Python面试宝典第21题：最大正方形

题目

在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内，找到只包含 '1' 的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

复制代码

输入：matrix = 
[
  ["1", "0", "1", "0", "0"],
  ["1", "0", "1", "1", "1"],
  ["1", "1", "1", "1", "1"],
  ["1", "0", "0", "1", "0"]
]
输出：4

示例 2：

python 复制代码

输入：matrix = 
[
    ["0", "1"], 
    ["1", "0"]
]
输出：1

暴力法

暴力法求解本题的基本思想是：枚举所有可能的正方形位置和大小，检查每个候选正方形是否完全由'1'组成，然后记录最大的合法正方形面积。这种方法虽然直观，但效率低下，尤其是对于大尺寸的矩阵。使用暴力法求解本题的主要步骤如下。

1、初始化最大面积为0。

2、遍历矩阵的每个元素。对于每个元素，从边长1开始，逐渐尝试更大的边长，直到超出矩阵边界或遇到'0'为止。对于每个尝试的边长，检查构成的正方形是否合法。

3、更新最大面积。

4、继续遍历直至所有元素都被检查过。

根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。

python 复制代码

def maximal_square_by_brute_force(matrix):
    if not matrix or not matrix[0]:
        return 0

    max_area = 0
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    for top_left_row in range(rows):
        for top_left_col in range(cols):
            if matrix[top_left_row][top_left_col] == '1':
                # 对于每个'1'，尝试构建正方形，从边长1开始
                square_size = 1
                while (top_left_row + square_size <= rows and
                       top_left_col + square_size <= cols):
                    # 检查当前边长的正方形是否合法
                    is_square_valid = all(
                        matrix[row][col] == '1'
                        for row in range(top_left_row, top_left_row + square_size)
                        for col in range(top_left_col, top_left_col + square_size)
                    )
                    if is_square_valid:
                        max_area = max(max_area, (square_size) ** 2)
                        # 尝试更大的正方形
                        square_size += 1
                    else:
                        # 当前大小不合法，退出循环
                        break

    return max_area

matrix = [
  ["1", "0", "1", "0", "0"],
  ["1", "0", "1", "1", "1"],
  ["1", "1", "1", "1", "1"],
  ["1", "0", "0", "1", "0"]
]
print(maximal_square_by_brute_force(matrix))

matrix = [
    ["0", "1"],
    ["1", "0"]
]
print(maximal_square_by_brute_force(matrix))

动态规划法

使用动态规划法求解本题的基本思想是：从矩阵的左上角开始，计算到每个位置为止能够构成的最大正方形的边长。通过构建一个与原矩阵大小相同的辅助矩阵，记录到当前位置为止的连续1的最大长度，进而求得最大正方形的面积。使用动态规划法求解本题的主要步骤如下。

1、初始化一个与原矩阵相同大小的dp矩阵，填充为0，dp[i][j]表示以当前格子为右下角的正方形的最大边长。

2、遍历原矩阵的每个元素，对于每个元素matrix[i][j]，进行以下操作。

（1）如果matrix[i][j] == 1，则其最大正方形边长等于其上方、左方、左上方三个位置中最小边长加1，即需要更新dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1。

（2）如果matrix[i][j] == 0，则dp[i][j] = 0，因为0不能作为正方形的一部分。

3、找到dp矩阵中的最大值，其平方即为最大正方形的面积。

根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。

python 复制代码

def maximal_square_by_dp(matrix):
    if not matrix or not matrix[0]:
        return 0
    
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    # 初始化dp矩阵
    dp = [[0]*cols for _ in range(rows)]
    # 记录最大正方形边长
    max_side = 0
    
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if matrix[i][j] == '1':
                if i == 0 or j == 0:
                    # 边界条件，第一行或第一列的元素
                    dp[i][j] = 1
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
                # 更新最大边长
                max_side = max(max_side, dp[i][j])
            else:
                dp[i][j] = 0
    
    return max_side * max_side

matrix = [
  ["1", "0", "1", "0", "0"],
  ["1", "0", "1", "1", "1"],
  ["1", "1", "1", "1", "1"],
  ["1", "0", "0", "1", "0"]
]
print(maximal_square_by_dp(matrix))

matrix = [
    ["0", "1"],
    ["1", "0"]
]
print(maximal_square_by_dp(matrix))

总结

使用暴力法求解本题时，对于每个矩阵中的元素，都需要尝试以其为起点的所有可能的正方形大小，直到达到矩阵的边界或遇到'0'停止。因此，对于每个元素，最坏情况下需要检查从1到该元素所在行和列的最小长度的所有正方形，导致总体时间复杂度为O(m*n*min(m,n)^2)，其中m和n分别是矩阵的行数和列数。暴力法的空间复杂度相对较低，主要是存储原始矩阵的空间，即O(m*n)。

动态规划法的时间复杂度为O(m*n)，其中m和n分别是矩阵的行数和列数。这是因为我们需要遍历矩阵中的每个元素一次，并且对于每个元素，只需要进行常数时间的操作。这种算法避免了暴力法中的重复计算，因此效率更高。动态规划法的空间复杂度主要取决于额外创建的dp矩阵，其大小与原矩阵相同，因此也是O(m*n)。

总的来说，虽然暴力法在理解和实现上可能更为直观，但其时间复杂度在大矩阵面前显得非常不经济。相反，动态规划法通过预计算和存储中间结果，显著提高了效率，是解决此类问题的首选方法。