迭代实现 斐波那契数列

1斐波那契数列的定义

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在1202年提出的。其核心定义为：

1. 首项（第1项）和第2项均为1；

2. 从第3项开始，每一项都等于它前两项的和。

用数学公式可表示为：

F(1) = 1，F(2) = 1

F(n) = F(n-1) + F(n-2) （其中n ≥ 3，n为正整数）

根据定义，斐波那契数列的前10项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

2 迭代实现

思路：通过循环迭代，用变量保存前两项的值，依次计算出当前项，避免重复计算，效率大幅提升。

//迭代实现斐波那契数列
#include <stdio.h>
int fib(int n)
{

	int a = 1;
	int b = 1;
	int c = 1;
	while (n >= 3)
	{
	    c = a + b;
		a = b;
		b = c;
		n--;
	}
	return c;
}
int main()
{
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int b = fib(n);
	printf("%d", b);
	return 0;
}

3 递归实现

#include <stdio.h>

// 递归实现斐波那契数列
int fib_recursion(int n) {
    // 边界条件：处理n≤0的非法输入
    if (n <= 0) {
        printf("输入错误，n必须为正整数！\n");
        return -1;
    }
    // 递归终止条件：第1项和第2项均为1
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 递归公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
    return fib_recursion(n - 1) + fib_recursion(n - 2);
}

int main() {
    int n = 0;
    printf("请输入要计算的斐波那契数列项数：");
    scanf("%d", &n);
    
    int result = fib_recursion(n);
    if (result != -1) {
        printf("斐波那契数列第%d项是：%d\n", n, result);
    }
    return 0;
}

优缺点：

优点：代码简洁直观，直接映射数学定义，易于理解；

缺点：效率极低，存在大量重复计算（例如计算F(5)时，会重复计算F(3)、F(2)等），当n较大（如n>30）时，运行时间会显著增加，甚至出现卡顿。

3 用尾递归怎样实现

先理解：什么是尾递归？

尾递归是递归的一种特殊形式：

• 普通递归：函数最后一步是调用自身 + 其他运算 （比如 return fib(n-1) + fib(n-2)），会产生大量重复计算，且需要保存多层调用栈。
• 尾递归：函数最后一步只有自身调用，没有额外运算，编译器 / 解释器可优化为迭代（复用栈帧），效率和迭代几乎一致。

实现尾递归的关键：用参数保存中间结果，而非在递归返回后做加法运算。

#include <stdio.h>

// 核心尾递归函数（辅助函数）
// a: 保存前前项（初始为第1项 1）
// b: 保存前一项（初始为第2项 1）
// n: 剩余需要计算的项数
int fib_tail_recursion_helper(int a, int b, int n) {
    // 递归终止条件：剩余项数为0，返回当前的前一项（即目标项）
    if (n == 0) {
        return a;
    }
    // 尾递归调用：仅更新参数，无额外运算
    // a 变为原b，b 变为 a+b（当前项），剩余项数n-1
    return fib_tail_recursion_helper(b, a + b, n - 1);
}

// 对外暴露的函数（封装尾递归，简化调用）
int fib_tail_recursion(int n) {
    // 1. 处理非法输入
    if (n <= 0) {
        printf("输入错误！n必须是正整数\n");
        return -1;
    }
    // 2. 边界条件：第1、2项直接返回1
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    // 3. 调用尾递归辅助函数（初始参数适配n≥3的情况）
    // 初始a=1（第1项）、b=1（第2项），剩余计算n-2项（因为前2项已确定）
    return fib_tail_recursion_helper(1, 1, n - 2);
}

// 主函数测试
int main() {
    int n = 0;
    printf("请输入要计算的斐波那契数列项数：");
    scanf("%d", &n);
    
    int result = fib_tail_recursion(n);
    if (result != -1) {
        printf("斐波那契数列第%d项是：%d\n", n, result);
    }
    return 0;
}