文章目录
题目描述
- 一共有
n个数，编号是1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。 - 现在要进行
m个操作，操作共有两种：M a b，将编号为a和b的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；Q a b，询问编号为a和b的两个数是否在同一个集合中；
输入格式
- 第一行输入整数
n和m。 - 接下来
m行，每行包含一个操作指令，指令为M a b或Q a b中的一种。
输出格式
- 对于每个询问指令
Q a b，都要输出一个结果，如果a和b在同一集合内，则输出Yes，否则输出No。 - 每个结果占一行。
数据范围
1 ≤ n,m ≤ 10^5
基本思路
- 并查集：并查集是本题使用的数据结构。这是一个常考的数据结构，其代码非常短，但是思路都很精巧。
- 并查集的作用 ：快速将两个集合合并，以及判定两个元素是否属于同一个集合。这里的快速是指时间复杂度近乎
O(1)。 - 基本原理：以一棵树的形式（不一定是二叉树）来维护一个集合，每一个集合的编号就是该集合的根节点的编号。树的每一个结点都存储该结点的父结点的位置。每次查询某个元素属于哪一个集合，只需要找到该元素对应的结点，然后一级一级向上查找父结点直到根结点即可。尽管已经有一定的优化，但是一直查找到树的根节点也需要进行遍历，所以有进一步的优化，即找到一个集合树的根节点后，该路径上的所有结点的父节点都会直接指向根结点。这种优化方法被称为路径压缩。
- 判定是否是根节点：一个结点的父节点编号和结点本身相同。可以基于这个条件来一级一级向上查找。
- 如何合并两个集合：将一个集合的树作为另一个集合树的根节点的一个子结点即可。
- 按秩合并：并查集的另一种优化方法，但是优化效果不显著，使用情况较少，此处不再赘述。
find(x)：这是并查集最常用的方法之一，作用是返回元素x所在的集合的编号。
实现代码
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
// sets中的每一个元素表示当前集合的根节点编号
const int N = 100010;
int sets[N];
// 用于查找一个元素所属的集合编号的函数
int find_set(int x)
{
// 对于非根结点，则查询其上方的一个结点，同时进行路径压缩
if(sets[x] != x) sets[x] = find_set(sets[x]);
else return sets[x];
}
// 合并两个集合的函数，将第二个元素所属的集合作为第一个元素所属集合的叶子结点
inline void merge(int a, int b)
{
// 首先通过find_set找到b元素所在集合的编号
// 然后将该编号对应的根节点元素（与编号同号）的所属集合设置为a元素所在集合的编号
sets[find_set(b)] = find_set(a);
}
// 查询两个元素是否属于同一个集合的函数
inline void query(int a, int b)
{
// 如果查询两个元素的集合编号相同，则属于同一个集合
if(find_set(a) == find_set(b)) cout << "Yes" << endl;
else cout << "No" << endl;
}
int main(void)
{
int n, m;
cin >> n >> m;
// 初始化集合
for(int i = 1; i <= n; ++ i) sets[i] = i;
// 进行合并和查询操作
for(int i = 0; i < m; ++ i)
{
char operation;
int a, b;
cin >> operation >> a >> b;
if(operation == 'M') merge(a, b);
else if(operation == 'Q') query(a, b);
}
return 0;
}注意事项：
- 本题代码中的核心是理解
sets数组的含义。sets数组实际上存储的是每一个元素所属的集合编号，初始情况下每个元素的集合编号和自身的编号相同，即一一对应。 - 在
find_set函数中，如果当前元素不是某一个集合的根节点，那就将当前元素所属的集合更新为当前元素的集合的根节点所属的集合，即进行路径压缩。