目录
[1. 最短路径问题 - 绘制城市间旅行最短路径图](#1. 最短路径问题 - 绘制城市间旅行最短路径图)
[python 代码实现](#python 代码实现)
[2. 最小生成树问题 - Kruskal算法绘制MST](#2. 最小生成树问题 - Kruskal算法绘制MST)
[3. 结合最短路径与最小生成树的复杂网络分析](#3. 结合最短路径与最小生成树的复杂网络分析)
专栏:数学建模学习笔记
上一篇:【数学建模】图与网络模型的学习
本篇是题目练习
1. 最短路径问题 - 绘制城市间旅行最短路径图
题目描述:
假设有一个包含多个城市及其之间距离的列表(或图结构),其中每个城市是图中的一个节点,城市之间的距离是边的权重。使用Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法(视情况而定,如果图中节点数较多,推荐使用Dijkstra;如果需要求出所有点对间的最短路径,则使用Floyd-Warshall)来计算并绘制出从一个指定城市到其他所有城市的最短路径图。
要求:
(1)使用Python编程,可以利用networkx库来构建图和处理图算法。
(2)绘制结果应包含所有节点(城市)和表示最短路径的边,边的粗细或颜色可以表示距离长短。
(3)标注每条边的权重(距离)。
(4)城市的数量N通过键盘输入,城市之间的距离通过随机数生成。
示例数据:
城市间的距离矩阵(假设为完全图,即任意两城市间都有直接路径)
distances = [
[0, 5, 10, 15],
[5, 0, 3, 8],
[10, 3, 0, 6],
[15, 8, 6, 0]
]
假设城市名称为 A, B, C, D
python 代码实现
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import matplotlib.font_manager as fm
# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 使用黑体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决负号显示问题
# 输入城市数量
N = int(input("请输入城市数量: "))
# 生成随机的距离矩阵,距离在1到20之间
distances = np.random.randint(1, 21, size=(N, N))
np.fill_diagonal(distances, 0) # 对角线距离为0
# 打印生成的距离矩阵
print("城市间的距离矩阵:")
print(distances)
# 创建图并添加边
G = nx.Graph()
# 添加节点
cities = [chr(i) for i in range(65, 65 + N)] # 使用A, B, C...表示城市
G.add_nodes_from(cities)
# 添加边及其权重
for i in range(N):
for j in range(i + 1, N):
G.add_edge(cities[i], cities[j], weight=distances[i][j])
# 输入起始城市
start_city = input(f"请输入起始城市({', '.join(cities)}): ")
# 使用Dijkstra算法计算从起始城市到所有其他城市的最短路径
lengths, paths = nx.single_source_dijkstra(G, source=start_city)
# 打印最短路径信息
print("从起始城市到其他城市的最短路径:")
for target in cities:
print(f"{start_city}到{target}的最短路径为{paths[target]},距离为{lengths[target]}")
# 获取从起始城市到最后一个城市的最短路径
end_city = cities[-1]
shortest_path = paths[end_city]
# 绘制图形
pos = nx.spring_layout(G)
# 创建绘图区域
fig, ax = plt.subplots()
# 绘制所有节点
nx.draw_networkx_nodes(G, pos, node_size=500, ax=ax)
# 绘制所有边并根据权重调整颜色和宽度
edges = G.edges(data=True)
edge_colors = [edge[2]['weight'] for edge in edges]
edge_widths = [edge[2]['weight'] / 5 for edge in edges]
edges_drawn = nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=edges, width=edge_widths, edge_color=edge_colors, edge_cmap=plt.cm.Blues, ax=ax)
# 绘制最短路径的边,使用不同颜色和宽度
path_edges = [(shortest_path[i], shortest_path[i + 1]) for i in range(len(shortest_path) - 1)]
nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=path_edges, width=2, edge_color='r', ax=ax)
# 绘制节点标签
nx.draw_networkx_labels(G, pos, font_size=12, font_color='black', ax=ax)
# 绘制边标签
edge_labels = {(edge[0], edge[1]): edge[2]['weight'] for edge in edges}
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=edge_labels, ax=ax)
# 创建颜色映射条
sm = plt.cm.ScalarMappable(cmap=plt.cm.Blues, norm=plt.Normalize(vmin=min(edge_colors), vmax=max(edge_colors)))
sm.set_array([]) # 仅用于显示色条
fig.colorbar(sm, ax=ax, label='距离')
# 显示图形
plt.title(f"从城市 {start_city} 到城市 {end_city} 的最短路径图")
plt.axis('off')
plt.show()
请输入城市数量: 5
城市间的距离矩阵:
[[ 0 3 6 1 16]
[18 0 9 11 3]
[16 2 0 5 11]
[ 9 8 1 0 17]
[ 2 7 1 3 0]]
请输入起始城市(A, B, C, D, E): A
从起始城市到其他城市的最短路径:
A到A的最短路径为['A'],距离为0
A到B的最短路径为['A', 'B'],距离为3
A到C的最短路径为['A', 'C'],距离为6
A到D的最短路径为['A', 'D'],距离为1
A到E的最短路径为['A', 'B', 'E'],距离为6
实现思想:
图的表示与构建:
- 使用图数据结构表示城市和它们之间的距离。节点表示城市,边的权重表示城市之间的距离。
- 通过一个距离矩阵来表示各城市间的距离。
Dijkstra算法:
- 用于计算从一个指定城市(源城市)到其他所有城市的最短路径。
- 该算法适用于无负权边的图,通过贪心策略找到最短路径。
可视化:
- 使用
networkx
库构建图并计算最短路径。- 使用
matplotlib
库绘制图形,展示所有城市及其间的最短路径。
要点:
构建随机距离矩阵:
- 随机生成一个
N x N
的矩阵,表示N
个城市间的距离。对角线元素为0(表示城市与自身的距离为0)。构建图并添加边:
- 使用
networkx.Graph()
创建图对象。- 使用嵌套的
for
循环,将矩阵中的距离作为边的权重添加到图中。计算最短路径:
- 使用
nx.single_source_dijkstra
函数,计算从指定源城市到所有其他城市的最短路径和路径长度。绘制图形:
- 使用
nx.spring_layout
生成图节点的布局。- 使用
nx.draw
和nx.draw_networkx_edge_labels
绘制图和边的权重。- 突出显示最短路径,使用不同颜色或加粗显示。
2. 最小生成树问题 - Kruskal算法绘制MST
题目描述:
给定一个无向带权图,使用Kruskal算法找到并绘制该图的最小生成树(MST)。最小生成树是图中的一个子图,它包含图中所有顶点且边的权重之和最小。
要求:
(1)使用networkx库来处理图结构。
(2)绘制结果应清晰地展示MST中的所有边和顶点,并且可以通过边的颜色或粗细来区分MST中的边与其他边。
(3)标注MST的总权重。
示例数据:
边列表,每个元素是一个三元组(起点, 终点, 权重)
edges = [
('A', 'B', 1),
('A', 'C', 4),
('A', 'D', 7),
('B', 'C', 2),
('B', 'D', 5),
('C', 'D', 3),
('C', 'E', 6),
('D', 'E', 8)
]
python代码实现
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# 边列表,每个元素是一个三元组(起点 终点 权重)
edges = [
('A', 'B', 1),
('A', 'C', 4),
('A', 'D', 7),
('B', 'C', 2),
('B', 'D', 5),
('C', 'D', 3),
('C', 'E', 6),
('D', 'E', 8)
]
# 构建图
G = nx.Graph()
G.add_weighted_edges_from(edges)
# 使用Kruskal算法计算MST
mst = nx.minimum_spanning_tree(G, algorithm='kruskal')
# 绘制图
pos = nx.spring_layout(G)
plt.figure(figsize=(10, 8))
# 绘制原始图
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_size=500, node_color="lightblue", alpha=0.6)
labels = nx.get_edge_attributes(G, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=labels)
# 绘制MST
nx.draw(mst, pos, with_labels=True, node_size=500, node_color="lightgreen", edge_color="red", width=2)
labels_mst = nx.get_edge_attributes(mst, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(mst, pos, edge_labels=labels_mst)
# 计算MST的总权重
total_weight = mst.size(weight='weight')
plt.title(f"Minimum Spanning Tree (Total Weight: {total_weight})")
plt.show()
实现思想:
图的表示与构建:
- 使用图数据结构表示城市和它们之间的距离。节点表示城市,边的权重表示城市之间的距离。
- 使用边列表表示图,其中每个元素是一个三元组
(起点, 终点, 权重)
。Kruskal算法:
- 用于找到图的最小生成树(MST)。
- 通过贪心策略,逐步选择权重最小的边,构建权重和最小的树。
可视化:
- 使用
networkx
库构建图并计算MST。- 使用
matplotlib
库绘制图形,展示MST的所有节点和边。
要点:
定义边列表:
- 创建一个包含边的列表,每个元素是一个三元组
(起点, 终点, 权重)
。构建图并添加边:
- 使用
networkx.Graph()
创建图对象。- 使用
G.add_weighted_edges_from(edges)
添加边到图中。计算MST:
- 使用
nx.minimum_spanning_tree(G, algorithm='kruskal')
计算图的最小生成树。绘制图形:
- 使用
nx.spring_layout
生成图节点的布局。- 使用
nx.draw
和nx.draw_networkx_edge_labels
绘制原始图及其边的权重。- 突出显示MST,使用不同颜色或加粗显示。
3. 结合最短路径与最小生成树的复杂网络分析
题目描述:
考虑一个大型交通网络,其中节点代表城市,边代表道路,边的权重代表道路的长度或旅行时间。首先,使用Kruskal算法找出这个网络的最小生成树(代表最基本的交通网络框架)。然后,在此MST的基础上,选择一个"核心城市"作为起点,使用Dijkstra算法找出从该城市到其他所有城市的最短路径。
要求:
(1)绘制两个图:一个是MST,另一个是以核心城市为中心的最短路径图(可以只显示与核心城市直接相连的最短路径)。
(2)MST图中应清晰区分MST边和非MST边。
(3)最短路径图中,最短路径的边可以用特殊颜色或加粗显示,并标注核心城市到各城市的最短路径长度。
示例数据:
自行设计更复杂的数据集。
python代码
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import font_manager
# 设置中文字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 使用黑体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决坐标轴负号显示问题
# 边列表,每个元素是一个三元组(起点, 终点, 权重)
edges = [
('A', 'B', 1),
('A', 'C', 4),
('A', 'D', 7),
('B', 'C', 2),
('B', 'D', 5),
('C', 'D', 3),
('C', 'E', 6),
('D', 'E', 8)
]
# 构建图
G = nx.Graph()
G.add_weighted_edges_from(edges)
# 使用Kruskal算法计算MST
mst = nx.minimum_spanning_tree(G, algorithm='kruskal')
# 使用Dijkstra算法计算最短路径
core_city = 'A'
lengths, paths = nx.single_source_dijkstra(mst, source=core_city)
# 绘制MST
pos = nx.spring_layout(G)
plt.figure(figsize=(20, 8))
plt.subplot(121)
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_size=500, node_color="lightblue", alpha=0.6)
labels = nx.get_edge_attributes(G, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=labels)
nx.draw(mst, pos, with_labels=True, node_size=500, node_color="lightgreen", edge_color="red", width=2)
labels_mst = nx.get_edge_attributes(mst, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(mst, pos, edge_labels=labels_mst)
total_weight = mst.size(weight='weight')
plt.title(f"最小生成树 (总权重: {total_weight})")
# 绘制最短路径图
plt.subplot(122)
nx.draw(mst, pos, with_labels=True, node_size=500, node_color="lightblue")
labels_mst = nx.get_edge_attributes(mst, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(mst, pos, edge_labels=labels_mst)
for target in lengths:
if target == core_city:
continue
path = paths[target]
edges_in_path = [(path[i], path[i + 1]) for i in range(len(path) - 1)]
nx.draw_networkx_edges(mst, pos, edgelist=edges_in_path, width=2, edge_color='r')
path_length = lengths[target]
plt.text(pos[path[-1]][0], pos[path[-1]][1], f"{path_length:.2f}", fontsize=12, color='red')
plt.title(f"从核心城市 {core_city} 出发的最短路径")
plt.show()
实现思想:
图的表示与构建:
- 使用图数据结构表示城市和它们之间的距离。节点表示城市,边的权重表示城市之间的距离。
- 使用边列表表示图,其中每个元素是一个三元组
(起点, 终点, 权重)
。计算MST:
- 使用 Kruskal算法计算图的最小生成树(MST)。
计算最短路径:
- 在MST的基础上,使用Dijkstra算法计算核心城市到其他所有城市的最短路径。
可视化:
- 绘制两个图:一个是MST,一个是核心城市的最短路径图。
- 使用
networkx
库构建图并计算MST和最短路径。- 使用
matplotlib
库绘制图形,展示MST和最短路径。
要点:
定义边列表:
- 创建一个包含边的列表,每个元素是一个三元组
(起点, 终点, 权重)
。构建图并添加边:
- 使用
networkx.Graph()
创建图对象。- 使用
G.add_weighted_edges_from(edges)
添加边到图中。计算MST:
- 使用
nx.minimum_spanning_tree(G, algorithm='kruskal')
计算图的最小生成树。计算最短路径:
- 使用
nx.single_source_dijkstra(mst, source=core_city)
在MST上计算核心城市到其他城市的最短路径。绘制图形:
- 使用
nx.spring_layout
生成图节点的布局。- 使用
plt.figure
创建绘图窗口。- 使用
nx.draw
和nx.draw_networkx_edge_labels
绘制MST及其边的权重。- 突出显示最短路径,使用不同颜色或加粗显示路径边。
总结三个问题
这三个问题分别涉及图论中的最短路径问题、最小生成树问题以及结合这两种方法的复杂网络分析。第一个问题使用Dijkstra算法计算并可视化了从一个指定城市到其他所有城市的最短路径,第二个问题使用Kruskal算法找到并绘制了一个无向带权图的最小生成树,第三个问题在最小生成树的基础上,使用Dijkstra算法计算并展示了从核心城市到其他所有城市的最短路径。每个问题都结合了图的构建、算法的应用和结果的可视化。