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[5. 堆的应用](#5. 堆的应用)
1.前言
我们上一篇文章给大家分享树和二叉树的概念、基本操作等。当在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位，在这种情况下，就会使用**优先级队列。**今天就将与大家分享数据结构中关于堆的知识点。
2.优先级队列
2.1概念
前面介绍过队列， 队列是一种先进先出 的数据结构 ，但有些情况下， 操作的数据可能带有优先级，一般出队 列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，这时候 数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象 。这种数据结构就是优先级队列 (Priority Queue)。
3.优先级队列的模拟实现
JDK1.8 中的 PriorityQueue 底层使用了堆这种数据结构 ，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。
3.1堆的概念
如果有一个关键码的集合K = {k0，k1，k2，...，****kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一****个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1且Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2...，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
3.2堆的存储方式
从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储。 
注意： 对于 非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储 ，因为为了能够还原二叉树， 空间中必须要存储空节 点，就会导致空间利用率比较低 。
将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质 5 对树进行还原。假设 i 为节点在数组中的下标，则有：
- 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
- 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
- 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子
3.3堆的创建
3.3.1堆向下调整
下面举个例子：对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，将其创建成大根堆。
我们发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可 。
java
public class TestHeap {
public int[] elem;
public int UsedSize;
public TestHeap() {
this.elem = new int[10];
}
public void inti(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
elem[i] = array[i];
UsedSize++;
}
}
//将堆中的数据调整为大根堆
public void createHeap() {
for (int parent = (UsedSize - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {
siftDown(parent, UsedSize);
}
}
//左右孩子的最大值跟根节点比较，比根节点大则交换
private void swap(int i, int j) {
int temp = elem[i];
elem[i] = elem[j];
elem[j] = temp;
}
public void siftDown(int parent, int end) {
int child = 2 * parent + 1;
while (child < end) {
//防止数组越界
if (child + 1 < end && elem[child] < elem[child + 1]) {
child++;
}
//child下标就是左右孩子的最大值
if (elem[child] > elem[parent]) {
swap(child, parent);
parent = child;
child = 2 * parent + 1;
} else {
break;
}
}
}
}
java
public class Test {
public static void main(String[] args) {
//创建大根堆
int[] array={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
TestHeap testHeap= new TestHeap();
testHeap.inti(array);
testHeap.createHeap();
}
}
注意： 在调整以 parent 为根的二叉树时，必须要满足 parent 的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。
时间复杂度分析： 最坏的情况 即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为 O(log₂N) 。
3.3.2建堆的时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
所以可得建堆的时间复杂度为O(N)。
3.4堆的插入与删除
3.4.1堆的插入
堆的插入总共需要两个步骤：
- 先将元素放入到底层空间中 ( 注意：空间不够时需要扩容 )
- 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质
java
//插入元素
public void offer(int val){
if(isFull()){
//满了则进行扩容
elem= Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
}
elem[UsedSize]=val;
UsedSize++;
//向上调整
shitUp(UsedSize-1);
}
public void shitUp(int child){
int parent =(child-1)/2;
while(parent>=0){
if(elem[child]>elem[parent]){
swap(child,parent);
child=parent;
parent=(child-1)/2;
}else {
break;
}
}
}
//判断空间是否满了
public boolean isFull(){
return UsedSize== elem.length;
}
java
public class Test {
public static void main(String[] args) {
//创建大根堆
int[] array={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
TestHeap testHeap= new TestHeap();
testHeap.inti(array);
testHeap.createHeap();
testHeap.offer(80);
}
}
3.4.2堆的删除
堆的删除一定删除的是堆顶元素。 具体如下：
- 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换；
- 将堆中有效数据个数减少一个；
- 对堆顶元素进行向下调整。
java
//删除元素
public int poll(){
if(isEmpty()){
return -1;
}
int old=elem[0];
swap(0,UsedSize-1);
UsedSize--;
siftDown(0,UsedSize);
return old;
}
public boolean isEmpty(){
return UsedSize==0;
}
java
public class Test {
public static void main(String[] args) {
//创建大根堆
int[] array={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
TestHeap testHeap= new TestHeap();
testHeap.inti(array);
testHeap.createHeap();
testHeap.poll();
}
}
3.5用堆模拟实现优先级队列
java
import java.util.Arrays;
public class TestHeap {
public int[] elem;
public int UsedSize;
public TestHeap() {
this.elem = new int[10];
}
public void inti(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
elem[i] = array[i];
UsedSize++;
}
}
//将堆中的数据调整为大根堆
public void createHeap() {
for (int parent = (UsedSize - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {
siftDown(parent, UsedSize);
}
}
//左右孩子的最大值跟根节点比较，比根节点大则交换
private void swap(int i, int j) {
int temp = elem[i];
elem[i] = elem[j];
elem[j] = temp;
}
public void siftDown(int parent, int end) {
int child = 2 * parent + 1;
while (child < end) {
//防止数组越界
if (child + 1 < end && elem[child] < elem[child + 1]) {
child++;
}
//child下标就是左右孩子的最大值
if (elem[child] > elem[parent]) {
swap(child, parent);
parent = child;
child = 2 * parent + 1;
} else {
break;
}
}
}
//插入元素
public void offer(int val){
if(isFull()){
//满了则进行扩容
elem= Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
}
elem[UsedSize]=val;
UsedSize++;
//向上调整
shitUp(UsedSize-1);
}
public void shitUp(int child){
int parent =(child-1)/2;
while(parent>=0){
if(elem[child]>elem[parent]){
swap(child,parent);
child=parent;
parent=(child-1)/2;
}else {
break;
}
}
}
//判断空间是否满了
public boolean isFull(){
return UsedSize== elem.length;
}
//删除元素
public int poll(){
if(isEmpty()){
return -1;
}
int old=elem[0];
swap(0,UsedSize-1);
UsedSize--;
siftDown(0,UsedSize);
return old;
}
public boolean isEmpty(){
return UsedSize==0;
}
}
java
import java.util.PriorityQueue;
public class Test {
public static void main(String[] args) {
//堆模拟优先级队列
PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
priorityQueue.offer(10);
priorityQueue.offer(5);
priorityQueue.offer(25);
System.out.println(priorityQueue.poll());//5
System.out.println(priorityQueue.poll());//10
}
}
下面来几道关于堆的练习题给大家练练手。
- 下列关键字序列为堆的是 :()
A: 100,60,70,50,32,65 B: 60,70,65,50,32,100 C: 65,100,70,32,50,60
D: 70,65,100,32,50,60 E: 32,50,100,70,65,60 F: 50,100,70,65,60,32- 已知小根堆为 8,15,10,21,34,16,12 ，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是 ()
A: 1 B: 2 C: 3 D: 4- 最小堆 [0,3,2,5,7,4,6,8], 在删除堆顶元素 0 之后，其结果是 ()
A: [3 ， 2 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6，8] B: [2，3 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6 ， 8]
C: [2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8，6] D: [2，3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8]
参考答案：
1.A 2.C 3.C
4.常用接口介绍
4.1PriorityQueue****的特性
Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文以介绍PriorityQueue为主。
使用PriorityQueue时需要注意:
- 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：
java
import java.util.PriorityQueue;- PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常；
3.不能插入null对象，否则会抛出NullPointeException；
4.没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容；
5.插入和删除元素的时间复杂度为O(log₂N)；
6.PriorityQueue底层使用了堆数据结构；
7.PriorityQueue默认情况下是小根堆--即每次获取到的元素都是最小的元素。
4.2PriorityQueue****常用接口介绍
4.2.1优先级队列的构造
|--------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------------------------|
| 构造器 | 功能介绍 |
| PriorityQueue() | 创建一个空的优先级队列，默认容量是11 |
| PriorityQueue(int initialCapacity) | 创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意： initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常 |
| PriorityQueue(Collection<? extends E> c) | 用一个集合来创建优先级队列 |
java
import java.util.ArrayList;
import java.util.PriorityQueue;
public class Test {
public static void main(String[] args) {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
list.add(10);
list.add(20);
list.add(30);
PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(list);
//PriorityQueue队列默认是小根堆
System.out.println(priorityQueue);
System.out.println("队头元素为：" + priorityQueue.peek());
System.out.println("长度为：" + priorityQueue.size());
}
}
注：默认情况下，PriorityQueue队列是小根堆，如果需要大根堆需要用户提供比较器。
4.2.2插入/删除/获取优先级最高的元素
|--------------------|----------------------------------------------------------------------------|
| 函数名 | 功能介绍 |
| boolean offer(E e) | 插入元素e，插入成功返回true，如果e对象为空，抛出NullPointerException异常，时 间复杂度 ，注意：空间不够时候会进行自动扩容 |
| E peek() | 获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null |
| E poll() | 移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null |
| int size() | 获取有效元素的个数 |
| void clear() | 清空 |
| boolean isEmpty() | 检测优先级队列是否为空，空返回true |
java
import java.util.ArrayList;
import java.util.PriorityQueue;
public class Test {
public static void main(String[] args) {
int[] arr={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
PriorityQueue<Integer> priorityQueue =new PriorityQueue<>(arr.length);
//通过for循环遍历插入元素
for (int i = 0; i < arr.length ; i++) {
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
System.out.println(priorityQueue);
//获取优先级队列最高的元素
System.out.println(priorityQueue.peek());
//弹出优先级最高的元素
System.out.println(priorityQueue.poll());
System.out.println(priorityQueue);
//获取有效元素的个数
System.out.println(priorityQueue.size());
//清空
priorityQueue.clear();
System.out.println(priorityQueue);
//检测优先级队列是否为空，空返回true
System.out.println(priorityQueue.isEmpty());
}
}运行结果如下：
4.3最小的K个数OJ题
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
java
import java.util.PriorityQueue;
public class Test {
//最小K个数
//设计一个算法，找出数组中最小的k个数。以任意顺序返回这k个数均可。
public static int[] smallestK(int[] arr, int k) {
PriorityQueue<Integer> priorityQueue =new PriorityQueue<>();
for(int i = 0;i<arr.length;i++){
priorityQueue.offer(arr[i]);
}
int[] temp = new int[k];
for(int i=0;i<k;i++){
int value =priorityQueue.poll();
temp[i] =value;
}
return temp;
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
int[] arr1 =smallestK(arr,3);
System.out.println(Arrays.toString(arr1));
}
}运行结果如下：
5. 堆的应用
5.1PriorityQueue****的实现
用堆作为底层结构 封装优先级队。
5.2堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
- 建堆：
- 升序：建大堆
- 降序：建小堆
- 利用堆删除思想来进行排序：
建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
java
//进行堆排序
public void headSort(){
int endIndex = UsedSize-1;
while(endIndex>0){
swap(0,endIndex);
siftDown(0,endIndex);
endIndex--;
}
6.总结
本文主要介绍堆的创建、堆的用法、PriorityQueue接口的使用以及堆排序等，有一点要注意，优先级队列在插入元素时有个要求，插入的元素不能是 null 或者元素之间必须要能够 进行比较。