数据结构与算法——矩阵

引言

数据结构与算法中，矩阵是一个重要的概念，它既是数据结构的一种，也是算法中经常需要处理的对象。以下是对矩阵的详细介绍：

一、矩阵的定义

矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，它是一个二维的数据结构，由行和列组成，通常用来表示二维的数据集合。在数学中，矩阵最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。在数据结构中，矩阵主要讨论如何在节省存储空间的前提下，正确高效地运算矩阵。

二、矩阵的特征

二维数组：矩阵也可以看作是一个二维数组，即"数组的数组"。
元素类型：矩阵的元素可以是数字、字符、布尔值等类型。
非线性结构：虽然矩阵表面上看似不符合线性表的特征（如首结点不唯一、尾结点不唯一、中间结点有两个直接前驱和两个直接后驱），但实质上，我们可以把每行（或每列）数据看成一个整体，作为一个数据元素，那么矩阵就符合线性表的特征，只是每个数据元素的类型又是一个线性表。

三、矩阵的存储方式

按行优先顺序存储：即将数组元素按行排序，第i+1行的第一个元素紧接在第i行的最后一个元素的后面。
按列优先顺序存储：即将数组元素按列排序，第j+1列的第一个元素紧接在第j列的最后一个元素的后面。

四、矩阵的运算

矩阵的运算包括加法、减法、乘法、转置等。

加法与减法：矩阵的加法和减法要求两个矩阵的维数相同，即行数和列数都必须相等，然后对应位置的元素进行加或减运算。
乘法：矩阵的乘法不是简单的对应位置元素相乘，而是按照矩阵乘法规则进行计算，即第一个矩阵的行向量与第二个矩阵的列向量进行点积运算。
转置：矩阵的转置是将矩阵的行和列互换，即原矩阵的第i行第j列元素在转置矩阵中变为第j行第i列元素。

五、矩阵的应用

矩阵在计算机科学中有着广泛的应用，比如在机器学习和人工智能领域中，矩阵被用来表示数据集合和模型参数，进行数据处理和计算。在图形学中，矩阵被用来表示图像的像素值和进行图像处理操作。在网络编程中，矩阵也被用来表示网络拓扑结构和进行数据传输。此外，在物理学、工程学、经济学等多个领域，矩阵也有着重要的应用。

六、特殊矩阵

对称矩阵：在一个n阶方阵中，如果满足aij=aji（1≤i,j≤n），则称该矩阵为对称矩阵。对称矩阵关于主对角线对称，因此可以压缩存储，节省存储空间。
稀疏矩阵：如果矩阵中数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目，并且非0元素分布没有规律，则称该矩阵为稀疏矩阵。稀疏矩阵常使用三元组存储法，即存储非零元的同时，存储该元素所对应的行下标和列下标。

经典例题

1. 螺旋矩阵

题目描述 ：

给定一个正整数n，生成一个包含1到n^2所有元素，且元素按顺时针顺序螺旋排列的n x n正方形矩阵。

解题思路：

使用四个变量表示当前遍历的上下左右边界。
按照右、下、左、上的顺序遍历矩阵，每次遍历到边界时更新边界值。

当所有元素都被遍历时，结束循环。

#include <vector>
using namespace std;

vector<vector<int>> generateMatrix(int n) {
vector<vector<int>> matrix(n, vector<int>(n, 0));
int num = 1, left = 0, right = n - 1, top = 0, bottom = n - 1;

  while (num <= n * n) {  
      // Traverse right  
      for (int i = left; i <= right && num <= n * n; ++i) {  
          matrix[top][i] = num++;  
      }  
      top++;  

      // Traverse down  
      for (int i = top; i <= bottom && num <= n * n; ++i) {  
          matrix[i][right] = num++;  
      }  
      right--;  

      // If not the last element  
      if (top <= bottom) {  
          // Traverse left  
          for (int i = right; i >= left && num <= n * n; --i) {  
              matrix[bottom][i] = num++;  
          }  
          bottom--;  
      }  

      if (left <= right) {  
          // Traverse up  
          for (int i = bottom; i >= top && num <= n * n; --i) {  
              matrix[i][left] = num++;  
          }  
          left++;  
      }  
  }  
    
  return matrix;

}

2. 搜索二维矩阵

题目描述 ：

编写一个高效的算法来搜索m x n矩阵matrix中的一个目标值target。该矩阵具有以下特性：每行的元素从左到右升序排列；每列的元素从上到下升序排列。

解题思路：

从矩阵的右上角或左下角开始搜索。
如果当前元素等于目标值，则返回true。
如果当前元素大于目标值，向左移动一列。
如果当前元素小于目标值，向下移动一行。

#include <vector>
using namespace std;

bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return false;
int rows = matrix.size(), cols = matrix[0].size();
int row = 0, col = cols - 1;
```
  while (row < rows && col >= 0) {  
      if (matrix[row][col] == target) return true;  
      else if (matrix[row][col] < target) row++;  
      else col--;  
  }  
    
  return false;  
```
}

3. 旋转图像

题目描述 ：

给定一个n x n的二维矩阵matrix表示一个图像。请你将图像顺时针旋转90度。你必须在原地旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。

解题思路：

先沿主对角线翻转矩阵。

再按行翻转矩阵的每一行。

#include <vector>
using namespace std;

void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
int n = matrix.size();

  // Flip along the diagonal  
  for (int i = 0; i < n; ++i) {  
      for (int j = i; j < n; ++j) {  
          swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);  
      }  
  }  
    
  // Flip each row  
  for (int i = 0; i < n; ++i) {  
      for (int j = 0; j < n / 2; ++j