【Leetcode】十八、动态规划:不同路径 + 全1的最大正方形

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1、动态规划

只能向下、向右的走,从图中左上角走到右下角,有几条路径
因为只能向下、向右走,所以从起始点走到点(R,C),路径数等于,以起始点到点(R,C)为对角线的矩形里,到点(R,C)左侧点的路径数 + 到点(R,C)上边点的路径数 (动态规划的方程式)

java 复制代码
// 动态规划的方程式
[R,C] = [R - 1][C] + [R][C - 1]

有些类似斐波那契数列了,起始点就是[0][0] (动态规划的初始状态) ,那递归终止的条件,就是其左侧点或者上边点不存在,此时,到它的路径只有一条,return 1,一直算到点(R,C)(动态规划的终止状态)。以上,动态规划的三要素:

  • 动态规划的方程式
  • 动态规划的初始状态
  • 动态规划的终止状态

从起始状态(0,0),到终止状态(R,C),中间每个格子的值(到达它的路径数),都会算出来,这些中间结果,可存入一个数组,这题可用二维数组存。动态规划可用来干:

  • 1)计数:有多少种方式或路径,如上面从左上角到右下角有多少路径
  • 2)求最值:从左上角到右下角路径的最大数字和,每个数字不等,代表权重,求最长路径或最小路径
  • 3)求存在性:是否存在某个可能,可以从A走到B

动态规划的分类:

  • 自底向上:从最小的子问题开始,逐步计算出所有可能的状态,直到解决原问题

  • 自顶向下:通过递归地方式,从原问题开始,依次分解为更小的子问题,通常需要记忆化搜索(Memoization)来保存已经计算过的结果,避免重复计算

2、leetcode509:斐波那契数列

不再递归了,根据方程式,步步为营,从F(2)一路计算到F(n),并把每个中间值存入数组中,最后返回数组的第n个元素即可

java 复制代码
public class P509Two {
    public int recursion(int n) {
        //F(0)和F(1)
        if (n < 2) {
            return n == 0 ? 0 : 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;  //F(1)
        // 根据方程式,计算每个值,存入数组,从F(2)一路计算到F(5)
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

3、leetcode62:不同路径

前面已经分析过了,这儿的方程式为:F(m,n)= F(m - 1,n)+ F(m,n - 1),初始状态为(1,1),终止状态为(m,n)

java 复制代码
public class P62 {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
            	// 如果是边缘,x轴或者y轴,则直接赋值1,因为只有一条路可达,其余按方程式赋值
                if (i == 0 || j == 0) {
                    dp[i][j] = 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

红圈里的这些,x轴或者y轴上的,到达他们的路径只有一条,因此直接赋值1,别用方程式去计算,会导致数组下标越界。除了这些点,其余按方程式赋值,最后返回(m-1,n-1)位置的值即可。

两道题,给我的个人感觉是,动态规划,就是从初始状态开始,根据方程式,步步为营,经过一个个中间状态的值,到达终止状态 ,最后,如果你需要存储这些中间状态值,一般用数组存储,因为其访问数据的时间复杂度为O(1)。

4、leetcode121:买卖股票的最佳时机

这题,本质就是求数组后面元素与前面元素的差值的最大值,两层for循环,默认返回为0,遇到最大的值就覆盖,即可:

java 复制代码
public class P121 {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (null == prices || prices.length < 2) {
            return 0;
        }
        int result = 0;
        for (int i = 0; i < prices.length - 1; i++) {
        	// 注意内层循环,最快第二天才能卖出,因此,这里是i+1开始
            for (int j = i + 1; j < prices.length; j++) {
                result = Math.max((prices[j] - prices[i]), result);
            }
        }
        return result;
    }
}

优化下:遍历数组,更新前 i 天的最低买入成本,同时更新前i天的最高利润(第i天与前面i-1天最低价的差值,然后不停覆盖这个差值,取最大值)

java 复制代码
public class P121 {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (null == prices || prices.length < 2) {
            return 0;
        }
        int minPrice = Integer.MAX_VALUE;
        int maxProfit = 0;
        for (int price : prices) {
            minPrice = Math.min(minPrice, price);
            maxProfit = Math.max(maxProfit, price - minPrice);
        }
        return maxProfit;
    }
}

5、leetcode70:爬楼梯

参考上面62题不同路径的思想:

  • 62题:到(m,n)的路径数 = 到(m,n)上方点的路径数 + 到(m,n)左侧点的路径数,因为规定了只能向下、向右移动
  • 本题:到n阶的路径数 = 到n - 1阶的路径数 + 到 n - 2阶的路径数,因为一次只能走一个或者两个台阶

切入点:动态规划要经过状态转移,那就该想一下,题中要求的状态,怎么可以由上一步到达

由此,动态规划方程式为:

java 复制代码
f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)

代码实现:

java 复制代码
public class P70 {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n <= 0) {
            return 0;
        }
        // f(x-1)
        int pre = 1;
        // f(x-2)
        int prePre = 0;
        int result = 1;
        for (int i = 1; i <= n ; i++) {
            result = pre + prePre;
            // 状态转移,往前走一步,f(x-2)变成了新的f(x-1),f(x-1)变成了f(x)
            prePre = pre;
            pre = result;
        }
        return result;
    }
}

6、leetcode279:完全平方数


思路一:暴力解法

根据四平方和定理,这题返回的结果肯定是1、2、3、4里的一个。那我找:n是否能由1个平方数搞出来,不行就看是否能由2个平方数搞出来,最多到4,封顶了就。因为这题求的是最少的数量,别说n = 1 + 1 + 1 + ...... + 1。借助以下四条数学规律:

实现:

java 复制代码
public class P279 {
    public int numSquares(int n) {
        // 消除4的因子
        while (n % 4 == 0) {
            n = n / 4;
        }
        // %8 == 7,一定是4
        if (n % 8 == 7) {
            return 4;
        }
        // 找a和b两个数,使得n = a^2 + b^2,且a和b这些数必然落在区间 [1,根号n]之间
        for (int a = 0; a * a <= n; a++) {
            int b = (int) Math.sqrt(n - a * a);
            if (a * a + b * b == n) {
                // 找到a,b了,如果a或者b是0,说明a^2 = n或者b^2 = n,返回1,反之,返回2
                return (a > 0 && b > 0) ? 2 : 1;
            }
        }
        // 不是1,也不是2,那就是3
        return 3;
    }
}

思路二:动态规划

用几个数的平方的和表示数字n,这几个平方数一定在[1,根号n] 之间,因为根号n的平方就是n了。从1到根号n的范围,遍历,假设遍历到了数字 j,此时剩下 n - j * j ,n - j * j 的平方数字的数量假设为f(n - j * j ),那f(n)就是这个值 + 1,状态转移方程:

java 复制代码
f(n) = f(n - j * j ) + 1

当然,这题找最小数量,因此,取的是[1,根号n],最小的平方数的数量,代码实现:

java 复制代码
public class P279 {
     public int numSquares(int n) {
        int[] resultArr = new int[n + 1];
        // 算从1到n,每个数的平方数的数量
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int minn = Integer.MAX_VALUE;
            // j * j <= i,即从1到根号n的范围
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                minn = Math.min(minn, resultArr[i - j * j]);
            }
            resultArr[i] = minn + 1;
        }
        return resultArr[n];
    }
}

7、leetcode221:最大正方形

dp(i,j) 表示以 (i,j) 为右下角,且只包含 1 的正方形的边长最大值,那这个dp值,应该取决于其左边、上边、右上方三个点的dp值,如下图:

红色方框所在的点(2,3),其dp值,取决于黄色方框里的三个点的dp值,且是像短板水桶一样,全是1的正方形的最大边长,得看这三个点dp的最小值,得出状态转移方程式为:

java 复制代码
dp(i, j) = min ( dp(i - 1, j), dp(i, j - 1), dp(i - 1, j - 1) ) + 1

代码实现:

java 复制代码
public class P221 {
    public int maximalSquare(char[][] matrix) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            return 0;
        }
        // 最大边长
        int maxSide = 0;
        // 矩阵行列数
        int row = matrix.length;
        int col = matrix[0].length;
        int[][] dp = new int[row][col];
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            for (int j = 0; j < col; j++) {
                if (matrix[i][j] == '0') {
                    // 值为0,则不存在全为1的正方形,int默认值就是0,这里不赋值也行
                    dp[i][j] = 0;
                } else {
                    // 在x轴或者y轴边上,那以其为右下角的正方形,就只能是自己那一块,dp = 1
                    if (i == 0 || j == 0) {
                        dp[i][j] = 1;
                    } else {
                        // 否则就走正常的状态转移方程
                        dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
                    }
                }
                // 求整个矩阵中,每个点的dp的最大值
                maxSide = Math.max(maxSide, dp[i][j]);

            }
        }
        return maxSide * maxSide;
    }
}
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