抽象代数精解【4】

文章目录

• 子群
• • 难点与例子
  • 中心化子与正规化子
  • • 定义
    • 性质
    • 与正规化子的关系
    • 应用
  • det
  • • 概述
    • 两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积
• 参考文献

子群

难点与例子

• 在 z 10 中，令 H = { 2 ˉ , 4 ˉ , 6 ˉ , 8 ˉ } , 证明： H 中关于剩余类的乘法构成群， H 是 ( Z 10 , . ) 的子群 在z_{10}中，令H=\{\bar 2,\bar 4,\bar 6,\bar 8\},证明：H中关于剩余类的乘法构成群，H是(Z_{10},.)的子群 在z10中，令H={2ˉ,4ˉ,6ˉ,8ˉ},证明：H中关于剩余类的乘法构成群，H是(Z10,.)的子群
  1. H 中元素关于 H 乘法运算封闭。 2. 剩余类乘法满足交换律和结合律。 3. Z 10 单位元是 6 ˉ , 因为， 4 ˉ 6 ˉ = 4 ˉ ，可检验其它元素 , 6 ˉ 也是 H 的单位元。 4. 逆元： 2 ˉ − 1 = 8 ˉ , 4 ˉ − 1 = 4 ˉ , 6 ˉ − 1 = 6 ˉ , 8 ˉ − 1 = 2 ˉ ，逆元均在 H 中，所有元素均可逆。 5. ( Z 10 , . ) 不构成群 ( 1 ) 单位元为 1 ˉ ( 2 ) 满足结合律 ( 3 ) 有些元素没逆元，只有当元素 a ∈ Z 10 ， ( a , m ) = 1 时，才有逆元。 比如 2 ˉ 没有逆元， 2 ˉ − 1 = ? ，在 z 10 中找不到！ ( 4 ) Z 10 关于乘法不构成群。 1.H中元素关于H乘法运算封闭。 \\2.剩余类乘法满足交换律和结合律。 \\3.Z_{10}单位元是\bar 6,因为，\bar 4 \bar 6 =\bar 4，可检验其它元素,\bar 6也是H的单位元。 \\4.逆元：\bar 2^{-1}=\bar 8,\bar 4^{-1}=\bar 4,\bar 6 ^{-1}=\bar 6,\bar 8^{-1}=\bar 2，逆元均在H中，所有元素均可逆。 \\5.(Z_{10},.)不构成群 \\(1)单位元为\bar 1 \\(2)满足结合律 \\(3)有些元素没逆元，只有当元素a \in Z_{10}，(a,m)=1时，才有逆元。 \\比如\bar 2没有逆元，\bar 2^{-1}=?，在z_{10}中找不到！ \\(4)Z_{10}关于乘法不构成群。 1.H中元素关于H乘法运算封闭。2.剩余类乘法满足交换律和结合律。3.Z10单位元是6ˉ,因为，4ˉ6ˉ=4ˉ，可检验其它元素,6ˉ也是H的单位元。4.逆元：2ˉ−1=8ˉ,4ˉ−1=4ˉ,6ˉ−1=6ˉ,8ˉ−1=2ˉ，逆元均在H中，所有元素均可逆。5.(Z10,.)不构成群(1)单位元为1ˉ(2)满足结合律(3)有些元素没逆元，只有当元素a∈Z10，(a,m)=1时，才有逆元。比如2ˉ没有逆元，2ˉ−1=?，在z10中找不到！(4)Z10关于乘法不构成群。
• G = G L 2 ( R ) ， H = { A ∈ G ∣ d e t ( A ) 是 3 的整数次幂 } ，证明： H 是 G 的子群。 G=GL_2(R)，H=\{A \in G|det(A)是3的整数次幂\}，证明：H是G的子群。 G=GL2(R)，H={A∈G∣det(A)是3的整数次幂}，证明：H是G的子群。
  ∀ A , B ∈ G , d e t ( A ) = 3 m , d e t ( B ) = 3 n , m , n ∈ Z d e t ( A B − 1 ) = d e t ( A ) d e t ( B ) − 1 = 3 m 3 − n = e m − n = > A B − 1 ∈ H \forall A,B \in G,det(A)=3^m,det(B)=3^n,m,n \in Z \\det(AB^{-1})=det(A)det(B)^{-1}=3^m3^{-n}=e^{m-n}=>AB^{-1} \in H ∀A,B∈G,det(A)=3m,det(B)=3n,m,n∈Zdet(AB−1)=det(A)det(B)−1=3m3−n=em−n=>AB−1∈H
• G是交换群，m是固定的整数，令
  H = { a ∈ G ∣ a m = e } H=\{a \in G|a^m=e\} H={a∈G∣am=e}，证明H是G的子群。
  ∀ a , b ∈ H , a m = e , b m = e e ∈ H ( a b − 1 ) m = a b − m = a m ( b m ) − 1 = e e − 1 = e \forall a,b \in H,a^m=e,b^m=e \\e \in H \\(ab^{-1})^{m}=ab^{-m}=a^m(b^m)^{-1}=ee^{-1}=e ∀a,b∈H,am=e,bm=ee∈H(ab−1)m=ab−m=am(bm)−1=ee−1=e
• 设a是群G的元素，定义a在G中的中心化子 为
  C ( a ) = { g ∈ G ∣ g a = a g } C(a)=\{g \in G|ga=ag\} C(a)={g∈G∣ga=ag}
  证：C(a)是G的子群
  g 1 ∈ C ( a ) , g 2 ∈ C ( a ) g 1 a = a g 1 , g 2 a = a g 2 g 1 − 1 a = a g 1 − 1 , g 2 − 1 a = a g 2 − 1 g 1 g 2 − 1 a = g 1 a g 2 − 1 = a g 1 g 2 − 1 g_1 \in C(a),g_2 \in C(a) \\g_1a=ag_1,g_2a=ag_2 \\g_1^{-1}a=ag_1^{-1},g_2^{-1}a=ag_2^{-1} \\g_1g_2^{-1}a=g_1ag_2^{-1}=ag_1g_2^{-1} g1∈C(a),g2∈C(a)g1a=ag1,g2a=ag2g1−1a=ag1−1,g2−1a=ag2−1g1g2−1a=g1ag2−1=ag1g2−1

中心化子与正规化子

下面内容来自文心一言的生成内容

中心化子（centralizer）是数学中的一个重要概念，特别是在群论中。以下是关于中心化子的详细解释：

定义

• 设 g g g是群 G G G中的一个元素，则集合 C ( g ) = { a ∈ G ∣ a g = g a } C(g) = \{a \in G \mid ag = ga\} C(g)={a∈G∣ag=ga}称为 g g g在 G G G中的中心化子（centralizer）。这个集合包含了群 G G G中所有与 g g g可交换的元素。
• 更一般地，设集合 S S S是群 G G G的子集（不必是子群），则集合 C ( S ) = { a ∈ G ∣ a g = g a , ∀ g ∈ S } C(S) = \{a \in G \mid ag = ga, \forall g \in S\} C(S)={a∈G∣ag=ga,∀g∈S}称为 S S S在 G G G中的中心化子。这个集合包含了群 G G G中所有与 S S S中所有元素都可交换的元素。

性质

• C ( S ) C(S) C(S)是群 G G G的子群。这是因为如果 x , y ∈ C ( S ) x, y \in C(S) x,y∈C(S)，那么对于所有 s ∈ S s \in S s∈S，有 x y − 1 s = x s y − 1 = s x y − 1 xy^{-1}s = xsy^{-1} = sxy^{-1} xy−1s=xsy−1=sxy−1，从而 x y − 1 ∈ C ( S ) xy^{-1} \in C(S) xy−1∈C(S)。
• 如果 H H H是群 G G G的子群，且 a ∈ G a \in G a∈G，则 C H ( a ) = C G ( a ) ∩ H C_H(a) = C_G(a) \cap H CH(a)=CG(a)∩H。这里， C G ( a ) C_G(a) CG(a)表示 a a a在群 G G G中的中心化子，而 C H ( a ) C_H(a) CH(a)表示 a a a在子群 H H H中的中心化子。
• 群 G G G的中心 Z ( G ) Z(G) Z(G)是 G G G本身在 G G G中的中心化子，即 Z ( G ) = C G ( G ) Z(G) = C_G(G) Z(G)=CG(G)。群的中心既是正规子群也是交换群，并且具有许多其他重要属性。

与正规化子的关系

• 正规化子（normalizer）是另一个与中心化子密切相关的概念。设 S S S是群 G G G的子集，则 S S S在 G G G中的正规化子 N G ( S ) = { g ∈ G ∣ g S = S g } N_G(S) = \{g \in G \mid gS = Sg\} NG(S)={g∈G∣gS=Sg}。
• 直观上，正规化子要求的是集合 S S S作为一个整体在群 G G G的某个元素作用下保持不变，而中心化子则要求的是集合 S S S中的每个元素都与群 G G G中的某个元素可交换。因此，中心化子的要求比正规化子更为严格。
• 值得注意的是，对于群 G G G中的任意子集 S S S，其中心化子 C G ( S ) C_G(S) CG(S)总是其正规化子 N G ( S ) N_G(S) NG(S)的正规子群。

应用

中心化子在群论、代数几何、李代数等多个数学分支中都有重要应用。例如，在研究群的结构和性质时，中心化子可以帮助我们理解群中的可交换元素和子群的结构；在李代数中，中心化子则用于描述李代数中的可交换元素和子代数。

以上信息主要基于群论中的相关定义和性质，希望对您有所帮助。

det

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概述

"det"在数学和线性代数中，特别是在矩阵的上下文中，通常指的是矩阵的行列式（Determinant）。行列式是一个将方阵（即行数和列数相等的矩阵）映射到标量（即单一数值）的函数。行列式的值反映了矩阵的某些重要性质，比如矩阵是否可逆（非奇异）、矩阵的线性变换对面积或体积的影响等。

行列式的计算对于理解矩阵的性质和解决线性方程组、计算矩阵的逆等问题至关重要。对于2x2矩阵，其行列式的计算公式为：

det ( a b c d ) = a d − b c \text{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc det(acbd)=ad−bc

对于更高阶的矩阵，行列式的计算通常更加复杂，但可以通过递归的方式（如拉普拉斯展开）或使用特定的算法（如高斯消元法结合行列式展开定理）来计算。

行列式还具有一些重要的性质，比如：

1. 单位矩阵的行列式是1。
2. 如果矩阵的某一行或列是零向量，则行列式为0。
3. 交换矩阵的两行或两列，行列式的符号会改变。
4. 如果矩阵的某一行或列是另一行或列的倍数，则行列式为0。
5. 矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。

这些性质在矩阵理论和线性代数中有着广泛的应用。

两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积

在矩阵理论中，有一个非常重要的性质，即两个矩阵乘积的行列式等于这两个矩阵行列式的乘积。这个性质可以表示为：

det ( A B ) = det ( A ) ⋅ det ( B ) \text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) det(AB)=det(A)⋅det(B)

其中， A A A 和 B B B 是两个方阵（即行数和列数相等的矩阵），且它们的乘积 A B AB AB 也是方阵。

这个性质可以通过多种方法证明，但在这里，我们可以从直观上理解它为什么成立。

首先，考虑矩阵的行列式作为矩阵所代表的线性变换对空间体积（或面积，在二维情况下）的缩放因子。当矩阵 A A A 和 B B B 相继作用于一个空间时，它们分别对这个空间进行了两次线性变换。第一次变换由 A A A 完成，它将空间缩放了一个 det ( A ) \text{det}(A) det(A) 倍；第二次变换由 B B B 完成，它在已经由 A A A 变换过的空间上再缩放一个 det ( B ) \text{det}(B) det(B) 倍。因此，两次变换的总效果是将原始空间缩放了 det ( A ) ⋅ det ( B ) \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) det(A)⋅det(B) 倍。

从数学的角度来看，这个性质可以通过行列式的定义和性质来证明。例如，可以使用拉普拉斯展开（Laplace expansion）或代数余子式（cofactors）来展开 det ( A B ) \text{det}(AB) det(AB)，并证明它等于 det ( A ) ⋅ det ( B ) \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) det(A)⋅det(B)。然而，这种证明通常比较复杂，需要一定的矩阵理论和代数技巧。

总之， det ( A B ) = det ( A ) ⋅ det ( B ) \text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) det(AB)=det(A)⋅det(B) 是矩阵理论中的一个基本且重要的性质，它在解决线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵是否可逆等问题中都有广泛的应用。

参考文献

1.《近世代数（第三版）》