【C++深度探索】深入解析AVL树的底层实现机制

大耳朵土土垚2024-08-02 10:52


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前言

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树.一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：它的左右子树都是AVL树，左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1).接下来我们继续学习AVL树底层实现的部分机制.

文章目录

1.AVL树结构

cpp 复制代码 
//AVL树节点类
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _pLeft;
	AVLTreeNode<K, V>* _pRight;
	AVLTreeNode<K, V>* _pParent;
	int _bf; // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _pLeft(nullptr)
		, _pRight(nullptr)
		, _pParent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

// AVL: 二叉搜索树 + 平衡因子的限制
template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
	AVLTree()
		: _pRoot(nullptr)
	{}

	// 在AVL树中插入值为kv的节点
	bool Insert(const pair<K, V>& kv);
	//中序遍历
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_pRoot);
	}
	//判断是否是平衡树
	bool IsBalanceTree()
	{
	//嵌套一层函数
		return _IsBalanceTree(_pRoot);
	}
	
	
private:
	bool _IsBalanceTree(Node* pRoot);
	int _Height(Node* pRoot);
	void _InOrder(Node* root);
	// 右单旋
	void RotateR(Node* parent);
	// 左单旋
	void RotateL(Node* parent);
	// 右左双旋
	void RotateRL(Node* parent);
	// 左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)

2.AVL树的插入

AVL树的插入过程可以分为两步：

  • 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  • 调整节点的平衡因子

在插入新节点之后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性。

如下图所示：

pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：

  • 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可，如上图所示
  • 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时，pParent的平衡因子也可能有三种情况：0，正负1， 正负2

  • 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功，如上图所示；
  • 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0（不可能是2，因为这样没插入新节点前该树就已经不平衡了），插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新，如下图所示：

AVL树插入新节点90之后，pParent也就是80节点的平衡因子就需要更新为1，继续往上更新，直到60节点的平衡因子被更新为2，说明不符合AVL树的性质，就需要进行旋转来维持平衡。

  • 如果更新后pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理，如上图所示

所以对于AVL树插入新节点来说，我们需要更新插入后由于左右子树高度差改变带来的新的平衡因子，然后根据平衡因子是否大于1或小于-1来判断AVL树是否平衡，如果不平衡我们就必须通过旋转来维持平衡，代码如下：

cpp 复制代码 
	// 在AVL树中插入值为kv的节点
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//1.先构造新节点
		Node* newnode = new Node(kv);
		Node* cur = _pRoot;
		
		//2.判断插入位置
		if (cur == nullptr)
		{
			//如果树为空
			_pRoot = newnode;
			return true;
		}
		//如果AVL树不为空，找到插入位置
		Node* parent = cur->_pParent;
		while (cur)
		{	
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_pLeft;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_pRight;
			}
			//找到相同节点，AVL树不能插入相同节点
			else
			{
				return false;
			}
		}
		
		//3.插入节点
		//先判断是插入左边还是右边
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			//插入左边
			parent->_pLeft = newnode;		
		}
		else
		{
			//插入右边
			parent->_pRight = newnode;
		}
		newnode->_pParent = parent;
		cur = newnode;
		//4.更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_pLeft == cur)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;

			// 更新后检测双亲的平衡因子
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//平衡因子需要继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_pParent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//左边高进行右单旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//右边高进行左单旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else//(parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				//其他情况，断言报错
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

这里要注意AVL树不能插入相同节点

AVL树插入新节点的逻辑结构如上述代码所示，如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：那么我们具体来看看AVL树旋转的实现：

✨左单旋

新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

parent和cur的平衡因子经过旋转之后变为0，维持了AVL树的平衡。

代码如下：

cpp 复制代码 
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* cur = parent->_pRight;

	//将cur的左边给parent的右边，cur的左边再指向parent
	parent->_pRight = cur->_pLeft;
	cur->_pLeft = parent;

	//链接cur与parent的父节点
	if (parent->_pParent == nullptr)
	{
		//如果pParent是根节点
		cur->_pParent = nullptr;
		_pRoot = cur;
	}
	else if (parent->_pParent->_pLeft == parent)
		parent->_pParent->_pLeft = cur;
	else
		parent->_pParent->_pRight = cur;


	//更新父节点
	cur->_pParent = parent->_pParent;
	parent->_pParent = cur;
	if(parent->_pRight)//判断pParent的右边是否存在
		parent->_pRight->_pParent = parent;

	//更新平衡因子
	parent->_bf = 0;
	cur->_bf = 0;
}

✨右单旋

新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

代码如下：

cpp 复制代码 
	// 右单旋
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_pLeft;

		//将cur的右边给pParent的左边，cur的右边再指向pParent
		parent->_pLeft = cur->_pRight;
		cur->_pRight = parent;
		
		//链接cur与pParent的父节点
		if (parent->_pParent == nullptr)
		{
			//如果pParent是根节点
			cur->_pParent = nullptr;
			_pRoot = cur;
		}
		else if (parent->_pParent->_pLeft == parent)
			parent->_pParent->_pLeft = cur;
		else
			parent->_pParent->_pRight = cur;


		//更新父节点
		cur->_pParent = parent->_pParent;
		parent->_pParent = cur;
		if (parent->_pLeft)
		parent->_pLeft->_pParent = parent;

		//更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		cur->_bf = 0;

	}

✨右左双旋

新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋，借助上面实现的右单旋和左单旋即可

如下图所示，较高右子树(以cur节点为根节点的树)的左侧(以child节点为根节点的树），插入节点，注意这里可以插入child的左侧或右侧，只要插入在child的子树上即可，所以可以是下图中的b或c，这里选择b：

前文我们说过只要插入在child的子树上即可，所以可以是上图中的b或c，这里选择b，那么如果是c的话，还是需要进行左右双旋，与选b的区别在于平衡因子的不同，这里可以根据具体选择分析出来，所以在双旋之后记得根据不同的插入位置更新不同的平衡因子。

代码如下：

cpp 复制代码 
// 右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* cur = parent->_pRight;
	Node* child = cur->_pLeft;

	//旋转前保存child的平衡因子
	int bf = child->_bf;

	//cur的左边高，先右旋
	RotateR(cur);
	//再左旋
	RotateL(parent);

	//根据不同插入位置更新不同的平衡因子
	if (bf == -1)//插入在b
	{
		cur->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)//插入在c
	{
		parent->_bf = -1;
	}
}

✨左右双旋

新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋，借助上面实现的右单旋和左单旋即可

如下图所示，左右双旋与右左双旋类似，也可以插入在下图中的b或从，旋转方式一样，不影响，就是最后平衡因子需要根据插入的位置更新：

代码如下：

cpp 复制代码 
// 左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* cur = parent->_pLeft;
	Node* child = cur->_pRight;

	//旋转前保存child的平衡因子
	int bf = child->_bf;

	//cur的右边高，先左旋
	RotateL(cur);
	//再右旋
	RotateR(parent);

	//根据不同插入位置更新不同的平衡因子
	if (bf == -1)//b
	{
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1)//c
	{
		cur->_bf = -1;
	}
}

小结：

假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

  1. parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为cur
    当cur的平衡因子为1时，执行左单旋
    当cur的平衡因子为-1时，执行右左双旋
  2. parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为cur
    当cur的平衡因子为-1是，执行右单旋
    当cur的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

3.中序遍历

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树，其中序遍历和我们之前实现过的二叉搜索树一样。

代码如下：

cpp 复制代码 
//中序遍历
void InOrder()
{
	_InOrder(_pRoot);
}


void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_InOrder(root->_pLeft);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
	_InOrder(root->_pRight);

}

4. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

  • 验证其是否为二叉搜索树：
    如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
  • 验证其是否为平衡树：
    每个节点子树高度差的绝对值不超过1
    对于验证是否是平衡树，代码如下：
cpp 复制代码 
bool IsBalanceTree()
{
//嵌套一层函数
	return _IsBalanceTree(_pRoot);
}
bool _IsBalanceTree(Node* pRoot)
{
	// 空树也是AVL树
	if (nullptr == pRoot) return true;

	// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
	int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
	int diff = rightHeight - leftHeight;

	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
		return false;

	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
	return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot -
	> _pRight);
}

//求树的高度
size_t _Height(Node* pRoot)
{
	if (pRoot == nullptr)
		return 0;
	size_t left = _Height(pRoot->_pLeft);
	size_t right = _Height(pRoot->_pRight);

	return (left >= right ? left : right) + 1;
}

计算pRoot节点的平衡因子：即计算pRoot左右子树的高度差，我们利用递归实现即可。计算是否为平衡树因为是递归需要传递根节点，但是我们在使用时并不能获取根节点，所以需要嵌套一层函数。

5.验证用例

cpp 复制代码 
void TestAVLTree()
{
	AVLTree<int, int> t;
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//用例1
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };//用例2
	for (auto e : a)
	{
		t.Insert({ e, e });
	}
	cout <<"是否是平衡树："<< t.IsBalanceTree() << endl;
	t.InOrder();

}

结果如下：

6.结语

因为AVL树也是二叉搜索树，其他的类似查找节点，析构函数和构造函数都与二叉搜索树类似，对于删除节点，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，最差情况下一直要调整到根节点的位置，大家有兴趣可以自己查找了解一下，以上就是今天所有的内容啦~ 完结撒花 ~🥳🎉🎉

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