【数据结构】优先级队列(堆)

蜡笔-小欣2024-07-27 18:51

目录

1.前言

2.优先级队列

2.1概念

3.优先级队列的模拟实现

3.1堆的概念

​3.2堆的存储方式

3.3堆的创建

3.3.1堆向下调整

3.3.2建堆的时间复杂度

3.4堆的插入与删除

3.4.1堆的插入

3.4.2堆的删除

3.5用堆模拟实现优先级队列

4.常用接口介绍

4.1PriorityQueue的特性

4.2PriorityQueue常用接口介绍

4.2.1优先级队列的构造

4.2.2插入/删除/获取优先级最高的元素

4.3最小的K个数OJ题

[5. 堆的应用](#5. 堆的应用)

5.1PriorityQueue的实现

5.2堆排序

6.总结

1.前言

我们上一篇文章给大家分享树和二叉树的概念、基本操作等。当在手机上玩游戏的时候，如果有来电，那么系统应该优先处理打进来的电话；初中那会班主任排座位时可能会让成绩好的同学先挑座位，在这种情况下，就会使用**优先级队列。**今天就将与大家分享数据结构中关于堆的知识点。

2.优先级队列

2.1概念

前面介绍过队列， 队列是一种先进先出 的数据结构 ，但有些情况下， 操作的数据可能带有优先级，一般出队 列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该中场景下，使用队列显然不合适，这时候 数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象 。这种数据结构就是优先级队列 (Priority Queue)。

3.优先级队列的模拟实现

JDK1.8 中的 PriorityQueue 底层使用了堆这种数据结构 ，而堆实际就是在完全二叉树的基础上进行了一些调整。

3.1堆的概念

如果有一个关键码的集合K = {k0，k1，k2，...，****kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一****个一维数组中，并满足：Ki <= K2i+1且Ki<= K2i+2 (Ki >= K2i+1 且 Ki >= K2i+2) i = 0，1，2...，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树。

3.2堆的存储方式

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以层序的规则采用顺序的方式来高效存储。
注意： 对于 非完全二叉树，则不适合使用顺序方式进行存储 ，因为为了能够还原二叉树， 空间中必须要存储空节 点，就会导致空间利用率比较低 。
将元素存储到数组中后，可以根据二叉树章节的性质 5 对树进行还原。假设 i 为节点在数组中的下标，则有：

  • 如果i为0，则i表示的节点为根节点，否则i节点的双亲节点为 (i - 1)/2
  • 如果2 * i + 1 小于节点个数，则节点i的左孩子下标为2 * i + 1，否则没有左孩子
  • 如果2 * i + 2 小于节点个数，则节点i的右孩子下标为2 * i + 2，否则没有右孩子

3.3堆的创建

3.3.1堆向下调整

下面举个例子：对于集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }中的数据，将其创建成大根堆。


我们发现：根节点的左右子树已经完全满足堆的性质，因此只需将根节点向下调整好即可 。

java 复制代码 
public class TestHeap {
    public int[] elem;
    public int UsedSize;

    public TestHeap() {
        this.elem = new int[10];
    }

    public void inti(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            UsedSize++;
        }
    }

    //将堆中的数据调整为大根堆
    public void createHeap() {
        for (int parent = (UsedSize - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {
            siftDown(parent, UsedSize);
        }
    }

    //左右孩子的最大值跟根节点比较，比根节点大则交换
    private void swap(int i, int j) {
        int temp = elem[i];
        elem[i] = elem[j];
        elem[j] = temp;
    }

    public void siftDown(int parent, int end) {
        int child = 2 * parent + 1;
        while (child < end) {
            //防止数组越界
            if (child + 1 < end && elem[child] < elem[child + 1]) {
                child++;
            }
            //child下标就是左右孩子的最大值
            if (elem[child] > elem[parent]) {
                swap(child, parent);
                parent = child;
                child = 2 * parent + 1;
            } else {
                break;
            }
        }
    }
}
java 复制代码 
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        //创建大根堆
        int[] array={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
        TestHeap testHeap= new TestHeap();
        testHeap.inti(array);
        testHeap.createHeap();
    }
}


注意： 在调整以 parent 为根的二叉树时，必须要满足 parent 的左子树和右子树已经是堆了才可以向下调整。
时间复杂度分析： 最坏的情况 即图示的情况，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为 O(log₂N) 。

3.3.2建堆的时间复杂度

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

所以可得建堆的时间复杂度为O(N)。

3.4堆的插入与删除

3.4.1堆的插入

堆的插入总共需要两个步骤：

  1. 先将元素放入到底层空间中 ( 注意：空间不够时需要扩容 )
  2. 将最后新插入的节点向上调整，直到满足堆的性质
java 复制代码 
//插入元素
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            //满了则进行扩容
            elem= Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        elem[UsedSize]=val;
        UsedSize++;
        //向上调整
        shitUp(UsedSize-1);
    }

    public void shitUp(int child){
        int parent =(child-1)/2;
        while(parent>=0){
            if(elem[child]>elem[parent]){
                swap(child,parent);
                child=parent;
                parent=(child-1)/2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    //判断空间是否满了
    public boolean isFull(){
        return UsedSize== elem.length;
    }
java 复制代码 
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        //创建大根堆
        int[] array={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
        TestHeap testHeap= new TestHeap();
        testHeap.inti(array);
        testHeap.createHeap();
        testHeap.offer(80);
    }
}

3.4.2堆的删除

堆的删除一定删除的是堆顶元素。 具体如下：

  1. 将堆顶元素对堆中最后一个元素交换；
  2. 将堆中有效数据个数减少一个；
  3. 对堆顶元素进行向下调整。

java 复制代码 
//删除元素
    public int poll(){
        if(isEmpty()){
            return -1;
        }
        int old=elem[0];
        swap(0,UsedSize-1);
        UsedSize--;
        siftDown(0,UsedSize);
        return old;
    }
    public boolean isEmpty(){
        return UsedSize==0;
    }
java 复制代码 
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        //创建大根堆
        int[] array={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
        TestHeap testHeap= new TestHeap();
        testHeap.inti(array);
        testHeap.createHeap();
        testHeap.poll();
    }
}

3.5用堆模拟实现优先级队列

java 复制代码 
import java.util.Arrays;

public class TestHeap {
    public int[] elem;
    public int UsedSize;

    public TestHeap() {
        this.elem = new int[10];
    }

    public void inti(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            UsedSize++;
        }
    }

    //将堆中的数据调整为大根堆
    public void createHeap() {
        for (int parent = (UsedSize - 1 - 1) / 2; parent >= 0; parent--) {
            siftDown(parent, UsedSize);
        }
    }

    //左右孩子的最大值跟根节点比较，比根节点大则交换
    private void swap(int i, int j) {
        int temp = elem[i];
        elem[i] = elem[j];
        elem[j] = temp;
    }

    public void siftDown(int parent, int end) {
        int child = 2 * parent + 1;
        while (child < end) {
            //防止数组越界
            if (child + 1 < end && elem[child] < elem[child + 1]) {
                child++;
            }
            //child下标就是左右孩子的最大值
            if (elem[child] > elem[parent]) {
                swap(child, parent);
                parent = child;
                child = 2 * parent + 1;
            } else {
                break;
            }
        }
    }

    //插入元素
    public void offer(int val){
        if(isFull()){
            //满了则进行扩容
            elem= Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        elem[UsedSize]=val;
        UsedSize++;
        //向上调整
        shitUp(UsedSize-1);
    }

    public void shitUp(int child){
        int parent =(child-1)/2;
        while(parent>=0){
            if(elem[child]>elem[parent]){
                swap(child,parent);
                child=parent;
                parent=(child-1)/2;
            }else {
                break;
            }
        }
    }

    //判断空间是否满了
    public boolean isFull(){
        return UsedSize== elem.length;
    }

    //删除元素
    public int poll(){
        if(isEmpty()){
            return -1;
        }
        int old=elem[0];
        swap(0,UsedSize-1);
        UsedSize--;
        siftDown(0,UsedSize);
        return old;
    }
    public boolean isEmpty(){
        return UsedSize==0;
    }
}
java 复制代码 
import java.util.PriorityQueue;

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        //堆模拟优先级队列
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();
        priorityQueue.offer(10);
        priorityQueue.offer(5);
        priorityQueue.offer(25);
        System.out.println(priorityQueue.poll());//5
        System.out.println(priorityQueue.poll());//10
    }
}

下面来几道关于堆的练习题给大家练练手。

  1. 下列关键字序列为堆的是 :()
    A: 100,60,70,50,32,65 B: 60,70,65,50,32,100 C: 65,100,70,32,50,60
    D: 70,65,100,32,50,60 E: 32,50,100,70,65,60 F: 50,100,70,65,60,32
  2. 已知小根堆为 8,15,10,21,34,16,12 ，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是 ()
    A: 1 B: 2 C: 3 D: 4
  3. 最小堆 [0,3,2,5,7,4,6,8], 在删除堆顶元素 0 之后，其结果是 ()
    A: [3 ， 2 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6，8] B: [2，3 ， 5 ， 7 ， 4 ， 6 ， 8]
    C: [2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8，6] D: [2，3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8]
    参考答案：
    1.A 2.C 3.C

4.常用接口介绍

4.1PriorityQueue****的特性

Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文以介绍PriorityQueue为主。

使用PriorityQueue时需要注意:

  1. 使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：
java 复制代码 
import java.util.PriorityQueue;
  1. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出ClassCastException异常；

3.不能插入null对象，否则会抛出NullPointeException；

4.没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容；

5.插入和删除元素的时间复杂度为O(log₂N)；

6.PriorityQueue底层使用了堆数据结构；

7.PriorityQueue默认情况下是小根堆--即每次获取到的元素都是最小的元素。

4.2PriorityQueue****常用接口介绍

4.2.1优先级队列的构造

|--------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------------------------|
| 构造器 | 功能介绍 |
| PriorityQueue() | 创建一个空的优先级队列，默认容量是11 |
| PriorityQueue(int initialCapacity) | 创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意： initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常 |
| PriorityQueue(Collection<? extends E> c) | 用一个集合来创建优先级队列 |

java 复制代码 
import java.util.ArrayList;
import java.util.PriorityQueue;

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();
        list.add(10);
        list.add(20);
        list.add(30);
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(list);
        //PriorityQueue队列默认是小根堆
        System.out.println(priorityQueue);
        System.out.println("队头元素为：" + priorityQueue.peek());
        System.out.println("长度为：" + priorityQueue.size());
    }
}

注：默认情况下，PriorityQueue队列是小根堆，如果需要大根堆需要用户提供比较器。

4.2.2插入/删除/获取优先级最高的元素

|--------------------|----------------------------------------------------------------------------|
| 函数名 | 功能介绍 |
| boolean offer(E e) | 插入元素e，插入成功返回true，如果e对象为空，抛出NullPointerException异常，时 间复杂度 ，注意：空间不够时候会进行自动扩容 |
| E peek() | 获取优先级最高的元素，如果优先级队列为空，返回null |
| E poll() | 移除优先级最高的元素并返回，如果优先级队列为空，返回null |
| int size() | 获取有效元素的个数 |
| void clear() | 清空 |
| boolean isEmpty() | 检测优先级队列是否为空，空返回true |

java 复制代码 
import java.util.ArrayList;
import java.util.PriorityQueue;

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue =new PriorityQueue<>(arr.length);
        //通过for循环遍历插入元素
        for (int i = 0; i < arr.length ; i++) {
            priorityQueue.offer(arr[i]);
        }
        System.out.println(priorityQueue);

        //获取优先级队列最高的元素
        System.out.println(priorityQueue.peek());

        //弹出优先级最高的元素
        System.out.println(priorityQueue.poll());
        System.out.println(priorityQueue);

        //获取有效元素的个数
        System.out.println(priorityQueue.size());

        //清空
        priorityQueue.clear();
        System.out.println(priorityQueue);

        //检测优先级队列是否为空，空返回true
        System.out.println(priorityQueue.isEmpty());
    }
}

运行结果如下：

4.3最小的K个数OJ题

题目链接：. - 力扣（LeetCode）

java 复制代码 
import java.util.PriorityQueue;

public class Test {
    //最小K个数
    //设计一个算法，找出数组中最小的k个数。以任意顺序返回这k个数均可。
    public static int[] smallestK(int[] arr, int k) {
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue =new PriorityQueue<>();
        for(int i = 0;i<arr.length;i++){
            priorityQueue.offer(arr[i]);
        }
        int[] temp = new int[k];
        for(int i=0;i<k;i++){
            int value =priorityQueue.poll();
            temp[i] =value;
        }
        return temp;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr={27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
        int[] arr1 =smallestK(arr,3);
        System.out.println(Arrays.toString(arr1));
    }
}

运行结果如下：

5. 堆的应用

5.1PriorityQueue****的实现

用堆作为底层结构 封装优先级队。

5.2堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

  1. 建堆：
  • 升序：建大堆
  • 降序：建小堆
  1. 利用堆删除思想来进行排序：

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。

java 复制代码 
//进行堆排序
    public void headSort(){
        int endIndex = UsedSize-1;
        while(endIndex>0){
            swap(0,endIndex);
            siftDown(0,endIndex);
            endIndex--;
        }

6.总结

本文主要介绍堆的创建、堆的用法、PriorityQueue接口的使用以及堆排序等，有一点要注意，优先级队列在插入元素时有个要求，插入的元素不能是 null 或者元素之间必须要能够 进行比较。

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