【数据结构】二叉搜索树

追风赶月、2024-07-18 17:32

文章目录

1.二叉搜索树概念

二叉搜索树又称二叉排序树，可以是一棵空树；如果不是空树，则是一棵具有以下性质的二叉树:

  • 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
  • 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
  • 它的左右子树也分别为二叉搜索树

二叉搜索树也是递归定义的。由定义可以得出一个重要的性质：中序遍历一棵二叉搜索树时可以得到一个节点值递增的有序序列。

2.二叉搜索树的操作

2.1节点与树结构

跟二叉树类似，我们的树仅仅维持一个root指针即可，这里无非就是增加了模板的使用。

  1. 节点
cpp 复制代码 
template<class K>
struct BSTNode
{
	K _key;
	BSTNode<K>* _left;
	BSTNode<K>* _right;

	BSTNode(const K& val = K())
		:_key(val)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
	{}
};
  1. 树
cpp 复制代码 
template<class K>
class BSTree
{
	typedef BSTNode<K> Node;//节点重命名
public:
	BSTree()
		:_root(nullptr)
	{}
private:
	Node* _root;

};

2.2二叉搜索树的查找

  • 从根开始比较，比根大，就在右子树中查找；比根小，就在左子树中查找
  • 最多查找高度次，走到空还未找到，则找不到
cpp 复制代码 
	bool find(const K& val)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key < val)
				cur = cur->_right;
			else if (cur->_key > val)
				cur = cur->_left;
			else
				return true;
		}
		return false;
	}

2.3二叉搜索树的插入

  • 二叉搜索树不允许出现重复的节点；若要插入的节点已经存在，则插入失败
  • 树为空，插入的节点就作为根
  • 树不为空，按照树的规则寻找插入位置，将节点插入
    • 要想连接上，应记录其父节点
    • 比父节点小，插入到左边
    • 比父节点大，插入到右边
cpp 复制代码 
	bool insert(const K& val)
	{
		//若为空树
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(val);
			return true;
		}
		//非空
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > val)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < val)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else//相等了，插入失败
				return false;
		}
		//cur位置就是要插入的位置
		cur = new Node(val);
		//判断插入到父节点的哪一边
		if (parent->_key < val)
			parent->_right = cur;
		else
			parent->_left = cur;
		return true;
	}

2.4二叉搜索树的遍历

由于二叉搜索树的特性，我们使用中序遍历出来的结果就是有序的，所以它也叫二叉排序树。

如果我们按照上述方式写，由于在类外面访问不到root，我们也就没有办法传递参数。所以我们可以给它套一层

cpp 复制代码 
public:
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

2.5二叉搜索树的删除（重点）

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回false, 否则要删除的结点可能分下面四种情况：

  • a、要删除的节点为叶子节点（无孩子）
  • b、要删除的节点只有左孩子
  • c、要删除的节点只有右孩子
  • d、要删除的节点左右孩子都有

所以，对于a情况，我们可以将其与b、c中任意一个进行合并

如果左右两个孩子都有怎么办呢？

我们要在树中找一个符合二叉树规则的数据去替代他

方法：在它的右子树 中寻找一个最小的结点 (或者在左子树中找一个最大的节点)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题（最小的节点就是右树中最左下的节点）

如果我删除的是根节点呢?

总体的结构就是这样

细节如下：


cpp 复制代码 
bool erase(const K& val)
	{
		Node* cur = _root;
		Node* parent = null;
		while (cur)
		{
			//寻找要删除的位置
			if (cur->_key < val)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_key > val)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			//cur->_key == val找到了要删除的位置
			else  
			{
				//只有左孩子或没孩子，父亲指向我的左
				if (cur->_right == nullptr)
				{
					//如果删除根节点，新根就是我的左
					if (cur == _root)//如果删除根节点，新根就是我的左
					{
						_root = cur->_left;
					}
					else
					{
						//判断插入到父节点的哪一边
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_left;
						else
							parent->_right = cur->_left;
					}
					delete cur;
				}
				//只有右孩子，父亲指向我的右
				else if (cur->_left == nullptr)
				{
					//如果删除根节点，新根就是我的右
					if (cur == _root)
					{
						_root = cur->_right;
					}
					else
					{
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_right;
						else
							parent->_right = cur->_right;
					}
					delete cur;
				}
				//左右孩子都有
				else
				{
					Node* rightMin = cur->_right;
					Node* rightMinParent = cur;
					//找右树的最小
					while (rightMin->_left)
					{
						rightMinParent = rightMin;
						rightMin = rightMin->_left;
					}
					swap(rightMin->_key, cur->_key);//替换

					//判断连接在父亲的哪一边
					if (rightMinParent->_left == rightMin)
						rightMinParent->_left = rightMin->_right;
					else
						rightMinParent->_right = rightMin->_right;

					delete rightMin;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

3.二叉搜索树的应用

3.1K模型

K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。

上述代码中所展现的就是K模型的样例，使用K模型查找可以使时间复杂度达到O(logN) (树不退化的前提下)

3.2KV模型

KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。

  • 比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；
  • 再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

改造K模式，使其变成KV模型：

对于KV模型来说，只需简单变动一下K模型即可。

  • find函数：对于查找函数，它找到以后不再返回True，而是返回节点的指针

其余功能基本没有变化，仅仅是节点的值发生了变化

cpp 复制代码 
namespace KV
{
	template<class K,class V>
	struct BSTNode
	{
		K _key;
		V _value;
		BSTNode<K,V>* _left;
		BSTNode<K,V>* _right;

		BSTNode(const K& key = K(),const V& val = V())
			:_key(key)
			,_value(val)
			, _left(nullptr)
			, _right(nullptr)
		{}
	};

	template<class K,class V>
	class BSTree
	{
		typedef BSTNode<K,V> Node;//节点重命名
	public:
		BSTree()
			:_root(nullptr)
		{}
		//析构
		~BSTree()
		{
			Destroy(_root);
		}

		void Destroy(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return;
			Destroy(root->_left);
			Destroy(root->_right);

			delete root;
		}

		bool insert(const K& key, const V& val)
		{
			//若为空树
			if (_root == nullptr)
			{
				_root = new Node(key,val);
				return true;
			}
			//非空
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < key)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else//相等了，插入失败
					return false;
			}

			//cur位置就是要插入的位置
			cur = new Node(key,val);
			//判断插入到父节点的哪一边
			if (parent->_key < key)
				parent->_right = cur;
			else
				parent->_left = cur;
			return true;
		}

		Node* find(const K& val)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key < val)
					cur = cur->_right;
				else if (cur->_key > val)
					cur = cur->_left;
				else
					return cur;
			}
			return nullptr;
		}
		void InOrder()
		{
			_InOrder(_root);
			cout << endl;
		}

		bool erase(const K& val)
		{
			Node* cur = _root;
			Node* parent = nullptr;
			while (cur)
			{
				//寻找要删除的位置
				if (cur->_key < val)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_right;
				}
				else if (cur->_key > val)
				{
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				//cur->_key == val找到了要删除的位置
				else
				{
					//只有左孩子或没孩子，父亲指向我的左
					if (cur->_right == nullptr)
					{
						//如果删除根节点，新根就是我的左
						if (cur == _root)//如果删除根节点，新根就是我的左
						{
							_root = cur->_left;
						}
						else
						{
							//判断插入到父节点的哪一边
							if (parent->_left == cur)
								parent->_left = cur->_left;
							else
								parent->_right = cur->_left;
						}
						delete cur;
					}
					//只有右孩子，父亲指向我的右
					else if (cur->_left == nullptr)
					{
						//如果删除根节点，新根就是我的右
						if (cur == _root)
						{
							_root = cur->_right;
						}
						else
						{
							if (parent->_left == cur)
								parent->_left = cur->_right;
							else
								parent->_right = cur->_right;
						}
						delete cur;
					}
					//左右孩子都有
					else
					{
						Node* rightMin = cur->_right;
						Node* rightMinParent = cur;
						//找右树的最小
						while (rightMin->_left)
						{
							rightMinParent = rightMin;
							rightMin = rightMin->_left;
						}
						swap(rightMin->_key, cur->_key);//替换

						//判断连接在父亲的哪一边
						if (rightMinParent->_left == rightMin)
							rightMinParent->_left = rightMin->_right;
						else
							rightMinParent->_right = rightMin->_right;

						delete rightMin;
					}
					return true;
				}
			}
			return false;
		}
	private:
		void _InOrder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return;
			_InOrder(root->_left);
			cout << root->_key << " " << root->_value<< endl;;
			_InOrder(root->_right);
		}

	private:
		Node* _root;
	};
}
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