偏置项的操作。例如假设偏置为1，则上面卷积计算的结果为：
0×1+1×2+2×4+3×5+1=26
0×2+1×3+2×5+3×6+1=32
0×4+1×5+2×7+3×8+1=44
0×5+1×6+2×8+3×9+1=50
填充（padding）
在上面的例子中，输入图片尺寸为3×3，输出图片尺寸为2×2，经过一次卷积之后，图片尺寸变小。卷积输出特征图的尺寸计算方法如下（卷积核的高和宽分别为k_h和k_w）：
H_{out} = H - k_h + 1
W_{out} = W - k_w + 1
如果输入尺寸为4，卷积核大小为3时，输出尺寸为4−3+1=2。读者可以自行检查当输入图片和卷积核为其他尺寸时，上述计算式是否成立。当卷积核尺寸>1时，输出特征图的尺寸会<输入图片尺寸。如果经过多次卷积，输出图片尺寸会不断减小。为了避免卷积之后图片尺寸变小，通常会在图片的外围进行填充(padding)，如图8所示。
图8：图形填充
- 如图8（a）所示：填充的大小为1，填充值为0。填充之后，输入图片尺寸从 4 × 4 变成了 6 × 6 ，使用 3 × 3 的卷积核，输出图片尺寸为 4 × 4 。
- 如图8（b）所示：填充的大小为2，填充值为0。填充之后，输入图片尺寸从 4 × 4 变成了 8 × 8 ，使用 3 × 3的卷积核，输出图片尺寸为 6 × 6 。
如果在图片高度方向，在第一行之前填充p_{h1}行，在最后一行之后填充p_{h2}行；在图片的宽度方向，在第1列之前填充p_{w1}列，在最后1列之后填充p_{w2}列；则填充之后的图片尺寸为(H+ph1+ph2)×(W+pw1+pw2)。
经过大小为kh×kw的卷积核操作之后，输出图片的尺寸为：
Hout=H+ph1+ph2−kh+1 、Wout=W+pw1+pw2−kw+1
在卷积计算过程中，通常会在高度或者宽度的两侧采取等量填充，即ph1=ph2=ph,pw1=pw2=pw，上面计算公式也就变为：
H_{out} = H + 2p_h - k_h + 1 、W_{out} = W + 2p_w - k_w + 1
卷积核大小通常使用1，3，5，7这样的奇数，如果使用的填充大小为 p_h=(k_h-1)/2 ，p_w=(k_w-1)/2，则卷积之后图像尺寸不变。例如当卷积核大小为3时，padding大小为1，卷积之后图像尺寸不变；同理，如果卷积核大小为5，padding大小为2，也能保持图像尺寸不变。
步幅（stride）
图8 中卷积核每次滑动一个像素点，这是步幅为1的特殊情况。图9是步幅为2的卷积过程，卷积核在图片上移动时，每次移动大小为2个像素点。
图9：步幅为2的卷积过程
当宽和高方向的步幅分别为s_h和s_w时，输出特征图尺寸的计算公式是：
感受野（Receptive Field）
输出特征图上每个点的数值，是由输入图片上大小为kh×kw的区域的元素与卷积核每个元素相乘再相加得到的，所以输入图像上kh×kw区域内每个元素数值的改变，都会影响输出点的像素值。我们将这个区域叫做输出特征图上对应点的感受野。感受野内每个元素数值的变动，都会影响输出点的数值变化。比如3×3卷积对应的感受野大小就是3×3，如图10所示。
图10：感受野为3×3的卷积
而当通过两层3×3的卷积之后，感受野的大小将会增加到5×5，如图11所示。
图11：感受野为5×5的卷积
因此，当增加卷积网络深度的同时，感受野将会增大，输出特征图中的一个像素点将会包含更多的图像语义信息。
多输入通道、多输出通道和批量操作
前面介绍的卷积计算过程比较简单，实际应用时，处理的问题要复杂的多。例如：对于彩色图片有RGB三个通道，需要处理多输入通道的场景。输出特征图往往也会具有多个通道，而且在神经网络的计算中常常是把一个批次的样本放在一起计算，所以卷积算子需要具有批量处理多输入和多输出通道数据的功能，下面将分别介绍这几种场景的操作方式。
- 多输入通道场景
上面的例子中，卷积层的数据是一个2维数组，但实际上一张图片往往含有RGB三个通道，要计算卷积的输出结果，卷积核的形式也会发生变化。假设输入图片的通道数为Cin，输入数据的形状是Cin×Hin×Win，计算过程如图12所示。
- 对每个通道分别设计一个2维数组作为卷积核，卷积核数组的形状是 C i n × k h × k w 。
- 对任一通道 C i n ∈ [ 0 , C i n ) ，分别用大小为 k h × k w的卷积核在大小为 H i n × W i n 的二维数组上做卷积。
- 将这 C i n个通道的计算结果相加，得到的是一个形状为 H o u t × W o u t 的二维数组。
图12：多输入通道计算过程
- 多 输出通道场景
一般来说，卷积操作的输出特征图也会具有多个通道Cout，这时我们需要设计Cout个维度为Cin×kh×kw的卷积核，卷积核数组的维度是Cout×Cin×kh×kw，如图13所示。
- 对任一输出通道 c o u t ∈ [ 0 , C o u t ) ，分别使用上面描述的形状为 C i n × k h × k w 的卷积核对输入图片做卷积。
- 将这 C o u t 个形状为 H o u t × W o u t的二维数组拼接在一起，形成维度为 C o u t × H o u t × W o u t的三维数组。
说明：
通常将卷积核的输出通道数叫做卷积核的个数。
图13：多输出通道计算过程
- 批量操作
在卷积神经网络的计算中，通常将多个样本放在一起形成一个mini-batch进行批量操作，即输入数据的维度是N×Cin×Hin×Win。由于会对每张图片使用同样的卷积核进行卷积操作，卷积核的维度与上面多输出通道的情况一样，仍然是Cout×Cin×kh×kw，输出特征图的维度是N×Cout×Hout×Wout，如图14所示。
图14：批量操作
飞桨卷积API介绍
飞桨卷积算子对应的API是paddle.nn.Conv2D，用户可以直接调用API进行计算，也可以在此基础上修改。Conv2D名称中的"2D"表明卷积核是二维的，多用于处理图像数据。类似的，也有Conv3D可以用于处理视频数据（图像的序列）。
class paddle.nn.Conv2D ( in_channels, out_channels, kernel_size, stride=1, padding=0, dilation=1, groups=1, padding_mode='zeros', weight_attr=None, bias_attr=None, data_format='NCHW')
常用的参数如下：
- in_channels(int) - 输入图像的通道数。
- out_channels(int) - 卷积核的个数，和输出特征图通道数相同，相当于上文中的 C o u t C_{out} 。
- kernel_size(int|list|tuple) - 卷积核大小，可以是整数，比如3，表示卷积核的高和宽均为3 ；或者是两个整数的list，例如[3,2]，表示卷积核的高为3，宽为2。
- stride(int|list|tuple，可选) - 步长大小，可以是整数，默认值为1，表示垂直和水平滑动步幅均为1；或者是两个整数的list，例如[3,2]，表示垂直滑动步幅为3，水平滑动步幅为2。
- padding(int|list|tuple|str，可选) - 填充大小，可以是整数，比如1，表示竖直和水平边界填充大小均为1；或者是两个整数的list，例如[2,1]，表示竖直边界填充大小为2，水平边界填充大小为1。
输入数据维度[N,Cin,Hin,Win]，输出数据维度[N,out_channels,Hout,Wout]，权重参数ww的维度[out_channels,Cin,filter_size_h,filter_size_w]，偏置参数b的维度是[out_channels]。注意，即使输入只有一张灰度图片[Hin,Win]，也需要处理成四个维度的输入向量[1,1,Hin,Win]。