Radon 变换
Radon 变换是数学上用于函数或图像的一种积分变换，广泛应用于图像处理领域，尤其是在计算机断层成像 (CT) 中。本文档将详细介绍 Radon 变换的数学含义及其在图像处理中的应用。
数学定义
Radon 变换的数学定义是将二维函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 转换为其在各个角度 θ \theta θ 上的投影。设 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 是定义在 R 2 \mathbb{R}^2 R2 上的函数，Radon 变换可以表示为：
R { f } ( p , θ ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ f ( x , y ) δ ( x cos θ + y sin θ − p ) d x d y R\{f\}(p,\theta) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta(x\cos\theta + y\sin\theta - p) \,dx\,dy R{f}(p,θ)=∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)δ(xcosθ+ysinθ−p)dxdy
其中， δ \delta δ 是 Dirac delta 函数， p p p 是在角度 θ \theta θ 上的投影距离。
更直观地，可以将 Radon 变换理解为：在给定的角度 θ \theta θ 上，通过将图像 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 沿垂直于 θ \theta θ 的方向进行积分，得到在该角度上的投影 R { f } ( p , θ ) R\{f\}(p,\theta) R{f}(p,θ).
性质
Radon 变换具有以下几个重要性质：
-
线性性质 ：若 f f f 和 g g g 是两个函数， a a a 和 b b b 是常数，则有
R { a f + b g } = a R { f } + b R { g } R\{af + bg\} = aR\{f\} + bR\{g\} R{af+bg}=aR{f}+bR{g} -
平移性质 ：若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 平移了 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0)，则其 Radon 变换的结果也是相应平移的。
-
旋转性质 ：若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 旋转了角度 ϕ \phi ϕ，则其 Radon 变换的结果也相应旋转 ϕ \phi ϕ.
在图像处理中的应用
Radon 变换在图像处理中的应用非常广泛，以下是几个主要应用领域：
1. 计算机断层成像 (CT)
在 CT 成像中，Radon 变换用于从多个角度获取对象内部结构的投影数据。这些投影数据经过反投影算法处理后，可以重建出对象的内部图像。具体步骤如下：
- 获取投影数据：通过旋转 X 射线源和检测器，获取不同角度的投影数据。
- Radon 变换 ：将二维图像 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 转换为多个角度的投影 R { f } ( p , θ ) R\{f\}(p,\theta) R{f}(p,θ).
- 反投影 ：使用逆 Radon 变换将投影数据 R { f } ( p , θ ) R\{f\}(p,\theta) R{f}(p,θ) 重建回二维图像 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y).
2. 图像复原
在图像复原中，Radon 变换可以用于去噪和增强图像。例如，可以通过分析不同角度的投影数据，识别和去除图像中的噪声，从而提高图像质量。
3. 模式识别
Radon 变换还可以用于模式识别和特征提取。在这类应用中，可以通过分析图像在不同角度的投影数据，提取出特定模式或特征，从而实现图像分类或目标识别。
逆 Radon 变换
逆 Radon 变换用于将投影数据恢复成原始图像。通常使用滤波反投影算法 (Filtered Back Projection, FBP) 来实现。其基本步骤如下：
- 对投影数据应用滤波操作，通常使用 Ram-Lak 滤波器。
- 将滤波后的投影数据进行反投影，得到重建图像。
逆 Radon 变换的数学表示为：
f ( x , y ) = ∫ 0 π R { f } ( p , θ ) d θ , f(x,y) = \int_{0}^{\pi} R\{f\}(p,\theta) \, d\theta, f(x,y)=∫0πR{f}(p,θ)dθ,
其中， R { f } ( p , θ ) R\{f\}(p,\theta) R{f}(p,θ) 是滤波后的投影数据。
示例代码
以下是一个使用 Python 和 Scipy 实现 Radon 变换和逆 Radon 变换的示例代码：
python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from skimage.transform import radon, iradon
# 生成一个二维图像
image = np.zeros((100, 100))
image[30:70, 30:70] = 1
# 执行 Radon 变换
theta = np.linspace(0., 180., max(image.shape), endpoint=False)
sinogram = radon(image, theta=theta, circle=True)
# 执行逆 Radon 变换
reconstruction = iradon(sinogram, theta=theta, circle=True)
# 显示原始图像、Radon 变换结果和重建图像
fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3, figsize=(15, 5))
ax1.set_title("Original")
ax1.imshow(image, cmap=plt.cm.Greys_r)
ax2.set_title("Radon Transform\n(Sinogram)")
ax2.set_xlabel("Projection angle (deg)")
ax2.set_ylabel("Projection position (pixels)")
ax2.imshow(sinogram, cmap=plt.cm.Greys_r, aspect='auto')
ax3.set_title("Reconstruction\nfrom Radon transform")
ax3.imshow(reconstruction, cmap=plt.cm.Greys_r)
plt.show()结果显示：
以上代码展示了用 Scipy 库进行 Radon 变换和逆 Radon 变换，并正确显示原始图像、Radon 变换的结果（正弦图）以及重建图像。
Matlab 例子
为了读者方便，这里再给出一个 Matlab Radon 变换的例子。
以下是一个使用 MATLAB 实现 Radon 变换和逆 Radon 变换的示例代码：
matlab
% 生成一个二维图像
image = zeros(100, 100);
image(30:70, 30:70) = 1;
% 执行 Radon 变换
theta = 0:179;
[R, xp] = radon(image, theta);
% 执行逆 Radon 变换
I = iradon(R, theta);
% 显示原始图像、Radon 变换结果和重建图像
figure;
subplot(1,3,1);
imshow(image, []);
title('Original');
subplot(1,3,2);
imagesc(theta, xp, R);
xlabel('Projection angle (degrees)');
ylabel('X''');
title('Radon Transform (Sinogram)');
subplot(1,3,3);
imshow(I, []);
title('Reconstruction from Radon transform');运行结果：
效果不错！
续
如果读者有需求，我们将通过一系列博客展示图像处理相关的知识，所有文章均有相应代码实现。请持续关注！
作者 ：计算小屋
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